21.3.1 矩形 (第1课时) 导学案 2025-2026学年 人教版八年级下册数学

该初中数学导学案围绕矩形的性质及直角三角形斜边上中线的性质展开，通过“温故知新”复习平行四边形性质，自然引出特殊平行四边形——矩形，构建从一般到特殊的知识支架，引导学生逐步探究矩形定义及性质。 资料亮点在于“自我挑战”环节设计猜想与证明活动，培养学生推理意识，结合互动质疑、实例分析及分层习题（必做与选做），帮助学生用数学思维探究几何关系，提升几何直观与应用意识，适合自主学习与课堂互动。

21.3.1 矩形 (第1课时) 一、温故知新（导） 1、平行四边形具有哪些性质？ 2、这节课我们将学习一种特殊的平行四边形—— .什么样的平行四边形叫矩形、矩形具有哪些性质？这些就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。 学习目标 1、掌握矩形的性质定理，能运用它进行有关的证明和计算. 2、掌握直角三角形斜边上的中线的性质，能运用它解决直角三角形中的线段求值问题. 学习重难点 重点：矩形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 难点：矩形性质的证明及灵活运用. 二、自我挑战（思） 1、如图18.2-1，当平行四边形的一个角为 时，这时的平行四边形是个 的平行四边形. 2、什么叫矩形？ . 3、如图18.2-2，▱ABCD，∠B=900，根据矩形的定义，▱ABCD是矩形，它除了具有平行四边形的性质外，还具有哪些性质呢？ （1）四个角都是什么角吗？ （2）两条对角线的长度又有什么关系？（提示：可以测量一下） 4、猜想： . 5、证明猜想： （1）求证：矩形的四个角都是直角. （2）求证：矩形的对角线相等. 6、结论： 矩形的性质：矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 . 7、如图18.2-3，矩形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，BO与AC有什么关系？ 说明你的理由. 8、结论： 直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于 的一半. 三、互动质疑（议、展） 1、如图18.2-3，四边形ABCD是矩形，相等的线段有哪些？ . 2、每一条对角线是对角的平分线吗？ . 3、实例： 例1 如图18.2-4，矩形ABCD 对角线AC、BD相较于点O，∠AOB=600，AB=4.求矩形对角线的长. 四、清点战果（评） 今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？ 五、一战成名（检） 1、关于矩形的性质、下面说法错误的是（　　） A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的两组对边分别相等 C．矩形的两组对边分别平行 D．矩形的对角线互相垂直平分且相等 2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB=25°，则∠AOB的大小是（　　） A．130° B．65° C．50° D．25° 3、如图，两条公路AC，BC恰好互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为0.9km,则M，C两点间的距离为（　　） A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km 4、如图，矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=，则BC的长为 ． 5、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是 0 . 6、如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB，交边AD、BC于点E、F． （1）若BE=2，∠ABE=30°，求BD的长． （2）求证：AE=CF． 六、用 （一）必做题 1、下列性质中，矩形不一定具有的是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直 2、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=12，则四边形CODE的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 3、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则DE的长为（　　） A．2-2 B．-1 C．-1 D．2 4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，D是AB的中点，则∠BCD= ． 5、已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F．求线段CF的长． （二）选做题 6、如图，在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，M是BC的中点，连结DE、EM、MD． （1）求证：ME=MD； （2）若∠A=45°，求∠EDM的度数． 7、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F；PE+PF的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是定值请求出这个定值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.1 矩形 (第1课时) 一、温故知新（导） 1、平行四边形具有哪些性质？ （1）平行四边形的两组对边分别平行； （2）平行四边形的两组对边分别相等； （3）平行四边形的两组对角相等； （4）平行四边形的对角线互相平分 . 2、这节课我们将学习一种特殊的平行四边形—— 矩形 .什么样的平行四边形叫矩形、矩形具有哪些性质？这些就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。 学习目标 1、掌握矩形的性质定理，能运用它进行有关的证明和计算. 2、掌握直角三角形斜边上的中线的性质，能运用它解决直角三角形中的线段求值问题. 学习重难点 重点：矩形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 难点：矩形性质的证明及灵活运用. 二、自我挑战（思） 1、如图18.2-1，当平行四边形的一个角为 直角 时，这时的平行四边形是个 特殊 的平行四边形. 2、什么叫矩形？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 3、如图18.2-2，▱ABCD，∠B=900，根据矩形的定义，▱ABCD是矩形，它除了具有平行四边形的性质外，还具有哪些性质呢？ （1）四个角都是什么角吗？ 四个角都是直角. （2）两条对角线的长度又有什么关系？（提示：可以测量一下） 对角线相等. 4、猜想： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等 . 5、证明猜想： （1）求证：矩形的四个角都是直角. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠B=900. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=900. 证明：∵▱ABCD是矩形，∠B=900. ∴∠B=∠D=900，∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠A+∠B=1800， ∴∠A=900， ∴∠A=∠C=900， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900. （2）求证：矩形的对角线相等. 已知：如图，四边形ABCD是矩形， 求证：AC=BD 证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ AB=DC，BC=CB， ∴ △ABC≌△DCB (SAS)， ∴ AC=BD 6、结论： 矩形的性质：矩形的四个角都是 直角 ；矩形的对角线 相等 . 7、如图18.2-3，矩形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，BO与AC有什么关系？ 说明你的理由. 解：BO=AC 理由：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，BO=BD， ∴BO=AC. 8、结论： 直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于 斜边 的一半. 三、互动质疑（议、展） 1、如图18.2-3，四边形ABCD是矩形，相等的线段有哪些？ OA=OB=OC=OD；AB=CD；AD=BC . 2、每一条对角线是对角的平分线吗？ 不是 . 3、实例： 例1 如图18.2-4，矩形ABCD 对角线AC、BD相较于点O，∠AOB=600，AB=4.求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=AC，OB=BD，AC=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. 四、清点战果（评） 今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？ 五、一战成名（检） 1、关于矩形的性质、下面说法错误的是（　　） A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的两组对边分别相等 C．矩形的两组对边分别平行 D．矩形的对角线互相垂直平分且相等 1、解：A、矩形的四个角都是直角，说法正确，不符合题意； B、矩形的两组对边分别相等，说法正确，不符合题意； C、矩形的两组对边分别平行，说法正确，不符合题意； D、矩形的对角线互相平分且相等但不一定垂直，说法错误，符合题意； 故选：D． 2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB=25°，则∠AOB的大小是（　　） A．130° B．65° C．50° D．25° 2、解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠ACB=25°， ∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=25°+25°=50°， 故选：C． 3、如图，两条公路AC，BC恰好互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为0.9km,则M，C两点间的距离为（　　） A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km 3、解：∵公路AC，BC互相垂直， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∵公路AB的中点M与点C被湖隔开， 若测得AM的长为0.9km, ∴CM＝AM＝AB＝0.9km，即M、C两点间的距离为0.9km. 故选：C． 4、如图，矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=，则BC的长为 ． 4、解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OB=OC， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO=BO=AB==OC， ∴AC=2， ∴BC===3， 故答案为：3． 5、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是 0 . 5、解：如图， ∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴CD=AD=DB， ∴∠A=∠ACD， ∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为70°，即∠BDC=70°， ∴∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A=70°， 解得∠A=35°， 另一个锐角∠B=90°-35°=55°， ∴这个直角三角形的较小内角的度数为35°． 故答案为：35． 6、如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB，交边AD、BC于点E、F． （1）若BE=2，∠ABE=30°，求BD的长． （2）求证：AE=CF． 6、（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∵BE=2，∠ABE=30°， ∴AE＝BE＝1， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABE=60°， ∴∠ADB=90°-∠ABD=30°， ∴BD=2AB； 由勾股定理得AB===， ∴BD＝2； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， ∵BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB， ∴∠ABE＝∠ABD，∠CDF＝∠CDB， ∴∠ABE=∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF． 六、用 （一）必做题 1、下列性质中，矩形不一定具有的是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直 1、解：∵矩形的对角线互相平分且相等，邻边互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直， ∴矩形不一定具有的是对角线互相垂直， 故选：A． 2、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=12，则四边形CODE的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 2、解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=CO=BO=DO=AC=6， ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形DECO是平行四边形， ∴DO=CE=6，DE=CO=6， ∴四边形CODE的周长=DO+CE+DE+CO=24， 故选：C． 3、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则DE的长为（　　） A．2-2 B．-1 C．-1 D．2 3、解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD=BC，∠A=90°， ∵AB=2，∠ABE=45°， ∴AE=AB=2， ∴BE==2， ∵AD∥BC， ∴∠DEC=∠ECB， ∵EC平分∠BED， ∴∠BEC=∠DEC， ∴∠BEC=∠ECB， ∴BC=BE=2， ∴AD=2， ∴DE=AD-AE=2-2， 故选：A． 4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，D是AB的中点，则∠BCD= ． 4、解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°， ∴∠B=36°， ∵D为线段AB的中点， ∴CD=BD， ∴∠BCD=∠B=36°． 故答案是：36． 5、已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F．求线段CF的长． 5、解：连接AF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=2，DC=AB=4，∠D=90°， ∵EF垂直平分AC， ∴AF=CF， ∵AD2+DF2=AF2，且DF=4-CF， ∴22+（4-CF）2=CF2， 解得CF=， ∴CF的长为． （二）选做题 6、如图，在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，M是BC的中点，连结DE、EM、MD． （1）求证：ME=MD； （2）若∠A=45°，求∠EDM的度数． 6、（1）证明：∵CE、BD分别是AB、AC边上的高线， ∴∠BEC=∠CDB=90°， ∵M是BC的中点， ∴EM=BC，DM=BC， ∴ME=MD； （2）解：∵∠A=45°， ∴∠ABC+∠ACB=135°， ∵EM=BM，DM=CM， ∴∠BEM=∠ABC，∠MDC=∠ACB， ∴∠EBM+∠BEM+∠ACB+∠MDC=135°×2=270°， ∴∠EMD+∠DMC=180°×2-270°=90°， ∵ME=MD， ∴∠EDM=45°． 7、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F；PE+PF的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是定值请求出这个定值． 7、解：PE+PF的值是定值，定值为， 如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G， ∵AB=3，AD=4， ∴由勾股定理可得BD＝＝5，S△ABD＝AB•AD＝BD•AG， 即×3×4＝×5×AG， 解得：AG＝， 在矩形ABCD中，OA=OD， ∵S△AOD＝OA•PE+OD•PF＝OD•AG， ∴PE+PF＝AG＝． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $