专题04 多边形的面积（必备知识+八大题型+分层训练）（期末复习讲义）五年级数学上学期人教版

该小学数学期末复习讲义通过表格系统梳理多边形面积的核心考点，构建“公式推导-面积计算-图形关系-实际应用”的知识框架，分知识点呈现平行四边形、三角形、梯形的面积公式及推导过程，明确组合图形与不规则图形的解题方法，突出转化思想等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与数学思维培养，基础通关练巩固公式应用，重难突破练通过“平行线间三角形面积关系”等题型培养推理意识，综合拓展练结合生活场景如“菜地面积计算”发展应用意识。易错点拨与辅助线法等技巧指导，帮助学生提升解题能力，也为教师精准教学提供支持。

专题04 多边形的面积（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 多边形面积公式及推导： 掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式（S平行四边形=ah、S三角形=ah÷2、S梯形=(a+b)h÷2）及其推导过程，理解转化思想。 牢记多边形面积公式，清晰推导过程，深刻理解转化思想并能灵活运用。 常以填空、选择、判断形式出现，考查对公式和推导的理解。 多边形面积计算： 运用面积公式准确计算平行四边形、三角形、梯形的面积，能根据面积和部分条件求其他未知量。 熟练运用公式进行面积及未知量计算，提高计算准确性和速度。 以填空、计算、解答题为主，是基础且重要的考察内容。 多边形之间的关系： 明确等底等高的平行四边形与三角形、梯形之间的面积关系，如等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 清晰掌握多边形面积关系，能灵活运用关系解决相关问题。 多以填空、选择、判断形式考察，检验对关系的理解和运用能力。 组合图形与不规则图形面积： 学会用分割、拼凑等方法求组合图形面积，能用数方格或转化法估算不规则图形面积。 掌握组合图形面积求法，能合理估算不规则图形面积，提升综合解题能力。 在解答题中较为常见，分值占比较高，考查综合运用知识和解决问题的能力。 实际应用问题： 运用多边形面积知识解决生活中的实际问题，如土地面积计算、材料使用等。 学会分析实际问题，准确运用面积知识解决问题，增强应用意识。 以解答题形式出现，结合生活场景，考查知识的实际运用能力。 知识点01：平行四边形的面积 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 面积公式：平行四边形面积 = 底 × 高（） 公式推导： 通过割补法将平行四边形转化为长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以平行四边形面积 = 底 × 高。 易错点拨： 1.底和高必须是对应的（互相垂直）。 2.单位要统一（如厘米对应平方厘米）。 知识点02：三角形的面积 定义：由三条线段围成的封闭图形叫做三角形。 面积公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2（） 公式推导： 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以一个三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。 注意事项： 1.必须用对应的底和高计算。 2.不要忘记除以2。 示例：一个三角形的底是5m，高是3m，面积是 。 知识点03：梯形的面积 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形（互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰）。 面积公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2（） 公式推导：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形的高。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以一个梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2。 示例：一个梯形的上底是4dm，下底是6dm，高是3dm，面积是 。 知识点04：组合图形的面积 定义：由两个或两个以上基本图形组合而成的图形叫做组合图形。 计算方法： 1.分割法：将组合图形分割成已学过的基本图形（如长方形、平行四边形、三角形、梯形），分别计算面积后相加。 2.添补法：用一个大图形的面积减去补上去的小图形面积。 知识点05：不规则图形的面积估算 方法： 1.数方格法：满格按1格计算，不满格按半格计算。 2.转化法：将不规则图形近似转化为已学过的基本图形估算面积。 知识点06：易错点与培优技巧 易错点拨： 1.计算三角形、梯形面积时忘记除以2。 2.误用不对应的底和高计算面积（如梯形的腰当作高）。 3.单位换算错误（如平方米与平方分米混淆）。 培优技巧： 1.辅助线法：通过添加辅助线将复杂图形转化为基本图形（如连接梯形对角线分成两个三角形）。 2.等积变形：利用平行线间的距离相等，将图形转化为同底等高的等积图形简化计算。 3.公式逆用：已知面积和底（或高），求高（或底）时灵活运用公式变形（如 ）。 题型一 平行四边形面积的计算与应用 【例1】（24-25五年级上·河南南阳·期末）下图中长方形的面积比平行四边形的面积小。( ) 【答案】× 【思路引导】观察图形可知：长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽与平行四边形的高也相等（因为平行四边形的高是两条平行线之间的距离，与长方形的宽长度一致）。 根据“长方形面积＝长×宽”和“平行四边形面积＝底×高”可得长方形的面积与平行四边形的面积相等。 【规范解答】图中长方形的面积与平行四边形的面积相等，原题说法错误。 故答案为：× 【变式1】（24-25五年级上·河北保定·期末）把一个用木条钉成的长方形拉成一个平行四边形，平行四边形的面积比原来长方形( )。（填“增大”“减小”“不变”） 【答案】减小 【思路引导】先分析长方形拉成平行四边形后，平行四边形的底和高相对于长方形的长和宽的变化，再根据面积公式比较面积的变化。 【规范解答】如下图：长方形木条拉成平行四边形后，长方形的长成为平行四边形的底，所以底等于长方形的长；长方形的宽成为平行四边形的一条边，平行四边形的高是从一边向对边作垂线的长度，高小于长方形的宽；长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，底等于长，高小于宽，所以面积减小。 所以把一个用木条钉成的长方形拉成一个平行四边形，平行四边形的面积比原来长方形减小。 【变式2】（24-25五年级上·河北沧州·期末）如下图，将长方形变成平行四边形，小红的方法使得图形的面积（    ），小亮的方法使得图形的周长（    ）。 A．变大；变小 B．变小；变大 C．不变；变大 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】根据长方形的面积＝长×宽、平行四边形的面积＝底×高，小红将长方形变成平行四边形，底的长度不变，但是高变小了（平行四边形的高小于长方形的宽），根据面积公式，当底不变，高变小，面积就会变小； 长方形的周长是四条边长度之和，平行四边形的周长也是四条边长度之和，小亮的方法是通过切割拼接，原来长方形的边有一部分从直边变成了斜边（平行四边形的倾斜的边）。在这个过程中，边长总和增加了，所以周长变大； 据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 小红的方法使得图形的面积变小，小亮的方法使得图形的周长变大。 故答案为：B 题型二 利用平移法求平行四边形的面积 【例2】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）把一个平行四边形沿高剪开拼成一个长方形，然后测量出拼成的长方形长8厘米，宽4.5厘米，原来的平行四边形面积是( )平方厘米，拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长变( )了（填“长”或“短”）。 【答案】 36 短 【思路引导】把一个平行四边形沿高剪开拼成一个长方形后形状改变但面积不变，所以原来的平行四边形的面积等于拼成的长方形的面积，根据长方形面积＝长×宽，将长和宽的数值代入公式计算即可求出原来的平行四边形的面积；平行四边形的周长由两条底和两条斜边组成，拼成长方形后，周长由两条长和两条宽组成，在拼接过程中，平行四边形的底经过平移后成为长方形的长，所以长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，根据直角三角形中斜边大于直角边，可知平行四边形的斜边长度大于高（即长方形的宽）的长度，所以拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长短；据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 8×4.5＝36（平方厘米） 拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长短。 原来的平行四边形面积是36平方厘米，拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长变短了。 【变式1】（24-25五年级上·河南焦作·期末）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。下面运用了转化思想的有（    ）。 A．①② B．①③ C．①②③ 【答案】C 【思路引导】①把平行四边形转化为长方形，利用长方形的面积求出平行四边形的面积，依此解答； ②把小数乘法转化为整数乘法，再根据小数点的移动引起小数大小的变化规律，确定积的小数位数； ③把小数除法转化为除数是整数的除法，再根据商不变的定律，将被除数转化为相同的倍数，在计算即可。 【规范解答】①把平行四边形转化为长方形，②把小数乘法转化为整数乘法，③把小数除法转化为除数是整数的除法，所以①②③都是运用的转化思想。 故答案为：C 【变式2】（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）淘气将一个平行四边形框架推拉成一个长方形，如下图所示。长方形与原来平行四边形相比，（     ）。    A．面积不变 B．面积增加了，增加的面积等于图①的面积 C．面积增加了，增加的面积等于图②的面积 【答案】B 【思路引导】根据平行四边形的面积＝底×高，，观察可知，长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽比平行四边形的高长，根据两个数同乘一个数，较大的数所得的积也较大可知，长方形的面积增加了。据此逐项分析判断。 【规范解答】A．据分析可知，将一个平行四边形框架推拉成一个长方形，长方形的面积增加了。该说法错误。 B．据分析可知，将一个平行四边形框架推拉成一个长方形，长方形的面积增加了，观察可知，右图右边的三角形平移到②的位置，则增加的面积等于图①的面积。该说法正确。 C．据分析可知，将一个平行四边形框架推拉成一个长方形，长方形的面积增加了，观察可知，右图右边的三角形平移到②的位置，则增加的面积等于图①的面积。该说法错误。 故答案为：B 题型三 三角形面积的计算与应用 【例3】（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）一个平行四边形的底是5.2厘米，高是3.5厘米，面积是( )平方厘米，与它等底等高的三角形面积是( )平方厘米。 【答案】 18.2 9.1 【思路引导】平行四边形的面积＝底×高，把题目中的数据代入公式求出这个平行四边形的面积，当平行四边形和三角形等底等高时，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此解答。 【规范解答】5.2×3.5＝18.2（平方厘米） 18.2÷2＝9.1（平方厘米） 所以，这个平行四边形的面积是18.2平方厘米，与它等底等高的三角形面积是9.1平方厘米。 【变式1】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）如下图，丽丽把长方形ABCD沿虚线剪下两个小三角形，把剪下的两个小三角形与剩下部分重新拼成一个大三角形，如图所示。已知BC的长是12cm，AB的长是5cm，那么阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】15 【思路引导】观察图可知，阴影部分三角形的底等于AD的一半，也就是等于BC的一半；高与AB相等，代入三角形面积公式，计算即可。 【规范解答】12÷2×5÷2 ＝6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（cm2） 阴影部分面积是15cm2。 【变式2】（24-25五年级上·湖南湘西·期末）下列说法，错误的是（    ）。 A．长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。 B．等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 C．a2和2a都表示两个a相乘。 D．是方程的解。 【答案】C 【思路引导】A．把一个长方形拉成平行四边形，四条边的长度没变，所以平行四边形与长方形的周长相等； 把一个长方形拉成平行四边形，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽；根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，可得出：平行四边形的面积小于长方形的面积。 B．根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，可知三角形与平行四边形等底等高时，三角形的面积是平行四边形面积的一半。 C．根据a2＝a×a，2a＝a＋a，得出a2和2a的意义不同。 D．根据等式的性质求方程5.6－3＝1.7的解，方程两边先同时加上3，把方程改写成1.7＋3＝5.6，然后方程两边先同时减去1.7，再同时除以3，求出的值，看是否等于1.3即可判断。 【规范解答】A．长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小；原选项说法正确。 B．等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，原选项说法正确。 C．a2表示两个a相乘，2a表示两个a相加，原选项说法错误。 D．5.6－3＝1.7 解：5.6－3＋3＝1.7＋3 1.7＋3＝5.6 1.7＋3－1.7＝5.6－1.7 3＝3.9 3÷3＝3.9÷3 ＝1.3 所以，＝1.3是方程5.6－3＝1.7的解，原选项说法正确。 故答案为：C 题型四 平行线间三角形的面积问题 【例4】（24-25五年级上·湖南株洲·期末）在如图两条平行线间，三角形ABC、三角形DBC和三角形EBC的面积（    ）。 A．相等 B．不相等 【答案】A 【思路引导】根据两条平行线之间的距离处处相等，可知三角形ABC、三角形DBC和三角形EBC的高都相等，且这三个三角形的底都是BC，根据三角形的面积＝底×高÷2，可知这三个三角形的面积相等。 【规范解答】根据三角形的面积公式，可知三角形ABC、三角形DBC和三角形EBC等底等高，所以三个三角形的面积相等。 故答案为：A 【变式1】（24-25五年级上·湖北黄石·期末）如下图，在一组平行线间有4个等底的三角形。这些三角形的面积总和是( )平方厘米。 【答案】44 【思路引导】根据题意可知，四个三角形在一组平行线间，已知四个三角形都是等底，则它们的高都等高，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出一个三角形面积，再乘4，即可解答。 【规范解答】4×5.5÷2×4 ＝22÷2×4 ＝11×4 ＝44（平方厘米） 这些三角形的面积总和是44平方厘米。 【变式2】（22-23五年级上·辽宁大连·期末）如图中，平行四边形的面积等于三角形的面积，三角形的底是 cm。 【答案】4 【思路引导】平行四边形和三角形等高、等面积，依据平行四边形的面积＝底×高，三角形的底＝面积×2÷高，将相关数据代入解答此题即可。 【规范解答】2×5×2÷5 ＝10×2÷5 ＝20÷5 ＝ 4（cm） 所以三角形的底是4cm。 题型五 梯形面积的计算与应用 【例5】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）下图方格纸中每个小正方形的边长均为1厘米，根据要求完成下列各题。 (1)如果ABCD是一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示是( )，此时平行四边形的面积是( )平方厘米。 (2)如果ABCE是一个直角梯形，且AE//BC，那么点E的位置用数对表示是( )，此时梯形的面积是( )平方厘米。 (3)连接图中AC，三角形ABC的面积是( )平方厘米。 【答案】(1) （8，3） 18 (2) （11，3） 22.5 (3)9 【思路引导】（1）用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。平行四边形对边平行且相等，点B在第5列第6行，用数对表示为（5，6），点C在第11列第6行，BC是水平线段，长度为11－5＝6；则AD也为水平线段，且长度也为6，点A在第2列第3行，用数对表示为（2，3），则点D与点A在同一行，列数加6，即2＋6＝8，所以点D在第8列第3行，用数对表示为（8，3）。 由图可知，平行四边形的底为6，高为6－3＝3，根据“平行四边形面积＝底×高”即可求出平行四边形的面积。 （2）已知 AE∥BC（BC 水平），故 AE 是水平线段（E 纵坐标与 A 相同，为 3）。直角梯形需有直角，因此 AE 与 AB 垂直（或 AE 与 CE 垂直）。E 的横坐标与 C 相同（保证 CE 垂直于 AE），得 E（11，3）。梯形的上底 BC＝6，下底 AE＝11－2＝9，高是垂直距离 6－3＝3。面积 ＝（上底＋下底）×高÷2＝（6＋9）×3÷2＝22.5平方厘米。 （3）BC 为底，长度 6；高是 A 到 BC 的垂直距离 6－3＝3。三角形面积 ＝底×高÷2＝6×3÷2＝9 平方厘米。 【规范解答】（1）点D与点A在同一行，列数加6，即2＋6＝8，所以点D在第8列第3行，用数对表示为（8，3），6×3＝18（平方厘米），所以平行四边形的面积是18平方厘米。 （2）E 的横坐标与 C 相同（保证 CE 垂直于 AE），所以 E（11，3）； （6＋9）×3÷2 ＝15×3÷2 ＝45÷2 ＝22.5（平方厘米） 所以梯形的面积是22.5平方厘米。 （3）6×3÷2 ＝18÷2 ＝9（平方厘米） 所以三角形的面积是9平方厘米。 【变式1】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）在下面的梯形中，剪去一个最大的平行四边形，剩下图形的面积是( )平方厘米。 【答案】5 【思路引导】梯形里剪去的平行四边形，是以梯形上底长度为一组对边，高等于梯形的高的这样一个平行四边形。根据S＝（a＋b）h÷2和S＝ah求出梯形面积和平行四边形面积，则剩余图形的面积＝梯形面积－平行四边形面积，据此解答。 【规范解答】（6＋8）×5÷2－6×5 ＝14×5÷2－30 ＝35－30 ＝5（平方厘米） 故剩下图形的面积是5平方厘米。 【变式2】（24-25五年级上·福建龙岩·期末）如图是学校一块空地的示意图。 （1）这块空地一共有多少平方米？ （2）如果要给这块空地铺上草皮，每块草皮0.8平方米，至少需要多少块这样的草皮？ 【答案】（1）10平方米 （2）13块 【思路引导】（1）这块空地的形状是个梯形，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式解答即可； （2）最后无论剩下多少空地，都得需要铺上草皮，空地面积÷每块草皮的面积，结果用进一法保留近似数即可。 【规范解答】（1）（3＋5）×2.5÷2 ＝8×2.5÷2 ＝10（平方米） 答：这块空地一共有10平方米。 （2）10÷0.8≈13（块） 答：至少需要13块这样的草皮。 题型六 与梯形相关的重叠问题 【例6】（23-24五年级上·山东济南·期末）两个完全一样的直角梯形如下图，重叠一部分，阴影部分的面积相比，（    ）。 A．S甲＝S乙 B．S甲＞S乙 C．S甲＜S乙 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】甲梯形面积＝重叠面积＋阴影部分面积，甲阴影部分面积＝甲梯形面积－重叠面积。乙梯形面积＝重叠面积＋阴影部分面积，乙阴影部分面积＝乙梯形面积－重叠面积，比较它们大小即可。 【规范解答】由分析可得： 甲阴影部分面积＝甲梯形面积－重叠面积 乙阴影部分面积＝乙梯形面积－重叠面积 根据题意可知，甲梯形面积＝乙梯形面积，所以甲阴影部分面积＝乙阴影部分面积，即S甲＝S乙 故答案为：A 【变式1】（21-22五年级上·浙江杭州·期末）三角形ABC和三角形DEF是两个完全一样的等腰直角三角形，求阴影部分面积。（单位：m）    【答案】102平方米 【思路引导】因为三角形ABC和三角形DEF是两个完全一样的等腰直角三角形，所以DE＝EF＝20米，MB＝BF＝EF－BE＝20－6＝14米，阴影部分面积＝S△ABC－S△MBF，梯形DEBM的面积＝S△DEF－S△MBF，则阴影部分面积＝梯形DEBM的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【规范解答】20－6＝14（米） （14＋20）×6÷2 ＝34×6÷2 ＝204÷2 ＝102（平方米） 答：阴影部分面积是102平方米。 【考点剖析】此题的解题关键是把求阴影部分面积转化成求梯形的面积，然后利用面积公式求出即可。 【变式2】（2018·重庆武隆·小升初真题）如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中涂色部分的面积是( )平方厘米。 【答案】30 【思路引导】根据图形观察，这两个直角三角形完全一样，它们的面积相等，左边阴影面积和下面梯形面积，都是相同的面积减去一个共同小三角形面积，所以阴影部分表面积＝下面梯形面积；下面梯形的上底：12－4＝8厘米，下底：12厘米，高：3厘米，代入梯形面积公式即可解答。 【规范解答】阴影部分面积：（12－4＋12）×3÷2 ＝（8＋12）×3÷2 ＝20×3÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 【考点剖析】本题考查相等面积的代换转化和梯形面积公式的灵活运用。 题型七 含多边形的组合图形的面积 【例7】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）下图是阳光小区的游乐园平面图，请你计算一下这个游乐园的占地面积有多少平方米？ 【答案】1080平方米 【思路引导】由图可知：这个游乐园的占地面积可以拆分成两个长方形的面积之和。一个是长为40米，宽为18米的大长方形，另一个是长为20米，宽为18米的小长方形。根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数值分别计算两个长方形的面积，再求和得到总面积。 【规范解答】40×18＋20×18 ＝720＋360 ＝1080（平方米） 所以这个游乐园的占地面积有1080平方米。 【变式1】（24-25五年级上·重庆长寿·期末）每年3月是赏花好时节，长寿湖公园里有一块空地（形状如图）。计划种植郁金香，按每棵郁金香占地0.02平方米，这块地一共可以种多少棵郁金香？ 【答案】35000棵 【思路引导】如图： 可以把这个图形分成一个长是20米，宽是20米的正方形和一个上底是10米，下底是20米，高是40－20＝20米的梯形，根据正方形的面积＝边长×边长，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2；把数值代入即可求出这块地的面积，再用这块地的面积除以0.02即可求出可以种多少棵郁金香。 【规范解答】如图： 20×20＋（10＋20）×（40－20）÷2 ＝400＋30×20÷2 ＝400＋600÷2 ＝400＋300 ＝700（平方米） 700÷0.02＝35000（棵） 答：这块地一共可以种35000棵郁金香。 【变式2】（24-25五年级上·湖南株洲·期末）求组合图形的面积。 【答案】50.5cm2 【思路引导】由图可知，组合图形由两部分组成：一部分是底为6cm，高为3cm的平行四边形，根据“平行四边形的面积＝底×高”计算出平行四边形的面积；另一部分是上底为4cm，下底为9cm，高为5cm的梯形，根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出梯形的面积。最后将平行四边形的面积和梯形的面积求和即可。 【规范解答】6×3＋（4＋9）×5÷2 ＝6×3＋13×5÷2 ＝18＋65÷2 ＝18＋32.5 ＝50.5（cm2） 所以组合图形的面积是50.5cm2。 题型八 求组合图形中阴影部分的面积 【例8】（24-25五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下图都是由大小相等的两个不同的正方形组成，阴影面积与左图相等的图形有( )（填序号）。 【答案】①② 【思路引导】假设小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，分别计算出左图和①②③的阴影面积，和左图进行比较即可，找出与左图面积相等的图形即可。 左图中阴影部分是一个梯形，利用梯形的面积公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2，可求出阴影部分的面积； ①中阴影部分可看作一个上底为4厘米，下底为2厘米，高为4厘米的梯形； ②中阴影部分可看作一个底和高都为4厘米的三角形和底为4厘米，高为2厘米的三角形组合而成； ③中阴影部分可看作一个上底为2厘米，下底为4厘米，高为（2＋4）厘米的梯形。 【规范解答】假设小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米， 左图：（2＋4）×4÷2 ＝6×4÷2 =24÷2 ＝12（平方厘米） ①的面积：（2＋4）×4÷2 ＝6×4÷2 =24÷2 ＝12（平方厘米） ②的面积：4×4÷2＋4×2÷2 ＝16÷2＋8÷2 ＝8＋4 ＝12（平方厘米） ③的面积：（2＋4）×（2＋4）÷2 ＝6×6÷2 =36÷2 ＝18（平方厘米） 因此，阴影面积与左图相等的图形有①②。 【变式1】（24-25五年级上·重庆合川·期末）计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】20cm2 【思路引导】由图可知，阴影部分面积是由两个三角形组成，其中一个大三角形底为6厘米，高为4厘米，另外一个小三角形底为4厘米，高为4厘米，最后根据三角形面积公式＝底高2，把两个三角形面积相加即可。 【规范解答】根据上述分析，列式可得： 6＋42 ＝12＋8 ＝20（cm2） 【变式2】（24-25五年级上·河南三门峡·期末）求下图中阴影部分的面积。 【答案】2.25dm2 【思路引导】由图可知，大正方形的边长是3dm，阴影部分的面积＝梯形的面积－小正方形的面积－三角形的面积。其中梯形的上底为1.5dm，下底为3dm，高为3dm，根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出梯形的面积；小正方形的边长为1.5dm，根据“正方形的面积＝边长×边长”计算出小正方形的面积；三角形的底为3－1.5＝1.5（dm）、高为3dm，根据“三角形的面积＝底×高÷2”计算出三角形的面积；最后将三部分面积代入阴影面积公式即可。 【规范解答】（1.5＋3）×3÷2－1.5×1.5－（3－1.5）×3÷2 ＝4.5×3÷2－1.5×1.5－1.5×3÷2 ＝13.5÷2－2.25－4.5÷2 ＝6.75－2.25－2.25 ＝4.5－2.25 ＝2.25（dm2） 所以阴影部分的面积为2.25dm2。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·广东广州·期末）一个梯形的上、下底之和是35dm，高是5.6dm，这个梯形的面积是（    ）dm2。 A．98 B．196 C．175 D．980 【答案】A 【思路引导】梯形的面积公式是“面积＝（上底＋下底）×高÷2”，梯形的上、下底之和是35dm，高是5.6dm，代入公式计算即可。 【规范解答】 （） 这个梯形的面积是98。 故答案为：A 2．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）一个平行四边形的面积是1.2平方分米，底是30厘米，与这条底相对应的高是（    ）。 A．4厘米 B．0.4厘米 C．4分米 D．0.04分米 【答案】A 【思路引导】1平方分米＝100平方厘米，据此将1.2平方分米换算成120平方厘米，根据平行四边形面积＝底×高，高＝面积÷底，代入数据，即可解题。 【规范解答】1.2平方分米＝120平方厘米 120÷30＝4（厘米） 一个平行四边形的面积是1.2平方分米，底是30厘米，与这条底相对应的高是4厘米。 故答案为：A 3．（24-25五年级上·云南昭通·期末）有一个梯形的面积是225平方米，高是15米，上底是24米，这个梯形的下底是（    ）。 A．4.2米 B．6米 C．18米 D．30米 【答案】B 【思路引导】根据公式：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以梯形的下底＝梯形的面积×2÷高－上底，代入数据得出答案。 【规范解答】225×2÷15－24 ＝450÷15－24 ＝30－24 ＝6（米） 所以这个梯形的下底是6米。 故答案为：B 4．（24-25五年级上·湖南株洲·期末）五一班同学为节能环保活动设计标语，并把标语写在了纸板上（如图），这个平行四边形的面积是18dm²，两个涂色三角形的面积之和是( )dm²。 【答案】9 【思路引导】由图可知，空白三角形的底是平行四边形的底，空白三角形的高是平行四边形的高，根据“三角形的面积＝底×高÷2”和“平行四边形的面积＝底×高”可知空白三角形的面积等于平行四边形面积的一半，那么阴影部分的面积也是平行四边形面积的一半，所以用18除以2即可。 【规范解答】18÷2＝9（dm2） 五一班同学为节能环保活动设计标语，并把标语写在了纸板上（如图），这个平行四边形的面积是18dm²，两个涂色三角形的面积之和是9dm²。 5．（24-25五年级上·河北石家庄·期末）一个平行四边形的面积是486cm2，如果它的高是18cm，那么它的底是( )cm；如果它的底是54cm，那么它的高是( )cm。 【答案】 27 9 【思路引导】平行四边形的面积公式为：面积＝底×高。已知面积和高时，可求底：底＝面积÷高；已知面积和底时，可求高：高＝面积÷底。将数据代入到公式中即可求出底和高，据此解答。 【规范解答】486÷18＝27（cm） 486÷54＝9（cm） 一个平行四边形的面积是486cm2，如果它的高是18cm，那么它的底是27 cm；如果它的底是54cm，那么它的高是9cm。 6．（24-25五年级上·广东揭阳·期末）下图中，阴影的平行四边形的面积是12cm2，空白的三角形的面积是 ( )cm2。 【答案】6 【思路引导】根据题意，如图，平行四边形的底是3cm，平行四边形的面积＝底×高，平行四边形的面积÷底＝高，代入算出平行四边形的高即可。平行四边形的高也是三角形的高。平行四边形的底和三角形的底合起来是6cm，用6cm减3cm算出三角形的底。三角形的面积＝底×高÷2，代入算出空白的三角形的面积即可。 【规范解答】12÷3＝4（cm） （6－3）×4÷2 ＝3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 所以，空白的三角形的面积是6cm2。 7．（24-25五年级上·四川凉山·期末）睿睿将一个平行四边形框架拉成长方形，它的面积变大了。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽。结合下图可知：当平行四边形框架被拉成长方形时，长方形的宽＞平行四边形的高，所以将一个平行四边形框架拉成长方形，它的面积变大了，据此分析。 【规范解答】将一个平行四边形框架拉成长方形，底不变，但是高变大了。所以睿睿将一个平行四边形框架拉成长方形，它的面积变大了。题干说法正确。 故答案为：√ 8．（24-25五年级上·河北邢台·期末）一个梯形的面积是45平方分米，高是1.5分米，与它等高等面积的平行四边形的底是15分米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高。已知平行四边形与梯形等高等面积，即面积为45平方分米，高为1.5分米，则底＝面积÷高＝45÷1.5＝30（分米）。 【规范解答】45÷1.5＝30（分米） 题干中底为15分米，30≠15，故说法错误。 故答案为：× 9．（24-25五年级上·广西河池·期末）求出下面图形的面积，长度单位为厘米。     【答案】30平方厘米；18.4平方厘米；18平方厘米 【思路引导】三角形面积＝底×高÷2；平行四边形面积＝底×高；组合图形的面积＝梯形面积＋长方形面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形面积＝长×宽，据此列式计算。 【规范解答】12×5÷2＝30（平方厘米） 4.6×4＝18.4（平方厘米） （3＋5）×2÷2＋5×2 ＝8×2÷2＋10 ＝8＋10 ＝18（平方厘米） 三角形的面积是30平方厘米，平行四边形的面积是18.4平方厘米，组合图形的面积是18平方厘米。 10．（24-25五年级上·山东菏泽·期末）一块三角形玉米地，底长为180米，高为50米，平均每平方米地收玉米6.5千克，这块地共收玉米多少千克？ 【答案】29250千克 【思路引导】根据三角形的面积＝底×高÷2，可求得三角形的面积，再用三角形的面积乘平均每平方米地收玉米6.5千克，即可求得这块地共收玉米多少千克。 【规范解答】180×50÷2 ＝9000÷2 ＝4500（平方米） 6.5×4500＝29250（千克） 答：这块地共收玉米29250千克。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·河北唐山·期末）长13分米、宽8分米的长方形纸，剪成直角边4分米的等腰直角三角形，最多可剪成（    ）个。 A．6 B．12 C．13 D．24 【答案】B 【思路引导】先分析长方形的长和宽能剪出的正方形数量：等腰直角三角形可由边长为4分米的正方形沿对角线剪开得到，因此先看长方形纸能剪出多少个边长为4分米的正方形。 长13分米：13÷4＝3（个）……1（分米），即长的方向能剪3个。 宽8分米：8÷4＝2（个），即宽的方向能剪2个。 总共能剪出正方形：3×2＝6（个）。 再计算等腰直角三角形的数量：每个正方形可剪出2个等腰直角三角形，因此三角形总数：6×2＝12（个）。 【规范解答】13÷4＝3（个）……1（分米） 8÷4＝2（个） 3×2＝6（个） 6×2＝12（个） 因此，长13分米、宽8分米的长方形纸，剪成直角边4分米的等腰直角三角形，最多可剪成12个。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·河北石家庄·期末）如图，已知平行四边形的面积是30平方米，则空白部分的面积是（    ）平方米。 A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【思路引导】由图可知，阴影部分三角形与平行四边形等底等高，三角形面积是与其等底等高平行四边形面积的一半，则空白部分也是平行四边形面积的一半。据此解答。 【规范解答】30÷2＝15（平方米） 所以空白部分的面积是15平方米。 故答案为：C 3．（24-25五年级上·重庆长寿·期末）王奶奶和李奶奶用同样长的篱笆，一面靠墙分别围成一个菜园（如图所示），两个菜园的面积相比，（    ）。 A．王奶奶家的菜园大 B．李奶奶家的菜园大 C．一样大 【答案】C 【思路引导】观察图形可知：直角梯形的高是10m，直角三角形的一条直角边长是10m。假设篱笆的长是am（a＞10），则直角梯形上底和下底的和是（a－10）m，直角三角形另一条直角边长是（a－10）m。根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”可知，求王奶奶家的菜园面积列式为（a－10）×10÷2；根据“三角形的面积＝底×高÷2”可知，求李奶奶家的菜园面积列式为（a－10）×10÷2；最后化简这两个式子并比较大小。 【规范解答】假设篱笆的长是am（a＞10）。 王奶奶家的菜园面积： （a－10）×10÷2 ＝5×（a－10） ＝（5a－50）（m2） 李奶奶家的菜园面积： （a－10）×10÷2 ＝5×（a－10） ＝（5a－50）（m2） 所以，王奶奶家的菜园面积和李奶奶家的菜园面积一样大。 故答案为：C 4．（24-25五年级上·河北唐山·期末）如图一个三角形的底是15厘米，如果底缩小3厘米，面积就缩小18平方厘米，原来三角形的面积是( )平方分米。 【答案】0.9 【思路引导】一个三角形的底是15厘米，如果底缩小3厘米，则缩小的图形是一个底为3厘米的三角形，已知缩小的面积是18平方厘米，可求出三角形的高，即是原三角形的高，再根据三角形的面积公式＝底×高÷2，可求出原来三角形的面积，最后根据1平方分米＝100平方厘米换算成平方分米作单位，据此解答 【规范解答】高：18×2÷3 ＝36÷3 ＝12（厘米） 15×12÷2 ＝180÷2 ＝90（平方厘米） 90平方厘米＝0.9平方分米 如图一个三角形的底是15厘米，如果底缩小3厘米，面积就缩小18平方厘米，原来三角形的面积是0.9平方分米。 5．（24-25五年级上·河北唐山·期末）一个等边三角形的周长是18平方厘米，高是4.5厘米，它的面积是( )平方分米，与它等底等高的平行四边形的面积是( )平方分米。 【答案】 0.135 0.27 【思路引导】一个等边三角形的周长是18厘米，边长＝周长÷3，根据三角形面积＝底×高÷2，因为与它等底等高的平行四边形面积＝底×高，所以与它等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，求出面积后要根据1平方分米＝100平方厘米换算单位，即可解答。 【规范解答】18÷3×4.5÷2 ＝6×4.5÷2 ＝27÷2 ＝13.5（平方厘米） 13.5平方厘米＝0.135平方分米 0.135×2＝0.27（平方分米） 一个等边三角形的周长是18平方厘米，高是4.5厘米，它的面积是0.135平方分米，与它等底等高的平行四边形的面积是0.27平方分米。 6．（24-25五年级上·上海嘉定·期末）求阴影部分的面积。（单位：米） 【答案】 12平方米 【思路引导】要想求阴影部分的面积，必须要知道阴影三角形10米底边的高，因为阴影的三角形、白色三角形、梯形的高都相等（平行线间的垂直线段都相等），所以求出白色三角形5米底边的高即可。三角形面积公式：，白色三角形面积可以表示成：3×4÷2＝5×高÷2，由此算式可以求出白色三角形5米这条底边上的高：3×4÷2×2÷5＝2.4（米），两个阴影三角形中，左边的下面的顶点可以移到右边阴影三角形的下面的顶点处，新得到的三角形和原来左边阴影三角形面积相等（同底等高的两个三角形面积相等），这样就把求2个阴影三角形的面积和转化成了求底是10米，高是2.4米的三角形的面积。 【规范解答】4×3÷5 ＝12÷5 ＝2.4（米） 10×2.4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方米） 即：阴影部分的面积是12平方米。 7．（24-25五年级上·河北唐山·期末）如图1： (1)探索平行四边形的面积公式时，明明是这样做的，沿着平行四边形任意一条边上的高，将平行四边形分成两部分，再经过平移或者旋转，可以将平行四边形转化成长方形。观察发现如下关系： ①剪拼成长方形的面积与平行四边形的面积( )。 ②拼成的长方形的长＝( )，拼成的长方形的宽＝( )。 ③因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝( )。 (2)如图2： 探索平行四边形拉伸和平移问题 ①把一个长方形框拉成平行四边形，周长( )，面积( )； ②把一个平行四边形框拉成长方形，周长( )，面积( )； ③把一个平行四边形拼成长方形，面积( )，周长( )。 【答案】(1) 相等 平行四边形的底 平行四边形的高 底×高 (2) 不变 变小 不变 变大 不变 变小 【思路引导】（1）用剪拼的方法可以把一个平行四边形转化成一个长方形，这个长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽与平行四边形的高相等，长方形的面积与平行四边形的相等，因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高。 （2）把一个长方形框拉成平行四边形，四条边长度不变，所以长方形与平行四边形的周长相等，而长方形的长与平行四边形的底相等，平行四边形的高比长方形的宽小，所以平行四边形面积比长方形面积小。 把一个平行四边形框拉成长方形，四条边长度不变，所以长方形与平行四边形的周长相等，而长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽比平行四边形的高长，所以长方形面积比平行四边形面积大。 把一个平行四边形拼成长方形，长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽与平行四边形的高相等，所以面积不变，而长方形的宽比平行四边形的左边或右边短，所以长方形周长比平行四边形周长小。 【规范解答】（1）探索平行四边形的面积公式时，明明是这样做的，沿着平行四边形任意一条边上的高，将平行四边形分成两部分，再经过平移或者旋转，可以将平行四边形转化成长方形。观察发现如下关系： ①剪拼成长方形的面积与平行四边形的面积相等。 ②拼成的长方形的长＝平行四边形的底，拼成的长方形的宽＝平行四边形的高。 ③因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高。 （2）探索平行四边形拉伸和平移问题 ①把一个长方形框拉成平行四边形，周长不变，面积变小； ②把一个平行四边形框拉成长方形，周长不变，面积变大； ③把一个平行四边形拼成长方形，面积不变，周长变小。 8．（24-25五年级上·河北唐山·期末）实验小学在学校操场的一角利用一面墙围了一块菜地（如图）。竹篱笆的全长是45米，这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】208平方米 【思路引导】观察图形可知，用竹篱笆围成了一个直角梯形的菜地，且一面靠墙，梯形的高是13米；先用竹篱笆的总长减去13米，求出梯形的上底与下底之和，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可求出这块菜地的面积。 【规范解答】（45－13）×13÷2 ＝32×13÷2 ＝416÷2 ＝208（平方米） 答：这块菜地的面积是208平方米。 9．（24-25五年级上·广东揭阳·期末）一块稻田的形状如图（单位：m），这块稻田的面积是多少公顷？ 【答案】5公顷 【思路引导】据图可知：这个稻田可以分成一个底是200米，高是100米的三角形和一个上底是150米，下底是250米，高是200米的梯形，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式分别求出三角形和梯形的面积，再相加即可求出稻田的面积，最后根据1公顷＝10000平方米把单位换算成公顷。 【规范解答】200×100÷2＋（150＋250）×200÷2 ＝20000÷2＋400×200÷2 ＝10000＋80000÷2 ＝10000＋40000 ＝50000（平方米） 50000平方米＝5公顷 答：这块稻田的面积是5公顷。 10．（24-25五年级上·湖南株洲·期末）低碳农业的发展也为农民的增产增收助力。如下图，李叔叔家的一块地被分成了三小块，分别是三角形、平行四边形和梯形。 （1）李叔叔要用农业无人机为三小块地中最大的一块喷洒农药，如果农业无人机每分钟能喷洒170平方米农田，那么需要多少分钟能喷洒完？ （2）玉米秸秆回收再利用，不仅避免了焚烧带来的大气污染，而且为农民增加了收入。上面最小的一块地种的是玉米，如果每平方米玉米地能产出1.5千克的秸秆，每吨秸秆的收购价格是300元，那么这块玉米地的秸秆能卖多少钱？ 【答案】（1）40分钟 （2）2218.5元 【思路引导】（1）用农业无人机为三小块地中最大的一块喷洒农药，求多长时间能喷洒完，根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别计算出三块地的面积，用最大的面积除以无人机每分钟喷洒面积即可。 （2）由（1）求出的最小的面积即为玉米地的面积，用玉米地的面积乘每平方米能产出的秸秆质量，再乘每吨秸秆的收购价，就是这块玉米地的秸秆能卖的钱。 【规范解答】（1）三角形面积：116×85÷2＝4930（平方米） 平行四边形面积：80×85＝6800（平方米） 梯形面积： （85＋35）×85÷2 ＝120×85÷2 ＝10200÷2 ＝5100（平方米） 4930＜5100＜6800 6800÷170＝40（分钟） 答：需要40分钟喷洒完。 （2）1.5×4930＝7395（千克）＝7.395（吨） 7.395×300＝2218.5（元） 答：这块玉米地的秸秆能卖2218.5元。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25五年级上·广东广州·期末）如图，A点是平行四边形底边上的中点，平行四边形的面积是26.4cm2，则涂色部分的面积是（    ）cm2。 A．26.4 B．13.2 C．6.6 D．3.3 【答案】C 【思路引导】涂色部分是一个三角形，三角形的底是平行四边形底的一半，高与平行四边形的高相等，根据等底等高三角形的面积是平行四边形面积的一半，则涂色部分的面积是平行四边形面积的四分之一。 【规范解答】26.4÷2÷2＝6.6（平方厘米） 故答案为：C 【考点剖析】由等底等高三角形的面积是平行四边形面积的一半，判断涂色部分的面积与平行四边形面积的关系。 2．（24-25五年级上·福建漳州·期末）下面说法正确的有（    ）个。 ①平行四边形的面积是三角形的2倍。 ②若m÷n＝5……2，则（m×10）÷（n×10）的商是5，余数是20。 ③一个直角三角形的三条边分别长6cm、8cm、10cm，它的面积是24cm2。 ④4.30505…的循环节是05。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题问说法正确的有几个，那么需要逐项进行分析。 关于①：平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍，这里没有强调等底等高这个条件，所以①错误； 关于②：根据商不变规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变还是5，但余数会跟着扩大10倍，变为20，所以②正确。 关于③：因为直角三角形的三条边分别长6cm、8cm、10cm，根据直角三角形的斜边最长，可以判定直角三角形两条直角边分别是6cm、8cm，那么这个直角三角形面积 （），即这个直角三角形面积为24，所以③正确。 关于④：循环节是指一个循环小数的小数部分依次不断的重复出现的一个或几个数字，4.30505…小数部分依次不断重复出现的数字是05，即它的循环节是05，所以④正确。 【规范解答】根据分析： 正确的说法有②、③、④，共有3个。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查的知识点较多，要对每小条的说法进行判定，要掌握平行四边形与三角形面积关系，明确等底等高这个关键前提；要理解被除数和除数同时扩大相同倍数时，商不变，但余数会相应扩大相同的倍数；要能根据直角三角形三边长度判断出直角边，进而运用面积公式计算直角三角形面积；要能准确识别判定循环小数中依次不断重复出现的数字即为循环节。 3．（24-25五年级上·湖北荆门·期末）已知图中梯形ABCD的面积是180cm2，下底长是上底长的2倍，涂色部分的面积是（    ）。 A．150 B．120 C．90 D．60 【答案】B 【思路引导】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，阴影部分是一个三角形，三角形的面积＝底×高÷2。三角形的底＝梯形的下底＝2倍的梯形的上底，它们的高相等，据此写出两个图形面积表达式找到二者面积之间的关系进行解答。 【规范解答】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2＝180cm2 （上底＋上底×2）×高÷2＝180cm2 即：3×上底×高÷2＝180cm2 所以，上底×高÷2＝180÷3＝60cm2 三角形面积＝下底×高÷2＝2×上底×高÷2 所以，三角形的面积＝60×2＝120cm2 已知图中梯形ABCD的面积是180cm2，下底长是上底长的2倍，涂色部分的面积是120cm2。 故答案为：B 【考点剖析】解答此题的关键是熟悉三角形和梯形的面积公式，用相同的量表示出面积找寻二者之间的关系。 4．（24-25五年级上·重庆合川·期末）一个梯形的上底是6cm、下底是9cm，把它的上底延长( )cm就变成了平行四边形，这时面积增加了18cm2，这个梯形的高是( )cm。 【答案】 3 12 【思路引导】①平行四边形对边相等，梯形上底比下底短的长度就是需要延长的长度； ②增加的面积是一个三角形的面积，三角形的底是延长的长度，高与梯形的高相等，利用三角形面积公式可求出高。 【规范解答】①（厘米） ② （厘米） 【考点剖析】梯形变成平行四边形的关键：上底延长至与下底等长，延长长度＝下底－上底； 面积增加的部分是三角形，其底为延长的长度，高与梯形高一致，利用“三角形的高＝面积×2÷底”可关联到梯形的高。 5．（24-25五年级上·福建厦门·期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，恰好拼成一个长方形（如下图）。已知三角形ABC的底是8cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是( )cm2。 【答案】4 【思路引导】根据图示可知，长方形的长是三角形ABC底边的一半，长方形的高是三角形ABC底边的高的一半，所以长方形的面积是三角形ABC的面积的一半。 由图中的折叠可知，涂色部分的三角形的底边是长方形的长，它的高是三角形ABC底边的高的一半，即涂色部分的三角形的高与长方形的高相等，所以涂色部分的三角形的面积是长方形面积的一半。因此，求出三角形ABC的面积后除以2是长方形的面积，再除以2即是涂色部分的面积。 【规范解答】 图中涂色部分的面积是 【考点剖析】本题主要考查了图形折叠问题的应用以及三角形、长方形面积计算的应用。 6．（22-23五年级上·海南省直辖县级单位·期末）如下图，大正方形的边长是16厘米，求阴影部分的面积。 【答案】128平方厘米 【思路引导】假设出小正方形的边长，整个图形的面积＝梯形ABCF的面积＋正方形CDEF的面积，空白部分的面积＝三角形ABD的面积＋三角形DEF的面积，阴影部分的面积＝整个图形的面积－空白部分的面积，据此解答。 【规范解答】假设小正方形的边长为a厘米。 （a＋16）×a÷2＋16×16－（a＋16）×a÷2－16×16÷2 ＝（a＋16）×a÷2－（a＋16）×a÷2＋16×16－16×16÷2 ＝（a2＋16a）÷2－（a2＋16a）÷2＋16×16－16×16÷2 ＝16×16－16×16÷2 ＝256－256÷2 ＝256－128 ＝128（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是128平方厘米。 7．（24-25五年级上·青海果洛·期末）同学们在研究三角形面积公式时，小明用了以下方法。 （1）在推导三角形的面积公式时，小明同时运用了（    ）。（填序号） ①出入相补原理　　　　　　　　②转化的方法 ③长方形的周长公式　　　　　　④长方形的面积公式 （2）同学们还用了其他方法，请你选择一种方法，写出思考过程。 【答案】（1）①②④ （2）①（或②）；思考过程见详解 【思路引导】（1）将三角形沿高的中点分成两个三角形，再剪拼成一个完整的长方形，其中，长方形的长对应三角形的底，长方形的宽对应三角形的高的一半即长方形的宽＝三角形的高÷2，根据“长方形的面积＝长×宽”可知“三角形的面积＝底×高÷2”；整个过程利用了“出入相补”原理将三角形转化成一个长方形，最后根据长方形的面积公式推导出三角形的面积公式，所以小明同时运用了①②④； （2）选择①：用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，根据“平行四边形的面积＝底×高”可知“三角形的面积＝底×高÷2”； 选择②：将三角形沿高的中点分成两个三角形，再拼接成一个平行四边形，其中，平行四边形的底对应三角形的底，平行四边形的高对应三角形的高的一半即平行四边形的高＝三角形的高÷2，根据“平行四边形的面积＝底×高”可知“三角形的面积＝底×高÷2”。 【规范解答】（1）根据分析： 在推导三角形的面积公式时，小明同时运用了出入相补原理、转化的方法、长方形的面积公式，即①②④。 （2）选择①：用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。 平行四边形的底＝三角形的底； 平行四边形的高＝三角形的高； 平行四边形的面积＝底×高； 三角形的面积＝平行四边形的面积÷2＝底×高÷2； 所以三角形的面积＝底×高÷2。 选择②：将一个三角形剪拼成一个平行四边形。 平行四边形的底＝三角形的底； 平行四边形的高＝三角形的高÷2； 平行四边形的面积＝平行四边形的底×平行四边形的高＝三角形的底×三角形的高÷2； 三角形的面积＝平行四边形的面积＝底×高÷2； 所以三角形的面积＝底×高÷2。 【考点剖析】本题考查三角形面积公式的推导，找出三角形的底和高与长方形长和宽、平行四边形底和高的关系是关键。 8．（24-25五年级上·浙江·期末）如下图，已知长方形ABCD的面积是79.2平方厘米，平行四边形BCEF的面积是43.2平方厘米。如果BC是9厘米，那么DG长多少厘米？ 【答案】4厘米 【思路引导】如图，长方形的面积＝BC×CD，根据长方形面积是79.2平方厘米，BC是9厘米，用长方形面积÷BC计算出CD的长度；平行四边形的面积＝BC×CG，根据平行四边形的面积是43.2平方厘米，用平行四边形面积÷BC计算出CG的长度，最后用CD减CG的长度就是DG的长度。 【规范解答】CD：79.2÷9＝8.8（厘米） CG：43.2÷9＝4.8（厘米） DG：8.8－4.8＝4（厘米） 答：DG长4厘米。 【考点剖析】关键得到BC边是长方形的长，也是平行四边形的底，CD是长方形的宽，CG是平行四边形的高，DG用CD减CG得到。 9．（24-25五年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，3个等腰直角三角形叠放在一起，它们的斜边都在一条直线上。已知最小的等腰直角三角形的斜边长是4厘米，其余2个等腰直角三角形的斜边长依次多4厘米。则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】24平方厘米 【思路引导】每一个等腰直角三角形过直角顶点作对边的高（如下图所示），都可以把等腰直角三角形分成两个相同的小等腰直角三角形，且两个小等腰直角三角形的直角边等于大直角三角形斜边的一半。据此可求出三个等腰直角三角形的底和高。 求3个等腰直角三角形叠放在一起中阴影部分的面积，先根据“三角形的面积＝底×高÷2”分别计算出三个三角形的面积（小三角形底是4厘米，高是2厘米；中间三角形底是8厘米，高是4厘米；大三角形底是12厘米，高是6厘米），然后用大三角形的面积减去中间三角形的面积，再加上小三角形的面积即可。 【规范解答】最小三角形的面积： 4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 中间三角形面积： 4＋4＝8（厘米） 8÷2＝4（厘米） 8×4÷2 ＝32÷2 ＝16（平方厘米） 最大三角形的面积： 8＋4＝12（厘米） 12÷2＝6（厘米） 12×6÷2 ＝72÷2 ＝36（平方厘米） 36－16＋4 ＝20＋4 ＝24（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是24平方厘米。 【考点剖析】本题关键是确定等腰直角三角形的高。 10．（22-23五年级上·江西萍乡·期末）如图，将一个平行四边形分成三角形和梯形两部分，梯形面积比三角形面积大24平方厘米，那么梯形的上底长是多少？（单位：厘米） 【答案】4厘米 【思路引导】从图中可知三角形、梯形、平行四边形的高都是6厘米；先根据三角形的面积＝底×高÷2，求出阴影部分三角形的面积，再加上24平方厘米，即是梯形的面积；然后用三角形的面积加上梯形的面积，求出整个平行四边形的面积；根据平行四边形的底＝平行四边形的面积÷高，求出平行四边形的底，再减去三角形的底，即是梯形的上底。 【规范解答】三角形的面积：14×6÷2＝42（平方厘米） 梯形的面积：42＋24＝66（平方厘米） 平行四边形的面积：42＋66＝108（平方厘米） 平行四边形的底：108÷6＝18（厘米） 梯形的下底：18－14＝4（厘米） 答：梯形的上底长是4厘米。 【考点剖析】本题考查三角形、平行四边形、梯形面积公式的灵活运用，求出平行四边形的底是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 多边形的面积（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 多边形面积公式及推导： 掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式（S平行四边形=ah、S三角形=ah÷2、S梯形=(a+b)h÷2）及其推导过程，理解转化思想。 牢记多边形面积公式，清晰推导过程，深刻理解转化思想并能灵活运用。 常以填空、选择、判断形式出现，考查对公式和推导的理解。 多边形面积计算： 运用面积公式准确计算平行四边形、三角形、梯形的面积，能根据面积和部分条件求其他未知量。 熟练运用公式进行面积及未知量计算，提高计算准确性和速度。 以填空、计算、解答题为主，是基础且重要的考察内容。 多边形之间的关系： 明确等底等高的平行四边形与三角形、梯形之间的面积关系，如等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 清晰掌握多边形面积关系，能灵活运用关系解决相关问题。 多以填空、选择、判断形式考察，检验对关系的理解和运用能力。 组合图形与不规则图形面积： 学会用分割、拼凑等方法求组合图形面积，能用数方格或转化法估算不规则图形面积。 掌握组合图形面积求法，能合理估算不规则图形面积，提升综合解题能力。 在解答题中较为常见，分值占比较高，考查综合运用知识和解决问题的能力。 实际应用问题： 运用多边形面积知识解决生活中的实际问题，如土地面积计算、材料使用等。 学会分析实际问题，准确运用面积知识解决问题，增强应用意识。 以解答题形式出现，结合生活场景，考查知识的实际运用能力。 知识点01：平行四边形的面积 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 面积公式：平行四边形面积 = 底 × 高（） 公式推导： 通过割补法将平行四边形转化为长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以平行四边形面积 = 底 × 高。 易错点拨： 1.底和高必须是对应的（互相垂直）。 2.单位要统一（如厘米对应平方厘米）。 知识点02：三角形的面积 定义：由三条线段围成的封闭图形叫做三角形。 面积公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2（） 公式推导： 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以一个三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。 注意事项： 1.必须用对应的底和高计算。 2.不要忘记除以2。 示例：一个三角形的底是5m，高是3m，面积是 。 知识点03：梯形的面积 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形（互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰）。 面积公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2（） 公式推导：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高等于梯形的高。 因为平行四边形面积 = 底 × 高，所以一个梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2。 示例：一个梯形的上底是4dm，下底是6dm，高是3dm，面积是 。 知识点04：组合图形的面积 定义：由两个或两个以上基本图形组合而成的图形叫做组合图形。 计算方法： 1.分割法：将组合图形分割成已学过的基本图形（如长方形、平行四边形、三角形、梯形），分别计算面积后相加。 2.添补法：用一个大图形的面积减去补上去的小图形面积。 知识点05：不规则图形的面积估算 方法： 1.数方格法：满格按1格计算，不满格按半格计算。 2.转化法：将不规则图形近似转化为已学过的基本图形估算面积。 知识点06：易错点与培优技巧 易错点拨： 1.计算三角形、梯形面积时忘记除以2。 2.误用不对应的底和高计算面积（如梯形的腰当作高）。 3.单位换算错误（如平方米与平方分米混淆）。 培优技巧： 1.辅助线法：通过添加辅助线将复杂图形转化为基本图形（如连接梯形对角线分成两个三角形）。 2.等积变形：利用平行线间的距离相等，将图形转化为同底等高的等积图形简化计算。 3.公式逆用：已知面积和底（或高），求高（或底）时灵活运用公式变形（如 ）。 题型一 平行四边形面积的计算与应用 【例1】（24-25五年级上·河南南阳·期末）下图中长方形的面积比平行四边形的面积小。( ) 【变式1】（24-25五年级上·河北保定·期末）把一个用木条钉成的长方形拉成一个平行四边形，平行四边形的面积比原来长方形( )。（填“增大”“减小”“不变”） 【变式2】（24-25五年级上·河北沧州·期末）如下图，将长方形变成平行四边形，小红的方法使得图形的面积（    ），小亮的方法使得图形的周长（    ）。 A．变大；变小 B．变小；变大 C．不变；变大 D．无法比较 题型二 利用平移法求平行四边形的面积 【例2】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）把一个平行四边形沿高剪开拼成一个长方形，然后测量出拼成的长方形长8厘米，宽4.5厘米，原来的平行四边形面积是( )平方厘米，拼成的长方形的周长比原来平行四边形的周长变( )了（填“长”或“短”）。 【变式1】（24-25五年级上·河南焦作·期末）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。下面运用了转化思想的有（    ）。 A．①② B．①③ C．①②③ 【变式2】（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）淘气将一个平行四边形框架推拉成一个长方形，如下图所示。长方形与原来平行四边形相比，（     ）。    A．面积不变 B．面积增加了，增加的面积等于图①的面积 C．面积增加了，增加的面积等于图②的面积 题型三 三角形面积的计算与应用 【例3】（24-25五年级上·辽宁鞍山·期末）一个平行四边形的底是5.2厘米，高是3.5厘米，面积是( )平方厘米，与它等底等高的三角形面积是( )平方厘米。 【变式1】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）如下图，丽丽把长方形ABCD沿虚线剪下两个小三角形，把剪下的两个小三角形与剩下部分重新拼成一个大三角形，如图所示。已知BC的长是12cm，AB的长是5cm，那么阴影部分的面积是( )cm2。 【变式2】（24-25五年级上·湖南湘西·期末）下列说法，错误的是（    ）。 A．长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。 B．等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 C．a2和2a都表示两个a相乘。 D．是方程的解。 题型四 平行线间三角形的面积问题 【例4】（24-25五年级上·湖南株洲·期末）在如图两条平行线间，三角形ABC、三角形DBC和三角形EBC的面积（    ）。 A．相等 B．不相等 【变式1】（24-25五年级上·湖北黄石·期末）如下图，在一组平行线间有4个等底的三角形。这些三角形的面积总和是( )平方厘米。 【变式2】（22-23五年级上·辽宁大连·期末）如图中，平行四边形的面积等于三角形的面积，三角形的底是 cm。 题型五 梯形面积的计算与应用 【例5】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）下图方格纸中每个小正方形的边长均为1厘米，根据要求完成下列各题。 (1)如果ABCD是一个平行四边形，那么点D的位置用数对表示是( )，此时平行四边形的面积是( )平方厘米。 (2)如果ABCE是一个直角梯形，且AE//BC，那么点E的位置用数对表示是( )，此时梯形的面积是( )平方厘米。 (3)连接图中AC，三角形ABC的面积是( )平方厘米。 【变式1】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）在下面的梯形中，剪去一个最大的平行四边形，剩下图形的面积是( )平方厘米。 【变式2】（24-25五年级上·福建龙岩·期末）如图是学校一块空地的示意图。 （1）这块空地一共有多少平方米？ （2）如果要给这块空地铺上草皮，每块草皮0.8平方米，至少需要多少块这样的草皮？ 题型六 与梯形相关的重叠问题 【例6】（23-24五年级上·山东济南·期末）两个完全一样的直角梯形如下图，重叠一部分，阴影部分的面积相比，（    ）。 A．S甲＝S乙 B．S甲＞S乙 C．S甲＜S乙 D．无法确定 【变式1】（21-22五年级上·浙江杭州·期末）三角形ABC和三角形DEF是两个完全一样的等腰直角三角形，求阴影部分面积。（单位：m）    【变式2】（2018·重庆武隆·小升初真题）如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中涂色部分的面积是( )平方厘米。 题型七 含多边形的组合图形的面积 【例7】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）下图是阳光小区的游乐园平面图，请你计算一下这个游乐园的占地面积有多少平方米？ 【变式1】（24-25五年级上·重庆长寿·期末）每年3月是赏花好时节，长寿湖公园里有一块空地（形状如图）。计划种植郁金香，按每棵郁金香占地0.02平方米，这块地一共可以种多少棵郁金香？ 【变式2】（24-25五年级上·湖南株洲·期末）求组合图形的面积。 题型八 求组合图形中阴影部分的面积 【例8】（24-25五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下图都是由大小相等的两个不同的正方形组成，阴影面积与左图相等的图形有( )（填序号）。 【变式1】（24-25五年级上·重庆合川·期末）计算下面图形阴影部分的面积。 【变式2】（24-25五年级上·河南三门峡·期末）求下图中阴影部分的面积。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·广东广州·期末）一个梯形的上、下底之和是35dm，高是5.6dm，这个梯形的面积是（    ）dm2。 A．98 B．196 C．175 D．980 2．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）一个平行四边形的面积是1.2平方分米，底是30厘米，与这条底相对应的高是（    ）。 A．4厘米 B．0.4厘米 C．4分米 D．0.04分米 3．（24-25五年级上·云南昭通·期末）有一个梯形的面积是225平方米，高是15米，上底是24米，这个梯形的下底是（    ）。 A．4.2米 B．6米 C．18米 D．30米 4．（24-25五年级上·湖南株洲·期末）五一班同学为节能环保活动设计标语，并把标语写在了纸板上（如图），这个平行四边形的面积是18dm²，两个涂色三角形的面积之和是( )dm²。 5．（24-25五年级上·河北石家庄·期末）一个平行四边形的面积是486cm2，如果它的高是18cm，那么它的底是( )cm；如果它的底是54cm，那么它的高是( )cm。 6．（24-25五年级上·广东揭阳·期末）下图中，阴影的平行四边形的面积是12cm2，空白的三角形的面积是 ( )cm2。 7．（24-25五年级上·四川凉山·期末）睿睿将一个平行四边形框架拉成长方形，它的面积变大了。( )（判断对错） 8．（24-25五年级上·河北邢台·期末）一个梯形的面积是45平方分米，高是1.5分米，与它等高等面积的平行四边形的底是15分米。( )（判断对错） 9．（24-25五年级上·广西河池·期末）求出下面图形的面积，长度单位为厘米。     10．（24-25五年级上·山东菏泽·期末）一块三角形玉米地，底长为180米，高为50米，平均每平方米地收玉米6.5千克，这块地共收玉米多少千克？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25五年级上·河北唐山·期末）长13分米、宽8分米的长方形纸，剪成直角边4分米的等腰直角三角形，最多可剪成（    ）个。 A．6 B．12 C．13 D．24 2．（24-25五年级上·河北石家庄·期末）如图，已知平行四边形的面积是30平方米，则空白部分的面积是（    ）平方米。 A．25 B．20 C．15 D．10 3．（24-25五年级上·重庆长寿·期末）王奶奶和李奶奶用同样长的篱笆，一面靠墙分别围成一个菜园（如图所示），两个菜园的面积相比，（    ）。 A．王奶奶家的菜园大 B．李奶奶家的菜园大 C．一样大 4．（24-25五年级上·河北唐山·期末）如图一个三角形的底是15厘米，如果底缩小3厘米，面积就缩小18平方厘米，原来三角形的面积是( )平方分米。 5．（24-25五年级上·河北唐山·期末）一个等边三角形的周长是18平方厘米，高是4.5厘米，它的面积是( )平方分米，与它等底等高的平行四边形的面积是( )平方分米。 6．（24-25五年级上·上海嘉定·期末）求阴影部分的面积。（单位：米） 7．（24-25五年级上·河北唐山·期末）如图1： (1)探索平行四边形的面积公式时，明明是这样做的，沿着平行四边形任意一条边上的高，将平行四边形分成两部分，再经过平移或者旋转，可以将平行四边形转化成长方形。观察发现如下关系： ①剪拼成长方形的面积与平行四边形的面积( )。 ②拼成的长方形的长＝( )，拼成的长方形的宽＝( )。 ③因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝( )。 (2)如图2： 探索平行四边形拉伸和平移问题 ①把一个长方形框拉成平行四边形，周长( )，面积( )； ②把一个平行四边形框拉成长方形，周长( )，面积( )； ③把一个平行四边形拼成长方形，面积( )，周长( )。 8．（24-25五年级上·河北唐山·期末）实验小学在学校操场的一角利用一面墙围了一块菜地（如图）。竹篱笆的全长是45米，这块菜地的面积是多少平方米？ 9．（24-25五年级上·广东揭阳·期末）一块稻田的形状如图（单位：m），这块稻田的面积是多少公顷？ 10．（24-25五年级上·湖南株洲·期末）低碳农业的发展也为农民的增产增收助力。如下图，李叔叔家的一块地被分成了三小块，分别是三角形、平行四边形和梯形。 （1）李叔叔要用农业无人机为三小块地中最大的一块喷洒农药，如果农业无人机每分钟能喷洒170平方米农田，那么需要多少分钟能喷洒完？ （2）玉米秸秆回收再利用，不仅避免了焚烧带来的大气污染，而且为农民增加了收入。上面最小的一块地种的是玉米，如果每平方米玉米地能产出1.5千克的秸秆，每吨秸秆的收购价格是300元，那么这块玉米地的秸秆能卖多少钱？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25五年级上·广东广州·期末）如图，A点是平行四边形底边上的中点，平行四边形的面积是26.4cm2，则涂色部分的面积是（    ）cm2。 A．26.4 B．13.2 C．6.6 D．3.3 2．（24-25五年级上·福建漳州·期末）下面说法正确的有（    ）个。 ①平行四边形的面积是三角形的2倍。 ②若m÷n＝5……2，则（m×10）÷（n×10）的商是5，余数是20。 ③一个直角三角形的三条边分别长6cm、8cm、10cm，它的面积是24cm2。 ④4.30505…的循环节是05。 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25五年级上·湖北荆门·期末）已知图中梯形ABCD的面积是180cm2，下底长是上底长的2倍，涂色部分的面积是（    ）。 A．150 B．120 C．90 D．60 4．（24-25五年级上·重庆合川·期末）一个梯形的上底是6cm、下底是9cm，把它的上底延长( )cm就变成了平行四边形，这时面积增加了18cm2，这个梯形的高是( )cm。 5．（24-25五年级上·福建厦门·期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，恰好拼成一个长方形（如下图）。已知三角形ABC的底是8cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是( )cm2。 6．（22-23五年级上·海南省直辖县级单位·期末）如下图，大正方形的边长是16厘米，求阴影部分的面积。 7．（24-25五年级上·青海果洛·期末）同学们在研究三角形面积公式时，小明用了以下方法。 （1）在推导三角形的面积公式时，小明同时运用了（    ）。（填序号） ①出入相补原理　　　　　　　　②转化的方法 ③长方形的周长公式　　　　　　④长方形的面积公式 （2）同学们还用了其他方法，请你选择一种方法，写出思考过程。 8．（24-25五年级上·浙江·期末）如下图，已知长方形ABCD的面积是79.2平方厘米，平行四边形BCEF的面积是43.2平方厘米。如果BC是9厘米，那么DG长多少厘米？ 9．（24-25五年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，3个等腰直角三角形叠放在一起，它们的斜边都在一条直线上。已知最小的等腰直角三角形的斜边长是4厘米，其余2个等腰直角三角形的斜边长依次多4厘米。则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 10．（22-23五年级上·江西萍乡·期末）如图，将一个平行四边形分成三角形和梯形两部分，梯形面积比三角形面积大24平方厘米，那么梯形的上底长是多少？（单位：厘米） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $