12.3.2 等腰三角形的判定（二）同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.3.2 等腰三角形的判定（二） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：100分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 训练内容：等边三角形的判定 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．下列三角形： ①有两个角等于； ②有一个角等于的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶 点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 3．在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，点在线段上．若，，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 8．在中，若，，则的值为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 9．如图，一块直角三角板的 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线上，若斜边 与直线交于的中点 E ，则的大小为（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，D是边上一点，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 第11题图 第10题图 第12题图 第9题图 11．如图，甲、乙两艘货船从海岛分别同时沿北偏西方向，北偏东方向驶出．若两艘货船的速度均为20海里/时，两小时后，两艘货船之间的距离为（   ） A．40海里 B．30海里 C．20海里 D．10海里 12．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（   ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．4.3 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．如图，，若 ，则是等边三角形． 14．如图，点D是等边三角形内一点，，绕点A逆时针旋转到的位置，则E，D两点间的距离为 ． 第14题图 第13题图 第16题图 第15题图 15．如图，在中，，，点E是边上一点，点D为左侧一点，连结，，，．若，，则的度数为 ． 16．如图，在中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为 ． 三、解答题（共72分） 17．（10分）如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，， 求证：是等边三角形． 18．（10分）如图，在中，，D是的中点，，点E，F为垂足， 求证：是等边三角形． 19．（12分）已知：如图，，，， (1)求证：为等腰三角形． (2)若，判断的形状并说明理由 20．（12分）如图，已知． (1)求证：． (2)若，，连接，求的长． 21．（12分）如图，为等边三角形，点在边上，，点M在的延长线上，，连接，点是和的交点． (1)求证：为等边三角形； (2)判断与的位置关系并说明理由． 22．（16分）（1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为_____________；连接，_____________； ②证明：； （2）M，N是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 12.3.2 等腰三角形的判定（二） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A D D B A A C 题号 11 12 答案 A C 1．D 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法，逐一分析每个描述是否满足等边三角形的条件． 【详解】解：∵①有两个角等于， ∴第三个角为， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵②有一个角等于的等腰三角形， ∴若顶角为，则底角为； 若底角为，则另一个底角为，顶角为， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵③三个外角都相等， 设每个外角为，则每个内角为， ∴三个内角都相等， ∴每个内角为，为等边三角形． ∵④每边上的高也是这边上的中线， ∴对于任意边，高与中线重合， ∴三角形是等腰三角形（例如，边上的高也是中线，则）， 同理，从其他边可得、， ∴三边相等，为等边三角形， ∴①②③④都是等边三角形． 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，三角形形状的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 先根据平行线的性质得出，，求出，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，根据题意可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的定义和判定定理，逐一分析各结论的正确性． 【详解】解：①，由等边三角形定义可知为等边三角形，正确； ② ，只能推出为等腰三角形，但无法保证三边相等或三角均为，错误； ③ 有两个角都是，则第三个角为，三角均为，为等边三角形，正确； ④ 一个角为的等腰三角形，则其余两角也均为，为等边三角形，正确； 综上分析可知：正确的结论有①、③、④，共3个． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性． 根据绝对值的非负性，平方的非负性得到，可知的形状是等边三角形． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 6．D 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 7．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质，由题意得，推出，得是等边三角形，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，即； ∴是等边三角形， ∴的周长为：； 故选：B 8．A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质．先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到． 【详解】解：，， 为等边三角形， ． 故选：A． 9．A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，平行线的性质，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明是等边三角形，得到，则由平行线的性质可得． 【详解】解：∵斜边 与直线交于的中点 E ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了三角形中等角对等边，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，证明，是解答本题的关键．证明，再证明是等边三角形，即有，问题得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． 11．A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质. 证明是等边三角形，进而即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵（海里），， ∴是等边三角形， ∴（海里）， 即：两艘货船之间的距离为40海里． 故选：A． 12．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可知，根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 13．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的定义进行分析，即可求解． 【详解】解：当或或或或时，是等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 14．2 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由旋转的性质得出，旋转角，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到的位置， ∴，旋转角， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：2． 15． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定与性质． 先根据已知条件证明是等边三角形，从而得出，再证明，利用全等三角形的性质得出，，进而证明是等边三角形，从而得出结果． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 16．10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 17．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，解答本题的关键是明确题意．先利用条件证明出，从而得到，利用等角对等边证出，再利用，证明出，从而得到答案即可． 【详解】证明：∵D是的中点， ， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 18．证明见解析 【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由，得到，则，，根据平角的定义得到，再根据线段中点的定义推出，即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵D是的中点，即， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明，是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求证，得； （2）由，得，再结合三角形外角性质，得出，由（1）知，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，，． ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴为等边三角形． 20．(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，可得，则，题目得证； （2）由，可得，而，则为等边三角形，则题目可解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 21．(1)见解析 (2)平行，见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明出，得到，等量代换得到，然后结合即可得到为等边三角形； （2）证明出，得到，等量代换得到，即可证明出． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴为等边三角形； （2）解：平行，理由如下： 理由：∵为等边三角形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∴． 22．（1）①②证明见解析（2）选择①，证明见解析 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是利用正六边形的内角、对称性及等边三角形的性质进行推理． （1）①利用正六边形内角和公式求，结合等边三角形性质求， ②证明都是等边三角形，根据等边三角形性质证内错角相等，从而得平行； （2）选择条件①，利用三角形外角性质证，由内错角相等，从而得平行． 【详解】解：（1）①∵是正六边形， 如图中，连接交于点， ， ∴，，都是等边三角形， ， 故答案为：； ②证明：∵， ∴都是等边三角形， ； （2）证明：选择条件①， ， 又∵， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $