专题10 数列前n项和公式的求法（5重点+8题型+复习提升）（复习讲义）高二数学人教A版

该高中数学讲义通过思维导图系统串讲数列前n项和求法的知识体系，将公式法、错位相减法、倒序相加法等8个知识点按“原理-步骤-模型”分层梳理，并用框架图呈现各方法的适用场景与内在联系，清晰标注重难点如错位相减法的“错项对齐”技巧。 讲义亮点在于“题型-技法-例题”三维训练设计，涵盖错位相减、裂项相消等8类必考题型，如错位相减法强调公比乘项与错项合并步骤，裂项相消法细分等差、根式、指数模型，培养数学思维与运算能力。分层例题适配不同学生，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握求和方法。

专题10 数列前n项和公式的求法 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 知识点2：错位相减法求和 等比数列的求和方法即错位相减法。若有等差数列,等比数列，对数列求和也可以用到错位相减法 1、 找出等比数列的公比，对求和中的每项都乘以公比 2、 然后用，注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。 知识点3：倒序相加法求和 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 知识点4：分组求和 若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 知识点5：裂项相消法求和 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．下面给出一些常见的裂项模型。 模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） 对等差型的分式，例，先对分母进行因式分解，把目标分解成，再合并比较看看想化成需乘系数。 模型2：根式型 （1） （2） （3） 利用分母有理化的方法。 模型3：指数型 （1） （2） 方法类似等差型。 【题型1 错位相减法】 高妙技法 错位相减法在等比数列的求和中应用到，对等差等比数列乘积构成的数列也可以，要应用两次，且相减的时候要错项对齐来合并，这里容易算错。 1．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 2．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合，记的元素个数为. （ⅰ）求； （ⅱ）设，求数列的前项和. 3．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求数列的前n项和． 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群：，，，，. (1)求的通项公式； (2)设第个群中所有项的和为，求； (3)设，数列的前项和为，证明：. 【题型2 倒序相加法】 高妙技法 倒序相加常与函数的结合一起考，注意题目条件如果满足首位项（依次往中间的对应项）的和固定，考虑倒序相加法。 1．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数，（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【题型3 分组求和】 高妙技法 当数列本身是复合型，如等差数列与等比数列的和，这时可以对其进行分组来求和，这时相当于两个n项数列的和。 1．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的前项和. (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（25-26高三上·北京·月考）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，满足，且，． (1)求证：和均为等比数列； (2)求，通项公式； (3)求的前项和． 4．（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型4 奇偶数列求和】 高妙技法 数列的奇数与偶数列分别是不同的数列，这时按照奇数数列求和，跟偶数数列求和，在求和的时候要注意的是，奇数数列的项数与偶数数列的项数跟总项数的奇偶性有关，有时需要分类来讨论，这在求奇偶数列的和时是容易出错的地方。 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知数列的前项和，满足：；数列满足： (1)求的通项公式 (2)设，求的前项和 2．（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． (1)求与的通项公式； (2)数列的前n项和，求及的最小值和最大值； (3)设，求． 3．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 4．（25-26高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且，，其中. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前20项和. 【题型5 绝对值数列求和】 高妙技法 绝对值数列的求和，根据原数列正负变号处开始分开成两段来求和，目标在找原数列正负项。 1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知数列满足，设数列的前项和为， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前100项和； (3)求数列的前20项和. 2．（25-26高三上·河北·期中）设数列的前项和为，已知，当时，. (1)求证：为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 3．（25-26高三上·黑龙江吉林·月考）记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 4．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 【题型6 并项求和】 高妙技法 相邻两项可以合并化简，化简后的数列可以用常规求和方法求和。 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 2．（25-26高三上·江西·月考）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 3．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知数列满足，数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【题型7 裂项相消法求和】 高妙技法 通过裂项能达到前后相消的目的，通常考察的是分式型（分母拆分成两个连续的乘积）或者根式型（分母有理化）。 1．（25-26高三上·湖南·月考）在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（25-26高三上·河南郑州·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 4．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知递增数列满足. (1)求； (2)证明：数列为等差数列； (3)令，求数列的前项和. 【题型8 放缩求和证明不等式】 高妙技法 对数列进行放缩后，再进行求和，一般在证明不等式的题目中出现。 1．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 3．（25-26高三上·河南·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若，数列的前项和为，证明：． 4．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知数列，对于任意，都有成立. (1)若，求数列的前项和. (2)若数列是等比数列，且，求数列的前项和. (3)若，是否存在常数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 2．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知数列是等差数列，公差，若成等比数列，数列的前n项和为． (1)求及； (2)求数列的前项和． 3．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 4．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 5．（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 6．（25-26高三上·重庆·月考）数列满足，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 7．（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 8．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和． 9．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求证: ，并求数列 的通项公式: (2)求数列 的前 项和 : (3)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 10．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 数列前n项和公式的求法 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 知识点2：错位相减法求和 等比数列的求和方法即错位相减法。若有等差数列,等比数列，对数列求和也可以用到错位相减法 1、 找出等比数列的公比，对求和中的每项都乘以公比 2、 然后用，注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。 知识点3：倒序相加法求和 等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 知识点4：分组求和 若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 知识点5：裂项相消法求和 对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．下面给出一些常见的裂项模型。 模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） 对等差型的分式，例，先对分母进行因式分解，把目标分解成，再合并比较看看想化成需乘系数。 模型2：根式型 （1） （2） （3） 利用分母有理化的方法。 模型3：指数型 （1） （2） 方法类似等差型。 【题型1 错位相减法】 高妙技法 错位相减法在等比数列的求和中应用到，对等差等比数列乘积构成的数列也可以，要应用两次，且相减的时候要错项对齐来合并，这里容易算错。 1．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，即可证明； （2）根据（1）的结果可知，根据分组求和法，结合等比数列求和公式及错位相减法求和. 【详解】（1）因为， 所以是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知，. 所以. . 设数列的前项和分别为. 则， ① ，② ①②得 所以， 所以的前项和为. 2．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合，记的元素个数为. （ⅰ）求； （ⅱ）设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）当，代入条件，可求得，当时，根据，可得，进而可得，根据等比数列的定义，即可得证. （2）（ⅰ）由（1）知，根据条件，分析可得，所以.（ⅱ）根据错位相减求和法，计算即可得答案. 【详解】（1）由题意得，当，，解得， 因为①，所以② 由①-②得，， 整理得，所以， 因为， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）（ⅰ）由（1）知，， 所以， 因为且，所以， 所以. （ⅱ）由题意得 ① 两边同时乘以3 ② ①-②得 解得， 故数列的前项和. 3．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过前n项和的差与已知条件相除，推得是等差数列，求出后利用（）得到通项公式. （2）将恒成立问题转化为恒成立，构造数列，分析其单调性找到最大值，确定的取值范围. （3）先化简的表达式，再利用错位相减法（乘以公比后与原和式相减）计算数列的前项和. 【详解】（1）在数列中，①， 又因为②，， 所以，得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，． 因为对于任意，恒成立，所以恒成立． 设，则， 当时，，； 当，时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． （3）由（1）知， 所以． 所以．③ ．④ ，得 ． 所以． 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群：，，，，. (1)求的通项公式； (2)设第个群中所有项的和为，求； (3)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）把已知的式子变形，从而构造出一个等差数列，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式； （2）先由（1）得出的通项公式，然后根据分组找出分组规律，进而求出. （3）由（2）得出的通项公式，利用错位相减求出，结合不等式的性质从而证出结论. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以，且， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， . （2）由（1）知，设的前项和为，则. 显然数列分组后第组有项，前面组共有项，前面组共有项， 当时，， 当时，，满足上式， . （3）由（2）知，，则. 则①， ②， ①②得 . 记③， 则④， ③④得 . 所以， ， 则， 因为，所以，得证. 【题型2 倒序相加法】 高妙技法 倒序相加常与函数的结合一起考，注意题目条件如果满足首位项（依次往中间的对应项）的和固定，考虑倒序相加法。 1．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，通过倒序相加即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求的值，再验证此时为奇函数. （2）先根据函数的奇偶性探索得到，再利用倒序相加法求的值. 【详解】（1）显然的定义域为，又为奇函数， 所以，即， 解得.此时， 因， 即，为上的奇函数，故为所求． （2）由（1）知． 又，所以， 即． 设，则， 又， 两式左、右两边分别相加，得， 所以． 【题型3 分组求和】 高妙技法 当数列本身是复合型，如等差数列与等比数列的和，这时可以对其进行分组来求和，这时相当于两个n项数列的和。 1．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的前项和. (1)求的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，求出的值，根据是等比数列，可得，即可求出k值，进而可得，根据，代入计算，分析求解，即可得答案. （2）由（1）得，根据等比数列和等差数列的求和公式，分组求和，即可得答案. 【详解】（1）由题意得：. 因为是等比数列，所以， 即，解得， 故. 当时，， 当时，满足上式， 故. （2）由（1）得，，所以， 则 . 2．（25-26高三上·北京·月考）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)时，取最小值为 (3) 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值； （3）对数列的前n项和使用分组求和. 【详解】（1）因为为等差数列的前n项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为． （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为． （3） . 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，满足，且，． (1)求证：和均为等比数列； (2)求，通项公式； (3)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列定义进行证明； （2）由等比数列通项公式求解； （3）利用分组求和法求解. 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列； ， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可知，①，② 由①②得：，所以， 由①-②得：，所以； （3）因为， 所以 . 4．（25-26高二上·湖南岳阳·月考）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以， 当时，由题设条件得，解得，故， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2），所以 . 【题型4 奇偶数列求和】 高妙技法 数列的奇数与偶数列分别是不同的数列，这时按照奇数数列求和，跟偶数数列求和，在求和的时候要注意的是，奇数数列的项数与偶数数列的项数跟总项数的奇偶性有关，有时需要分类来讨论，这在求奇偶数列的和时是容易出错的地方。 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知数列的前项和，满足：；数列满足： (1)求的通项公式 (2)设，求的前项和 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由即可求，对于，分为奇数和偶数讨论，利用递推公式即可求； （2）分奇数项和偶数项，利用等比数列前项和公式和错位相减法即可求解. 【详解】（1）由题意有：当时，，即， 当时，由有，所以， 所以，且,所以数列是以公比为，首项为的等比数列， 所以， 所以， 由， 当时，， 当时，， 所以， 所以当为奇数时，， 所以， 所以， 所以当为偶数时，， 所以； （2）由（1）有：， 所以， 又， 所以①， ②， 由①②有：， 所以， 所以. 2．（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． (1)求与的通项公式； (2)数列的前n项和，求及的最小值和最大值； (3)设，求． 【答案】(1)， (2)，最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）借助与的关系结合等比数列定义可得的通项公式，再由等差数列性质可得的通项公式； （2）借助等比数列求和公式可得，再分奇偶讨论可得的最小值和最大值； （3）由题意计算可得，再借助错位相减法计算即可得解. 【详解】（1）由，则， 故，即， 当时，，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； ，则数列的公差为，故； （2）， 则， 当为偶数时，，随的增大而增大， 当为奇数时，，随的增大而减小， 故当时，有最小值， 当时，有最大值； （3）由， 则 ， 则， 则， 故 ， 则. 3．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据与的关系结合题设求证即可； （2）由（1）可得，进而得到，再利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，即， 所以， 设数列的前项和为， 所以 . 4．（25-26高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且，，其中. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前20项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，当，求出，当得出，然后结合已知条件得出证明； （2）由（1）得出，然后对进行讨论，结合对数运算性质和等差数列求和公式以及裂项相消法求数列和，分别求出和，然后相加即可得出. 【详解】（1）证明：对于，， 当时，，， 当时，由，① 得，② ①②两式相减得， 由于， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得出， 所以当为奇数时， ，， 所以奇数项以为首项，公差为2的等差数列， 又，所以， 当为偶数时，， ， 所以 ， 所以. 【题型5 绝对值数列求和】 高妙技法 绝对值数列的求和，根据原数列正负变号处开始分开成两段来求和，目标在找原数列正负项。 1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知数列满足，设数列的前项和为， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前100项和； (3)求数列的前20项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）构造数列，知其前项和求通项，进而再求出； （2）根据题意，两项并一项，并项为常数列求和； （3）分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】（1）由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）数列的前项和 . （3）由（1）可知 ， 则前项和为. 2．（25-26高三上·河北·期中）设数列的前项和为，已知，当时，. (1)求证：为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用做差法即可证明为等比数列； （2）讨论绝对值里的正负，分别求当和两种情况下的. 【详解】（1）当时，，而， 故原式为：，即： ， 等式两侧同时加得：， 即，当时，， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知：，故， 而，故， 则， 故当时， 当时， 当时，； 当时，， 故. 3．（25-26高三上·黑龙江吉林·月考）记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题可得当，可得，当时可得，，再结合题意可得，即可求解； （2）由（1）求出当、时的相应式子，即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，，， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以. （2）由（1）可得数列为等差数列.当时，，，.. 此时， 当时，，，.. 所以. 综上，. 4．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列定义求解； （2）利用裂项相消法求解； （3）根据的符号，分段求解. 【详解】（1）① ② ①②得   ∴ ∴ 故数列是首项，公差为2的等差数列．∴． （2）令， 所以， （3）令，当时，；当时， 设数列的前项和为， 则， 当时，则， 当时，则 综上：． 【题型6 并项求和】 高妙技法 相邻两项可以合并化简，化简后的数列可以用常规求和方法求和。 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由及，即可求； （2）①设及求出，确定；②分为奇偶讨论求和. 【详解】（1）， 所以， 因为，所以，即， 解得，又，所以. （2）①因为， 所以， 因为是公差为的等差数列，所以可设为， 所以， 所以，又，所以解得 所以； ②， 当时， ； 当时， ； 综上，，即. 2．（25-26高三上·江西·月考）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式进行计算即可. （3）根据数列的性质分组求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 解得或 依题意得，则，所以． （2）由（1）知，， 所以． （3）因为， 所以. 3．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知数列满足，数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），等式两边同时除以构造等差数列，即可求解； （2）当为偶数时，采用并项求和求得；当为奇数时，则为偶数，，而，代入即可求解. 【详解】（1）∵，∴， 即数列为首项为公差为1的等差数列， ∴，∴； （2）， 当为偶数时， 当为奇数时，则为偶数， ； 综上所述． 4．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 【题型7 裂项相消法求和】 高妙技法 通过裂项能达到前后相消的目的，通常考察的是分式型（分母拆分成两个连续的乘积）或者根式型（分母有理化）。 1．（25-26高三上·湖南·月考）在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题设，化简得到，，可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，进而得到，再根据与的关系求出，再根据等差数列的定义求证即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由， 两边同时除以得，，， 因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 则，即， 当时，， 显然满足上式，则， 而， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由， 则数列的前项和为 . 2．（25-26高三上·河南郑州·月考）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）构造等比数列，利用等比数列的通项公式得； （2）由错位相减法求得，然后用裂项相消法求得和． 【详解】（1）因为，所以，又，所以数列是等比数列且公比为， 所以，即； （2）， ， 所以， 两式相减得， 所以， ， 所以． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)最大值为3，最小值为 【分析】（1）根据与的关系作差化简得出，再结合等差数列的定义和通项公式可求解； （2）利用计算； （3）利用裂项相消计算，再结合其增减性可得. 【详解】（1）因，则当时，， 两式作差得，即， 因，则， 当时，，又解得，则满足上式， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 其通项公式为； （2）由（1）得， 当时，， 因，满足上式，所以其通项公式为； （3）， 则 ， 当为奇数时，，为递减数列， 又，则； 当为偶数时，，为递增数列， 又，则； 则的最大值为，最小值为. 4．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知递增数列满足. (1)求； (2)证明：数列为等差数列； (3)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用递推关系，赋值首项和第二项的方程组求解，再通过单调性确定一组解即可； （2）利用一元二次方程根与系数关系，来求解通项公式，即可证明等差数列； （3）利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）由可得：， 代入消元得：，解得或， 因为当时，，不满足递增数列，故舍去， 而当时，，满足递增数列， 所以； （2）由可得：， 又因为，所以是方程的两个根， 而解方程可得：， 根据递增数列，所以 即，所以数列为等差数列； （3）由，可得， 所以. 【题型8 放缩求和证明不等式】 高妙技法 对数列进行放缩后，再进行求和，一般在证明不等式的题目中出现。 1．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）用基本量表示已知可求，进而求通项公式； （2）证明是递增数列可证；放缩求和可证. 【详解】（1）设等差数列公差为，则， 由题可得，解得， 所以. （2）由（1），， 所以， 所以是递增数列. 所以，且， 所以. 3．（25-26高三上·河南·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可； （2）设，求导后再对进行分类讨论； （3）根据（2）得到结论对任意恒成立，再令，最利用累加法和裂项相消法即可得到证明. 【详解】（1）由题意得的定义域为． 当时，在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）依题意可得当时，对任意恒成立． 令，则． ①当时，， 则，所以， 则在上单调递增，则，符合题意． ②当时，有两根， 因为且，所以， 所以由，即，得， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则，则不符合题意． 故的取值范围是． （3）由（2）可得，当时，对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则， 当时，，此时满足，即不等式成立． 当时，， 所以，， 以上累加得， 则，即． 综上可知，对所有的． 4．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知数列，对于任意，都有成立. (1)若，求数列的前项和. (2)若数列是等比数列，且，求数列的前项和. (3)若，是否存在常数，使得对于任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用题中递推求出数列的通项，再求出，然后分和两种情况讨论可得； （2）利用已知的对数的运算求出数列的通项，再由错位相减法求和可得； （3）利用已知求出，然后构造函数，求导分析单调性后可得，然后再用累加法可得. 【详解】（1）设数列的前项和为，数列的前项和为， 依题意，， ， ， 当时，， 当时，， 所以 （2）因为， ，又是等比数列，所以， 所以，则， 设数列的前项和为， 由， ， 两式作差得 所以. （3），则，所以， 所以. 令，则， 所以单调递减，即，即， 令，则， 所以，累加可得， 因为当时，，所以， 所以不存在常数使得对于任意恒成立. 1．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）由题意得，结合倒序相加法即可求解； （2）通过放缩说明当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大即可求解. 【详解】（1）由于，即， 所以，解得． （2）不存在． ， 说明，当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大， 所以不存在常数，使得． 2．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知数列是等差数列，公差，若成等比数列，数列的前n项和为． (1)求及； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）由等比中项可得，根据等差数列概念计算可得，进而可得数列的通项公式，由与的关系计算可得数列的通项公式； （2）根据错位相减法计算即可. 【详解】（1）由题意成等比数列，得， 即，解得，               所以数列的通项公式为；               当时，，                      当时， ，     验证当时，满足上式 ，              所以数列的通项公式为； （2）由（1）知．                             ，                 则，        两式相减得，          所以 3．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. (1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若，求. 【答案】(1)证明见解析， (2)3 【分析】（1）首先由，得：，然后根据等比数列的定义即可证明. （2）首先通过裂项相消法求解数列的前项和为，然后通过已知条件解方程即可求解. 【详解】（1）， ，因为 所以 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. 可得： 即： （2）由（1）得，. 则， 所以. ， 由， 得， 所以，解得. 4．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. 5．（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设公差和公比，根据条件列出方程组求解，再根据等差、等比数列的通项公式求出； （2）求出，再利用错位相减求出奇数项的和，利用裂项相消求出偶数项的和； （3）依据规律找出的项数和的个数即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去）， 故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，， ， 则， 因， 则 则； （3）根据题意可得，， 之前共有个， 与之间共有个， 所以共有7项，共有个2， 则. 6．（25-26高三上·重庆·月考）数列满足，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）对通项公式进行变形，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可； （2）利用分组求和法、错位相减法、等差和等比数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，而， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列； 所以，则； （2）由（1）可知，则， 令， ， 作差得：， ． 令， 则， ． 7．（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式． （2）由（1）先求出，利用错位相减法，先写出的表达式，再乘以公比得到，两式相减后，将等比数列求和公式化简即可. （3）将的前项和拆分为奇数项和与偶数项和，分别对（裂项相消）、（等比数列求和）进行计算，最后合并结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得， 解得或，又，所以舍去， 所以，. （2）由（1）得，，所以， 所以， 即， ， 两式相减得， 则 整理得. （3）由，，得， 所以， 设， 则 设， 则 所以． 8．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）通过，取倒数得到，再通过配凑即可求证； （2）由裂项相消法求和即可； （3）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，，所以． 所以，则． 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列． 所以，所以． （2）由（1）得， 所以 ． 所以． （3）由（1）得，所以，所以． 所以 ． 设，则， 两式相减，得， 所以． 所以． 9．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求证: ，并求数列 的通项公式: (2)求数列 的前 项和 : (3)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】(1)由的关系得到，据此等差中项的性质可知数列为等差数列，求其通项公式； (2)对n分类讨论，利用等差数列前n项和公式求解； (3)利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以数列 为等差数列， 故， （2）由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上， （3）， 所以①， 则②。 ①②得， ， 10．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知可得，利用累加法求数列的通项公式； （2）解法1：结合（1）可得，进而求得，，利用作差法判断的单调性，可证结论.解法2：利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由知， 由累加法得，当时，， 代入得时，， 故． （2）解法1：时，，则， 记函数， 所以， 则， 所以． 由于，此时； ，此时； ，此时； 由于，故时，，此时． 综上所述，当，时，；当时，． 解法2：数学归纳法 由，猜想：． 当时，成立；假设当时成立，即， ，即时成立，故成立． 综上所述，当，时，；当时，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $