第7章 考点练37 基本立体图形 简单几何体的表面积与体积-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

x<1时，m(x)>0,h'(x)>0,函数 h(x)单调递增 当1<x<e时，m(x)<0,h'(x)<0, 函数h(x)单调递减， 又当x→0时，h(x) ∞，h(e2)= 0,h(1)=1,h(e)= 、3 e+l 故h(x)的大致图象如图， 31 e+l 0 2 et h(t)=2+Inx X+1 由图知，要使直线y=a与函数 h(x)=2+Inx x十1x∈(0，e)的图象有 两个交点，则。3a≤1， 所以函数f(x)在(0，e)上恰有两个零 点时a的取值范围为（子）。 第七章 立体几何 与空间向量 考点练37基本立体图形 简单几何体的表面积与体积 一。基础巩固练 1.D如图所示的几何体满 足两个平面平行，其余各 面都是平行四边形，但它 不是棱柱，A错误；正八面 体的各面都是三角形，不 是三棱锥，B错误；如果两 个平行截面与圆柱的底 面平行，则是旋转体，如果这两个平行截 面与圆柱的底面不平行，则不是旋转体， C错误；根据圆锥的定义知，D正确.故 选D. 2.A直观图正方形OA'B'C的边长 为2，.O'B=2√2，原图形为平行四边 形OABC,如图所示， 0 Ax 其中OA=BC=2,OB=2X2√2= 4V2,.AB=C0=√22十(4W2)2 6,原图形的周长为2×(2十6)=16. 故选A. 3.B设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母 线长为√3十r,而它们的侧面积相等， 所以2πrX5=πrX√3+r,即 25=√3十r,解得r=3,故圆锥的 体积为号π×9X5=3V3元.故选B. 2对勾·高考一轮复习金卷数学 4.C设正四棱锥的 底面正方形的边长 为a,高为h,侧面三 角形底边上的高（斜 D 高)为h',则由已知 0 得A2=2ah.如 A B 图，设O为正四棱锥S-ABCD底面的中 心，E为BC的中点，则在Rt△SOE中， A=b十（经）A= 1 ah'+ 1.2..(h)”-1·h一1=0，解 a-2 a 一4 得= 5十1（负值舍去）.故选C. 4 5.D把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得 到它的侧面展开图（如图1）.要使路程最 短，必须沿着线段AA1前行.在△SAA1 (如图2)中，∠ASA1=30°×4=120°， SA=SA1=2V5,则∠SAA1=30°， 作SH⊥AA:于H,则SH=号SA √5，AH=3,.AA1=2AH=6.故 选D. H 图1 图2 6.C 由题意可得圆锥体的母线长为 √6+4平=2√3(cm),所以圆锥体的 侧面积为π×6X2√13=12√13π(cm), 圆柱体的侧面积为12π×6=72π(cm),: 圆柱体的底面积为πX62=36π(cm), 所以此陀螺的表面积为12√3π十 72π十36π=(108+12√13)π(cm).故 选C. 7.A由面积公式可得正三棱台上、下底 面边长分别为2和4，如图，设C1在底面 ABC内的射影为H,作HQ⊥BC于Q, 连接CH,C1Q,则C1H⊥平面ABC,因 为BCC平面ABC,所以C1H⊥BC,又 HQ⊥BC,CH∩HQ=H,CH, HQC平面C,HQ,所以BC⊥平面 CHQ,又C,QC平面C1HQ,所以 BC⊥C1Q,由BC=4,B,C1=2, BB,=CC1,得CQ=1,又∠HCQ= ,所以HQ=5,别CQ π √3 √C,H+HQ= 丽，故三棱台的侧 3 面积为2十4 2 8×3=3√3丽，表面 3 积为5√3+3√39.故选A A H B 8.D如图，N,M分别是正三棱柱上、下 底面中心，MN是棱柱的高，则MN的中 220 点O是该三棱柱外接球的球心，外接球 半径R=OA=√AM+OM.其中 OM=B:=厅，点M为△ABC外 接圆圆心，AM为外接圆半径，△ABC为 正三角形AM=号AE=X× 2√3=2(E是BC边中点)，所以外接球 半径R=3.从而外接球体积为V R 4 3元X27=36π.故选D, C B 0 、ME B 9.BCD对于A,用一 个平面去截一个圆 锥，截面不可能是四 边形，则A不满足条A 件；对于B,圆柱的 轴截面是四边形，则 B满足条件；对于C,用平行于一个侧面 的平面去截三棱柱，截面是四边形，则C 满足条件；对于D,如图，在三棱锥 P-ABC中，D,E,F,G分别是棱PB, AB,PC,AC的中，点，所以DE∥PA,且 DE 2PA,FG∥PA,且FG= PA,所以DE∥FG,且DE=FG,所 以四边形DEGF是平行四边形，所以截 面DEGF是四边形，则D满足条件.故选 BCD. 10.AB如图，取△ABC 的中心O,连接PO, 由题意得PO⊥平面 ABC,又△ABC为等 A:-/ 边三角形，则AO= 0 号√-() B V5,所以正三棱锥的高为PO= √PA'-A0F=√12-3=3， S=名×8X8由r所以正 三技维的体积为Vx=寻Sr· PO-95.作PD⊥AB交AB于D,又 4 PA -PB -25.AD-2AB- 则正三棱锥的斜高为PD= √PA-AD=√，所以正三枝维 2 的侧面积为3SB=8X子×PDX AB=3x号×厘X3=9厘故 2 4 选AB. 11.BCD如图，连接 BD交AC于O,连 接OE,OF.设 AB=2FB=2,则 AB=BC=CD= D- AD=2.因为 ED⊥平面ABCD, FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD,所 以V=Veam=3SaD·ED= 3大 AD.CD.ED=青=Vc 吉S.FB=方×ABCB 1 3因为ED⊥平面ABCD,ACC平面 ABCD,所以ED⊥AC.又AC⊥BD, 且ED∩BD=D,ED,BDC平面 BDEF,所以AC⊥平面BDEF,所以 AC⊥OF.易知BD=22,OB=E, OE=√OD十ED2=6,OF= WOB+BF=√3，EF= √BD2十(ED-FB)2=3,所以 EF2=OF2+OE2,所以OF⊥OE,而 OE∩AC=O,OE,ACC平面ACE, . 所以OF⊥平面ACE.又AC=AE= SAACE· CE =2,V3=VF-ACE =3 1 E专5义AC·0F=2,所以 4 V3≠2V2,V1=2V2,V3=V1+V2, 2V,=3V1,故A错误，B,C,D正确.故 选BCD. 12.AD由题知，圆柱的高为4，底面圆的 半径为2，内切球的半径”=2，则内切 球的表面积为4πX2=16π，圆柱的表 面积为2π×22十2πX2×4=24π，所 以内切球的表面积与圆柱的表面积之 比为2：3，故A正确；由题意知，圆柱的 外接球的半径为OA=2√2，所以圆柱 的外接球的体积为4红×(2厄)= 64E元，圆柱的体积为元×2×4= 3 16π，所以圆柱的外接球的体积与圆柱 的你积之比为642：16元=42：3， 3 故B错误；由题图易知V四面体CDEF 2VEO,又点E到平面DCO,的距离 d∈(0,2]，sam,=2X4X4=8. 所以Va体cmEF三2VEo,=之X8d7 当d=2时，四面体CDEF的体积取得 最大值，最大值为2，故C错误：过点0 作OG⊥CO2于点G,如图所示，由题 可得0G=25,设点0到平面CEF的 5 距离为d,,平面CEF截球O所得的截 面圆的半径为1，则d1≤OG,ri= 416 r2-=4-di≥4-5=5，所以 平面CEF截得球O的截面面积的最小 值为16x,当直径EF与AB重合时，平 5 面CEF截得球O的截面面积最大，且 最大值为πX22=4π，所以平面CEF 截得球O的截面面积的取值范围为 16元，4元 ,故D正确.故选AD 3.4 解析：把直观图还原，如图所示，其中 AD BC,AD 2A'D'=4,BC B'C'=2,则△ABC的面积为2BC· 1 AD= 2×2×4=4. y↑ D 4.1 解析：如图所示，过球心 O作OO1⊥平面ABC, 则01为等边三角形 ABC的外心，设△ABC 的边长为，的气。 95,解得a=3,所以01A= 2 4 号x8= 设球O的半径为r,则由4πr2=16π，得 r=2,即OA=2.在Rt△OO1A中， O01=√OA-01A7=1, 即O到平面ABC的距离为1. 5.172/46 解析：如图，正四棱台ABCD-A'B'C'D 中，连接BD,B'D',过D作DE⊥平面 A'BCD',E为垂足，由题意可知BD= 102m,B'D'=16√2m,DD'=8m, 所以DE=BD,BD-8E-5E 2 3√2(m),DE =√82-(32)2 .1 46(m),所以V=3×16十 √/16×10+102)X√/46= 172√/46(m3). 221 18 解析：如图，设圆锥底面半径为”，因为 母线长为2，则2π=2πr,所以”=1，圆 锥的高为P0=√/22-1=√.设 OB=x,则EB=√2x,设OO'=h,则 P0=店-A:国为沿- ,所以 h 1 ,所以h= √3 (1-2)=,所以x=号v 2 (W2x)h=2X4 3 271 B 0 4 。能力提升练 1.A①错误，只有当这 两，点的连线平行于轴时 才是母线；②错误，当 以斜边所在直线为旋转A( 0 轴时，其余两边旋转形 成的面所围成的几何体 不是圆锥，如图所示，它 P 是由两个同底圆锥组成的几何体；③错 误，棱台的上、下底面相似且是对应边平 行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但 是侧棱长不一定相等.故选A 2.C如图，记A'B与y'轴的交点为D,因 为OC⊥x′轴，A'B′⊥x′轴，所以 O'C'∥B'D,又B'C'∥y'轴，所以四边 形O'DB'C'为平行四边形，O'C'= B'D=2,由题意可知∠A'0'D=牙，又 A'B⊥x'轴，OA'=2,所以A'D=2, A'B′=4， B C D 0' A 则四边形OA'B'C的面积为S▣边0AC= 2X(2+4)×2=6,所以四边形OABC的 面积为S回造0Ax=2V2S四进0ArC= 122.故选C. 3.C设圆台的上底面的半径为r,下底面 的半径为R,则2πR=4X2rr,故R= 4r,因为该圆台的侧面积为100π，母线长 l=10,所以π(r十4r)×10=100π，解 得r=2,则R=8,所以圆台上底面的面 积为πr2=4π，下底面的面积为πR2 64π，圆台的高h=√/1-(R-r)2 √100一36=8，所以该圆台的体积V= 3X(4元十√/4元×64元十64元)×8 224π.故选C. 参考答案 4.C用一个与已知的五面体完全相同的： 五面体补成如图所示的组合体，因为 AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1， AD=1,BE=2,CF=3,则形成的新组 合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面 (与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边 三角形，侧棱长为1十3=2十2=3十 1-4,VALC-DEF 2VADC-HU 2 2×1×1×2 2 ,故选C H F D E 5.B在△AOB中， ∠A0B=120°，而 OA=OB=√3，取 AB中点C,连接 OC,PC,有OC⊥ AB,PC⊥AB,如 图，∠ABO=30°， 0C=3 AB=2BC=3,由△PAB的 西积为5，得2X3XPC 9,解得 PC=3 2,于是PO=√PC2-OC= 2 √)-) =√6，所以圆锥的 体积V= 1 3元X0AXP0=3元X ()X√6=√6π.故选B. 6.B如图所示，要使得三棱锥A'-BDE的 体积取得最大值，则需平面A'BE⊥平 面BCDE,此时点A'到平面BCDE的距 离取得最大值，取BE的中点F,因为 A'B=A'E=2,可得A'F⊥BE,因为 平面A'BE∩平面BCDE=BE,且 A'FC平面A'BE,所以A'F⊥平面 BCDE,在直角三角形A'BF中，可得 A'F=√2，即三棱锥A'-BDE的高为 h=√2，又由三角形BDE的面积为S= X2X2=2,所以三棱锥A'-BDE 体积的最大值V=专5h=号X2× 反=2故选取 ,'E 7.B设球形物品的半径为R,则正方体的 棱长为2R,表面积S2=6X(2R)2= 24R2;设正四面体的棱长为a,则正四面 体的表面银为S,=4X气。=5如 图，正四面体A-BCD中，由正四面体的 对称性与球的对称性可知内切球的球心 O在正四面体的高AG上，OG=R,底面 等边三角形BCD的高CE=5。 a,外接 2对勾·高考一轮复习金卷数学 国*径CG=号×。-5。 3 √AC-CG 6 a,所以该正四面体的体积V= 3 a=SR,又S1=5a,所 以a=2r,所以S,=5a'=24W5R. 6 0 G D 设正八面体的棱长为b,如图， B 在正八面体中连接AF,DB,CE,可得 AF,DB,CE互相垂直平分，四边形 BCDE为正方形.OD=2BD=V2, b, 2 在Rt△AOD中，AO=√AD-OD= -=号，则该正入面你 2 的休数V=2×号×6×竖6 3 该八面你的表面积S,=8X:= 4 256,周为言S,R=V,即吉 23b2.R= ,解得b=5R,所 3 以S3=2V3b2=25X(W6R)2= 12√R,所以S<S2<S1.故选B. 8.B如图，作 A AO1⊥平面 BCD,则O1是 等边△CBD的 中心，设O是正 三棱锥A-BCD D 外接球的球心 点O在AO1上， E B 连接OE,OD, O1E,连接DO1并延长交BC于点F,则 DF=3O1F,设该球半径为R,则OA= OD=R.由AB=6,BC=35,可得 DP=Dm=3后×9-号 2 0,D=号DF=3,A0,= √AD-O1D=3W5.在Rt△OO1D 中，(35-R)2+32=R2,解得R= 25.因为点E为BD的中点，所以 0,E=0D=号在R△00E中， 222 O01=AO1-R=√5，所以OE= V00+01E=2 ,设球心O到 2 过点E的截面圆的距离为d,可知d∈ ,设截面圆半径为r,有r2 R2-d= 12-d2∈ 「22,12，所以裁 4 面圆的面积的取值范围为 「27 4,12π 故选B 9.ABD对于A,圆 锥底面圆周长为B 2√3π，而圆锥侧面 展开图的扇形半 A 径为2，所以侧面展开图的圆心角为 √3π，A正确；对于B,圆锥的高h √22-（√3）=1，因此圆锥的体积V= 号X5X1=,B正商：对于C,依 题意，将半圆锥的侧面展开，如图，则从 A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距 离为AB=20An∠A0B=4sm5r≠ 2√5，C错误：对于D,设圆锥轴截面顶角 为20，则an9=5=5,9= 1 3,则圆 维铅我西顶角为经周北注接圆维的项 ,点作圆锥的截面，其截面为等腰三角形， 顶角e∈(0,3] 2π ,此截面三角形的面 积S= 2×2sin9≤2，当且仅当g 至时取学号，D正确，故选ABD, 10.ACD如图，连接A1C,AC1交于点O, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1= 2,AB=BC=1,∠ABC=90°，底面 ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧 面全是矩形，所以其侧面积为1×2× 2+√/1+1X2=4+2√2，故A正 确；直三棱柱的体积为V=S△AW· ×1×1×2=1，故B错误： AA1=2 连接EA,EA,,EO,因为BB1∥平面 AA,CC,且，点E是侧棱BB,上的一个 动点，所以三棱锥EAA1O的高为定值 2 2 1x221 VEA410=3 ,2 6 ,故C正 确；连接EC1,设BE=x∈[0,2]，则 BE=2-x,在Rt△ABE和 Rt△EB1C1中，AE+EC1= √1+x2十√1+(2一x)2.由其几何 意义知，AE十EC1的最小值即平面内 动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离 和的最小值，由对称性可知，当E为 BB1的中点时，其最小值为√2十√2= 2√2，故D正确.故选ACD. B 1.ABD Ve=子Saac:当羊面 ADC⊥平面ABC时，三棱锥D-ABC 的高最大，此时体积最大值为VDA= 号×2×2x6×29-9故AE 1 3 91 确：设AC的中点为O,连接OA,OB,OC, OD(图略)，则由Rt△ABC,Rt△ADC 知，OA=OB=OC=OD,所以O为 三棱锥D-ABC外接球的球心，其半径 为子AC=多，所以外接球条积为 专x(侵）广=受，即三粮维DAC 的外接球体积不变，故B正确：若AB⊥ CD,由CD⊥AD,AD∩AB=A, ABC平面ABD,ADC平面ABD,可 得CD⊥平面ABD,因为BDC平面 ABD,所以CD⊥BD,因为CD>BC, 根据直角三角形斜边最长，知其不成 立，故C错误：因为AD是定值，则只需 D到平面ABC的距离最大时，AD与平 面ABC所成角最大，当平面ADC⊥平 面ABC时，D到平面ABC的距离为 25 ,设AD与平面ABC所成角为日，此 3 25 3 时sin0=2 5,因为9为锐角，所 以o0=-m可=号卑AD与 平面ABC所成角的余弦值的最小值为 号故D正疏，款选ABD 12.AD当平面AA,C1C水平放置时 (CC1始终保持水平)，则平面ABC∥ 平面A1B1C1,所以有水的部分是棱 柱，由图1可知，没有水的部分也是棱 柱，故A正确；如图1，当平面AA1C1C 水平放置时，假设D,E,F,G都为所在 棱的中点，设水面到底面的距离为h, AB=a,BC=b,所以水的体积为 111 CC1=4ab-ab=3ab,又实际水的体 积为V*=S△AC·2 2abX4= 2ab<3ab,所以D,E,F,G不为所在 . 棱的中点，故B错误； B B D G F C 图1 在翻滚、转动容器的过程中，当平面 A,BC水平放置时，三棱锥A,-ABC的 体积取到最大值，如图2，此时 1 1 abX8=3ab,而容器中水的体积 4 V=2ab>号ab,所以有水的部分不 可能是三棱锥，故C错误； B 图2 如图3，取AC,AC1的中点D,D1,连 接DD1,取DD1的中点O,连接OA,则 D为Rt△ABC的外接圆圆心，O为三 棱柱ABCA1B1C1外接球的球心，所 以OA为外接球的半径，且OA= √/4十4=4√2，所以直三棱柱外接球 体积V球= 52E元，而容器中水的体积为V= 3 2ab,又a2十b2=82=64,所以64= a2十b2≥2ab→ab≤32，当且仅当a= b=4√2时等号成立，所以V水= 2ab≤64，则水的体积与直三棱柱外接 球体积之比为2ab ≤64 512W2 512W2 3π 3 3 3巨，即容器中水的体积与直 8√2元16π 三棱柱外接球体积的比值至多为3E 16π 故D正确.故选AD A D 6 D B 图3 3./10 解析：将侧面ABB1A1与侧面ACC1A1 展开在同一平面内，如图，连接BV交 AA1于M,则MN+MB的最小值为此 时的BN,BN=√/BB+B1N= √1+3=√10，∴.MN+MB的最 小值为√/10. A N M 4. 解析：因为侧校A 与底面垂直，所以 AA,⊥平面ABC, 、B AB,ACC平面 A ABC,所以AA1⊥ G AB,AA1⊥AC, B 而AB=2, AA1=1,由勾股定理得A1B=√5，因 为三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三 角形，所以AB=AC=2,由勾股定理 得A1C=5,所以A1C=A1B,在 △A1BC中，如图，作A1G⊥BC,所以 G是BC的中点，所以BG=1,由勾股 223 定理得A1G=2,故S△1c=2X2X 2=2,设点A到平面A1BC的距离为 d,由等体积公式得VA1ABc=VAA1x, 1,解得d=5,所以点A到平面A,BC 2 的距离为 1 15.11:7 解析：由题意得EF∥AC,如图，取 耐=号市，由花=号市可得 3 GH∥AC,故HG∥EF,故得截面为 四边形EFHG,VA-EFHG=VAEG V=Ves十Vm= 1 2 VDADE3X 3X 3 VA-EFHG VnC,故体积较大部分 18 117 与体积较小部分的体积之比8：8 11:7. 16.14π 解析：由题意可知，在三棱锥的平面展 开图中，DC⊥AC,CD=CF=√13， AD=AE=√I4,BC=√5，在△BCF 中，BF2=CF2+BC2-2CF· BCcos.∠BCF=10,则BE=BF= √10，因为AB2+BE=AE,所以 AB⊥BE,则在三棱锥P-ABC中， PC⊥AC,PB⊥AB,记PA中点为O, OC=OB=OA=OP,即三棱锥 P-ABC外接球的球心为点O,半径R PA-AD-,所以外接球的表面 2 2 2 积为14π. 考点练38空间点、直线、 平面之间的位置关系 一。基础巩固练 1.C一条直线和直 y 线外一点确定一个 平面，故A错误；两 个平面相交，有一 条公共直线，有无 数个公共点，故BC☑ 错误；三角形的两 条边一定相交，根据“经过两条相交直 线，有且只有一个平面”，可得三角形的 参考答案第七章」 立体几何与空间向量 考点练37基本立体图形 简单几何体的表面积与体积 基础巩固练 答案：220页 一、单项选择题 1.下列命题中正确的是 ( A.有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 2.如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为2，它是水 平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图 形的周长是 ) A.16 B.8√2 C.8 D.4+43 3.(2024·新课标I卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相 等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为 ( ) A.23π B.3√5π C.63π D.93元 4.(数学文化)如图，埃及胡夫金字塔是古代世界建 筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该 四棱锥的高为边长的正方形的面积等于该四棱锥 的一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方 形的边长的比值为 ( A.5-1 B.5-1 4 2 C.6+1 D.6+1 4 2 5.如图，已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2√3， 侧面等腰三角形的顶角为30°，则从A点出发环 绕侧面一周后回到A点的最短路程为 ( ) D A.26 B.25 C.√6 D.6 6.(2024·安徽安庆三模)陀螺起源于我国，最早的石制陀螺出土于山 西夏县的新石器时代遗址.如图是一个陀螺立体结构图.已知底面 圆的直径AB=12cm,圆柱体部分的高BC=6cm,圆锥体部分的高 CD=4cm,则这个陀螺的表面积（单位：cm)是 () D A.(144+1213)π B.(144+2413)π C.(108+12√13)π D.(108+24W/13)元 7.已知正三棱台ABC-A1B,C1的上底面积为√5，下底面积为4√5，高 为2，则该三棱台的表面积为 () A.53+3√39 B.3√39 C.5√3+18 D.18 8.在直三棱柱ABC-A,BC1中，△ABC为等边三角形，AB=2√3， BB,=25,则三棱柱ABCA1B,C1的外接球的体积为() A.25元 B.29π C.32π D.36π 二、多项选择题 9.用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是 () A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.三棱锥 10.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23，则下列叙述正确的是( ) A.正三棱锥的高为3 B.正三棱锥的斜高为3 2 C.正三棱锥的体积为27， 4 D.正三棱锥的侧面积为3V39 4 11.(2024·福建福州期末)已知四边形ABCD为正方形，ED⊥平面 ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC, F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 () A.V3=2V2 B.V=2V, C.V3=V1+V2 D.2V3=3V 12.与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简 意赅.他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形 和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的业绩.古希腊数学家阿 基米德就是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个 第七章立体几何与空间向量079 球.这个球的直径恰与圆柱的高相等.这个称为“等边圆柱”的图形 如图所示，记内切球的球心为O,圆柱上、下底面的圆心分别为 O1,O2,四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，EF为底面圆O2的一 条直径，若圆柱的高为4，则 () 0。 A.内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3 B.圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3 C,四面体CDEF的体积的最大值为。 D.平面CEF截得球O的截面面积的取值范围为 三、填空题 13.用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中 D'是B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，A'D'=B'C'= 2,那么△ABC的面积为 y B'D' 14.已知△ABC是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球0的球 面上.若球O的表面积为16π，则点O到平面ABC的距离为 15.高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫 殿台榭多采用此建筑形式.高台建筑以高大的 夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层 建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合 的结构体系.如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四 棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长为10m,下底边长为16m, 侧棱长为8m,则此四棱台的体积为 m3. 16.若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱 柱的离为气、则此正四校柱的体积是 0802团闪·高考一轮复习金卷数学 NENGUI TISHENGLIAN 能力提升练 ●答案：221页 一、单项选择题 1.给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱 的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是 圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 2.一水平放置的平面四边形OABC的直观图 B OA'B'C'如图所示，其中OA'=OC'=2, O'C'⊥x'轴，A'B'⊥x'轴，B'C'∥y轴，则 四边形OABC的面积为 ( ) /0 A A.18 B.8√2 C.122 D.12 3.某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的 侧面积为100π，则该圆台的体积为 ( A.184元 B.208π C.224π D.248π 4.(2024·天津卷)一个五面体ABC-DEF如图所 示.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1， AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为 D ( )A 1 6 B. 4+2 D.331 4Γ2 5.已知圆锥PO的底面半径为√3，O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母 线，∠A0B=120,者△PAB的面积等于9，则该圆雏的体积为 ( A.π B.√6π C.3π D.3√6π 6.已知矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E是AD的中点，沿直线BE将 △ABE翻折成△A'BE,则三棱锥A'-BDE的体积的最大值为 () A② 3 B.22 C③ D.3 3 3 7.如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包 装盒，最少用料分别记为S1,S2,S3,则它们的大小关系为() A.S1<S2<S3 B.S3<S2<S C.S3<S<S2 D.S2<S3<S 8.(2025·山东菏泽月考)已知正三棱锥A-BCD的外接球为球O, AB=6,BC=3√3，点E为BD的中点，过点E作球O的截面，则所 得截面图形的面积的取值范围为 () B. ,12 C.[21π，48π]D.[27π，48π] 4 二、多项选择题 9.已知一圆锥的底面半径为√3，该圆锥的母线长为2，A,B为底面圆 的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是 () A.其侧面展开图是圆心角为3π的扇形 B.该圆锥的体积为π C.从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为2√3 D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2,AB=BC=1, ∠ABC=90°，侧面AA,C,C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一 个动点，下列判断正确的是 A.直三棱柱的侧面积是4+2√2 B.直三楼柱的体积是号 C.三棱锥E-AAO的体积为定值 D.AE+EC,的最小值为2② 11.如图，已知矩形ABCD,AB=√5，BC=2,将△ADC沿对角线AC 进行翻折，得到三棱锥D-ABC,在翻折的过程中下列结论成立 的是 () A.三棱锥DABC的体积最大值为0 B.三棱锥D-ABC的外接球体积不变 C.异面直线AB与CD所成角的最大值为90 D.AD与平面ABC所成角的余弦值的最小值为 3 12.如图所示，透明塑料制成的直三棱柱容器ABCA 9 A,BC,内灌进一些水，∠ABC=AC AA1=8,若水的体积恰好是该容器体积的一半， 容器厚度忽略不计，则 ( A---- A.当平面AA,C1C水平放置后，固定容器底面 B 一边C℃1于水平地面上，将容器绕着CC,转动，则没有水的部 分一定是棱柱 B.转动容器，当平面AA,C1C水平放置时，容器内水面形成的截 面与各棱的交点都是所在棱的中点 C.在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥 D。容器中水的休积与直三棱柱外接球体积的比值至多为3 6元 三、填空题 13.如图，在正三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=2AA1=2,N为AC1的 中点，M为线段AA,上的动点，则MN+MB的最小值为 N B 14.如图，三棱柱ABCA,B,C1的底面为正三角 A C 形，侧棱与底面垂直，若AB=2,AA1=1,则点 A到平面A,BC的距离为 15.在正四面体ABCD中，E,F分别为AB,BC的 B 中点，AG=AD,截面EFG将四面体分成两部分，则体积较大部 分与体积较小部分的体积之比是 16.如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中， F(P) CD∥AB,AB⊥AC,AB=2AC=2,CD=DP) ,6os∠BCF-1,则三枚能P-ABC外 接球的表面积为 E(P)