专题1.2 数列与概率统计、函数以及解析几何的创新综合应用（重难专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题1.2 数列与概率统计、函数以及解析几何的创新综合应用 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：数列与其他知识点的结合是数列的一大考试形式，主要集中于数列与统计概率，数列与解析几何，数列与三角函数，数列与导数的结合 预测2026年：考向01 概率统计中求对应的数列递推公式， 考向02 数列与统计概率中有关奇偶项问题 考向03 数列与三角函数相结合 考向04 数列与导数相结合 考向05 数列与解析几何相结合 考向01 概率统计中求对应的数列递推公式 数列递推公式在统计概率中，只要是要找到的对应关系，从容利用数列的构造成等比数列或者是等差数列的形式，对于这种形式即可。 1．某图书馆对学生借阅图书是否按时归还的情况开展调查，经过一段时间的统计发现：学生第一次借阅图书，按时归还的概率为；从第二次借阅开始，若前一次按时归还，则本次按时归还的概率为；若前一次未按时归还，则本次按时归还的概率为．记学生第次借阅按时归还的概率为． (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)记前次借阅中按时归还的次数为，求随机变量的数学期望． 参考公式：若为离散型随机变量，则． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用全概率公式进行求解即可； （2）根据题意，结合构造数列法、等比数列的定义进行求解即可； （3）根据两点分布，结合数学期望公式、题中所给公式、等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知：， ， ； （2）由题意可知： ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此，显然适合， 故； （3）记前次借阅中，第次按时归还为， 由题意可知：服从两点分布，且， 所以， ，由题中所给公式可得： . 2 一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） (1)求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； (2)证明：为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意及相互独立事件的概率公式可求解. （2）先由（1），构造出；再根据等比数列的定义即可证明. （3）玩该游戏获胜即为跳到第99站，先根据（2）中结论及等比数列的通项公式得出；再利用叠加法及等比数列的前项和公式可求解. 【详解】（1）根据题意可知：每次骰子之间是相互独立的； 棋子开始在第0站是必然事件，所以. 棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为； ②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第n（）站，包括两种情形， ①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为； ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为. 故； （2）由（1）知：，所以. 又因为， 所以（1，2，…，99）是首项为，公比为的等比数列. （3）由（2）得：. 所以 ， 所以玩该游戏获胜的概率为. 3某科研小组研发了一款新式无人机，其生产过程有4道工序，前3道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测，包括智能检测与人工检测，其中智能检测为次品的会自动淘汰，合格的进入流水线进行人工检测.已知该新式无人机在生产中前3道工序的次品率分别为，，. (1)若某批次生产了这款新式无人机1000架，记X为该批次经过前3道工序合格的架数，求的数学期望； (2)已知某批次的新式无人机智能检测显示合格率为，在智能检测合格的前提下，求人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率； (3)该科研小组为了庆祝获得研究成果，举行联欢晚会，晚会期间，该小组组织了一个现场抽奖游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运观众，每次都要有放回地含有10张红色卡片和10张绿色卡片的箱子中随机抽取一张，指挥无人机运送匹克球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的匹克球，乙箱中没有球，若抽到红色卡片，则从甲箱中运一个匹克球到乙箱；若抽到绿色卡片，则从甲箱中运两个匹克球到乙箱，当乙箱中的匹克球数目达到9个，下一轮直接达到11个，获得优惠券，游戏结束；当乙箱中的匹克球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得大礼包时游戏结束.求游戏结束时，幸运观众获得优惠券的概率. 【答案】(1)950架 (2) (3). 【分析】（1）先由独立事件的概率公式求解一架新式无人机经过前3道工序后是合格品的概率，再由二项分布求解期望即可； （2） 根据条件概率的概率公式计算即可； （3）设乙箱中有个球的概率为，结合全概率公式，找到递推关系，构造等比数列进行求解，最终求出即可. 【详解】（1）设新式无人机经过前3道工序后是合格品的概率为， 则， 由条件，可得，所以的数学期望为（架）. （2）设新式无人机智能检测合格为事件，人工检测合格为事件，则，， 所以， 即人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率约为. （3）设乙箱中有个球的概率为， 第一次抽到红色卡片，新式无人机运送1个匹克球，概率为，即， 乙箱中有2个球，有两类情况，所以， 乙箱中有个球的情况有： （i）无人机已运送个球，又抽到绿色卡片，其概率为； （ii）无人机已运送个球，又抽到红色卡片，其概率为； 所以，且， 所以，所以， 即当时数列是公比为的等比数列， 所以， 又，所以当时也成立， 所以，，，， 上述各式相加得， 又，所以，， 经检验，当时上式也成立， 所以， 所以，， 即游戏结束时获得优惠券的概率为. 考向02 数列与统计概率中有关奇偶项问题 1 围棋棋盘上共有361个交叉点，围棋术语称之为361目，两人玩围棋，谁占的目数多谁赢．因为目数不能均分，故先落子的一方占便宜．为解决这一问题，规定比赛结束后先落子的一方贴给后落子的一方目．抽签猜得黑棋的一方先落子．即便这样先落子的一方还是占些便宜．甲、乙两个围棋选手水平相当，据以往比赛经验，他二人执黑先落子的一方获胜的概率是，后落子一方获胜的概率是，没有平局．甲、乙两人再次比赛，并规定：当其中一人赢的局数比另一人多两局时，比赛结束．第一局由抽签结果是甲执黑先落子，以后每局交替执黑先落子．设第局结束的概率为． (1)求的值； (2)求的表达式及； (3)求甲、乙两人比赛结束时比赛局数的数学期望． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）由第一局不可能结束比赛得到．：第二局结束后，需要一方连胜两局，则差为2，分甲连胜两局和乙连胜两局得解； （2）分析奇偶性，当为奇数时，每局后比分差变化为，奇数局结束后差必为奇数，即为1或，无法得到2，比赛不可能结束，从而得到．当为偶数时，前局每两局都是平局，求出前两局是平局的概率，利用等比数列的通项公式得到；分为偶数和为奇数，利用等比数列求和公式求解. （3）若前两局是1：1，其概率为，从此刻开始直到比赛结束，进行局数的期望与0：0开始进行局数的期望相同，从而求得. 【详解】（1）因为第一局结束后，双方比分只能是或，差为1，不满足“差两局”的结束条件，所以． 第二局结束后，需要一方连胜两局，差为2，当甲连胜两局：第一局甲先，甲赢的概率为 ，第二局乙先，甲赢的概率为，概率为；当乙连胜两局，第一局甲先，乙赢的概率为，第二局乙先，乙赢的概率为，概率为，则 （2）当为奇数时，每局后比分差变化为，奇数局结束后差必为奇数，即为1或，无法得到2，比赛不可能结束，此时． 当为偶数时，前局每两局都是平局， 前两局是平局的概率为， 所以， 故 当为偶数时，， 当为奇数时，，所以， 故. （3）若前两局是1：1，其概率为， 从此刻开始直到比赛结束，进行局数的期望与0：0开始进行局数的期望相同， 所以， 解得． 2 一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为. (1)求与； (2)设，求与； (3)当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求. 【答案】(1)， (2)1， (3)答案详见解析 【分析】（1）解法一：利用独立事件的乘法公式，讨论每次摸球的编号即可解题；解法二：利用计数原理得到样本点个数，再利用古典概型可得答案. （2）解法一：建立起关于的递推公式，再求出通项公式，再利用等比数列的前项和公式求出的前项和；解法二：摸球次停止，意思是除了最后2次摸球的编号一样，其他的与前面一次摸球的编号都不一样，利用这个规则，可直接归纳出，即可得答案. （3）利用“当时，可分成两种情况：当时，与同为奇数或同为偶数；当时，与一奇一偶”可建立起与的关系，进一步可讨论通项公式. 【详解】（1）解法一：，. 解法二：，. （2）解法一：因为，所以，则. 若，则且，所以， 即， 所以，所以，即 由（1）可知，所以当时，. 又因为，所以， 所以， . 解法二：. ， 所以， . （3）当时，设随机变量满足：若是奇数，则，若是偶数，则.设. 当时，即为偶数，可得. 当时，即是偶数，可得. 当时，可分成两种情况：当时，与同为奇数或同为偶数；当时，与一奇一偶. 所以，即 当且为奇数时，，即； 当且为偶数时，，即. 当时，. 当时，. 综上可得，当且为偶数时，；当且为奇数时，. 考向03 数列与三角函数相结合 对于数列与三角函数的结合中，一般考察利用三角函数的周期问题去考察数列的求和，例如对于 1．定义：对于数列，若存在，对任意的，都有，则称数列为周期数列，为数列的一个周期.已知数列，，. (1)用定义证明：数列是周期数列； (2)求数列的前项和（结果用分段函数表示）； (3)已知数列有形如的通项公式，求常数，并证明： 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，，，证明见解析 【分析】（1）首先列出数列的前几项，再证明即可； （2）由（1）可得，再对分类讨论，利用并项求和法计算可得； （3）将，，代入得到方程组，求出，设，说明的周期性及前项，即可得证. 【详解】（1）因为，，则，，，， 又， 所以数列是周期为的周期数列. （2）由（1）可知. 当是的倍数时，； 当除以余时，是的倍数，； 当除以余时，除以余，. 所以. （3）因为，，， 分别代入， 得，化简得， ①+②得，与③联立得，从而④， ①-②得，与④联立得，又，故， 代入④得.从而. 设， 则， 所以为数列的一个周期， 又，， ， 所以， 所以 2．已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)当时， （i）判断函数在上的零点个数； （ii）若有公比的等比数列满足，求的值. 【答案】(1) (2)（i）;（ii） 【分析】（1）求出，代值计算即可；（2）（i）利用导数研究的单调性以及最值，结合零点存在定理即可判断； （ii）根据，转化为方程，为该方程的根，由，得到，讨论的范围，得到值即可. 【详解】（1）由题可得：，所以， 解得： （2）当时， （i）， 则，， 令，则， 所以在上单调递减，由于， 所以存在唯一零点，使得； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以， 当，由于，则，在上单调递增， 所以在上有一个零点， 当时，由于，，在上单调递减， 根据零点存在定理，在存在唯一零点， 综上，函数在上的零点个数为； （ii）由，可得，因为为等比数列，且， 所以，即， 考虑方程，为该方程的根； 因为，所以 当时，，则，因为数列为等比数列，则其公比为，所以， 当时，由可得，即， 若时，由可得：，由于等比数列，所以，则当时，，即，与矛盾，从而不符合题意； 若时，由可得：，由于等比数列，所以，则当时，，即，与矛盾，从而不符合题意； 综上，若有公比的等比数列满足，则的值为 3．在数列中，，，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，数列的前项和为，证明：； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知等式得出，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）可求得，，利用裂项求和法求出，然后利用裂项求和法结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立； （3）利用分析法可知，要证所证不等式成立，即证，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合函数的单调性即可证得结论成立. 【详解】（1）已知，即及，， 化简得，又 所以数列是首项为公差为的等差数列. （2）由（1）可知， 所以，. 又，所以，， . 所以 于是， ， 因为，所以，即. （3）定义，原不等式即 下面证明，即， 即证（*）， 设，则， 于是在区间上是增函数. 因为，有，不等式（*）成立. 故原不等式成立. 4．设次多项式，若其满足，则称多项式为切比雪夫多项式．已知为切比雪夫多项式． (1)求的解析式； (2)求证：； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设的含义可得相关等式，即可求解； （2）由题设求出，继而利用构造函数，结合导数与函数单调性的关系即可求解； （3）利用时，，推出，即得．再由（2）可得，记得，继而结合数列求和的方法即可求解. 【详解】（1）由于是切比雪夫多项式，故可设， 则，且， 得， 比较系数得，，所以． （2）由题得，且， 故，即， 比较系数得，，， 所以． 要证明，只需证， 只需证． 令， 则，令，则，等号仅在部分点处取得， 所以在上单调递增，易知， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增． 故，原式得证． （3）因为，所以数列是递减数列，故． 先证明当时，． 令，则， 所以在上单调递增，故，即当时，， 可得当时，，所以． 由（2）可得（当时等号成立）， 所以， 当时，有， 当时，， 故， 原式得证． 【点睛】难点点睛：本题是一到综合题，涉及到新的知识点以及三角函数和导数的相关应用，综合性较强，难点在第三问中不等式的证明，解答时要注意当时，的应用，继而利用数列求和进行求解． 考向04 数列与导数相结合 数列与导数结合，一般查考的是压轴题，主要是利用导数的一些不等式链的放缩，以及数列的放缩相结合，从而达到想要的不等式的证明目的。常见的函数不等式链为， 以及，，对数列的放缩常见的是裂项相消放缩以及等比数列放缩。 1．，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知． (1)证明：存在源数列； (2)①若恒成立，求的取值范围； ②记的源数列为，前项和为．证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据源数列的定义，利用导数求函数的区间单调性，得函数值域，即可证； （2）①问题化为令，即恒成立，利用导数求解右侧的最大值，即可得范围；②根据①得，应用裂项相消法求前n项和，即可证. 【详解】（1）由，得，即在上单调递减， 又，当且无限趋近于0时，趋向于正无穷大，即的值域为， 对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应， 故对于，令，其在上的解必存在且唯一， 不妨设解为，即，则都存在唯一的实数，使得， 即存在源数列． （2）①恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令，则， 令，则，仅在时取等号， 即在上单调递减，故，即在上单调递增， 故，故； ②由①得，故，即，则， 当时，． 当时，； 当时， 当时， ， 综上：． 2．已知是定义在上的函数，若对任意恒成立，则称为上的非负函数． (1)判断是否为区间上的非负函数，并说明理由； (2)已知为正整数，为区间上的非负函数，记的最大值为，求证：数列为等差数列； (3)已知且，函数，若为区间上的非负函数，为（2）中的等差数列，求证：． 【答案】(1)是上的非负函数，理由见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）通过求导分析函数单调性可得，即可判断结论. （2）通过分析函数单调性得，根据得，即可证明结论. （3）通过分析函数单调性结合得，通过构造函数，利用放缩法及裂项相消法求和可证明结论. 【详解】（1）是上的非负函数. 理由如下： 因为，，所以. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，故是上的非负函数. （2）由，，得. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 因为为上的非负函数，所以，解得，则. 因为，所以为等差数列. （3）由，，得. 因为且，所以由得，，解得， 由得，，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故. 由为上的非负函数，得，则，. 所以当时，，， 且，当,， 所以. 考向05 数列与解析几何相结合 数列与解析几何的结合中，主要考察数列的基本基本性质的基本应用，利用圆锥曲线的基本性质，主要利用等差等比数列的通项公式的基本结构，以及等差，等比数列前n项和的基本结构，或者是利用等差等比数列的等差等比中项去。 1 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，已知直线，按如下方法构造点列（其中）：过抛物线上的点作轴的平行线，交直线于点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点 (1)求实数的值，并求直线的方程； (2)求数列的通项公式，并证明：对任意； (3)设数列的前项积为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)，. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接代入，再根据直线对称即可得到答案； （2）当为奇数时，计算相关点坐标和直线斜率，化简得化简得，再通过取对数计算即可； （3）根据换元法得在时恒成立，再分离参数并利用导数即可得到最值. 【详解】（1）当时，，解得，则， 当时，，解得， 则，则直线的直线方程为， 又因为，则其倾斜角为，则对称后直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 所以直线方程为：，即. （2）由题意，当为奇数时，， 则直线的斜率， 化简得， 配方可得：，取对数可得， 由可得， ， 解得， 由题意可得，， 因为函数单调递增，所以， 因为，故当时，. （3）由（2）得：， 因为函数单调递增，可知： ， 故，令，可得，由恒成立， 可得在时恒成立，即在时恒成立， 令，得，当时，， 即在上单调递减，故，所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是先分析出，可得，再换元分离参数，利用导数即可得到答案. 2．已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，公比为； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据渐近线方程和所过定点即可求出双曲线方程，再联立直线即可求出答案； （2）写出直线方程，将其与双曲线方程联立得到，从而得到，再根据等比数列的定义即可证明； （3）转化为证明，利用点差法得，结合合比性质得，同理得，再根据（2）中结论即可证明. 【详解】（1）∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． （2）过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列． （3）要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. （建议用时：60分钟） 1 已知函数及其导函数的定义域均为．设，曲线在点处的切线交轴于点．当时，设曲线在点处的切线交轴于点．依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”． (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，记函数为的导函数（），函数的图象在处的切线与轴相交的交点横坐标为，求． 【答案】(1) (2)证明见解析，2 (3) 【分析】（1）先求出导函数得出斜率，再利用点斜式得出直线方程，最后求出该直线与轴交点的横坐标； （2）先求出在点处的切线，再求出该切线与轴交点的横坐标，根据得到与的关系； （3）先求出和其导函数，再求出该函数在处的切线，及该切线与轴交点的横坐标，进而求出，最后利用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）解：由，得， 因为，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则，所以． （2）证明： 由，得， 于是曲线在点处的切线方程为， 令，则， 由题意得到， 所以， 又，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列. （3）解：由已知条件可知： 切点坐标  因为 所以切线的斜率 所以切线的方程为 令，得，即 因为 所以 2 已知函数，记为函数在区间内的从小到大的第个零点. (1)证明：数列是等比数列； (2)记为函数在区间内的从小到大的第个极值点，将数列，中的所有项从小到大排列构成一个新的数列若，，求k的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) . 【分析】（1）结合题意表示关系式，再由等比数列的定义，即可得证； （2）利用导数求解极值即可求得通项，从而求得通项，则当 ， 成立，即 成立，亦即 成立，结合导数求解最值从而求解. 【详解】（1）令 ，即 ， 解得 ， . 由题意可知 ，， ， ， 因为 ，而 是常数. 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列； （2）易知， 令，解得， 当，即时， 0，则， 当，即时，，则 ， 因此当 ， 时， 取得极值. 由题意可知，， 所以 ， ， 所以 ； 当 ， 成立，即 成立， 亦即 成立； 设，则 ， 令得 ， 当 时， ，当 时，， 所以在区间 上单调递减；在区间上单调递增. 因为，当时，，且 ，； 因为，，， 所以 的最小值为 ； 因此 ， 成立，当且仅当 成立，解得 ， 所以 k 的最大值是 . 3 记数列前k项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为A． (1)已知数列为7，6，5，8，求数列； (2)若，且A中恰有5个元素，求实数a的取值范围； (3)若，的“生成子列”的前n项和为，从中任取Y个数，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X， ①若，求X的数学期望； ②若，求使取得最大值时的m值． 【答案】(1)7，7，7，8； (2) (3)①；②答案见解析 【分析】（1）根据“生成子列”的定义即可求解； （2）根据中有5个元素结合数列单调性及“生成子列”定义可得：且，从而可得参数的取值范围. （3）根据特殊角的三角函数结合“生成子列”的定义可得其通项，从而可求，进一步可求得以及取得最大值时的m值. 【详解】（1）当数列为7，6，5，8时，根据定义有： ，所以数列为：7，7，7，8； （2）因为，所以， 由得 当时，数列递增，当时，数列递减， 因为A中有5个元素，结合数列的单调性可知， 且，即， 解得，所以a的取值范围是； （3）由题意得 所以， 所以，能被4整除， ，不能被2整除， ，能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以中能被2整除，但不能被4整除的有n个， ①法一：由题意，所以. 法二：X的取值范围是 ， ． ，所以． ②，令得 即 解得 因为，当时，或时，取得最大值 当时，时取得最大值. 4．张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求． 【答案】(1)； (2)（或）； (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出的值； （2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式； （3）利用期望的性质，将转化为，再根据期望的定义求出. 【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故， 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故， 第3天晨跑的情况分两种： 第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， 第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为， 故. （2）由题意得，张明第天晨跑后，下一次晨跑在第天的概率为， 张明第天晨跑后，再在第天晨跑的概率为， 所以， 即，则， 所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 由（1）得，，，所以， 所以， 则， 所以， 所以．（或） （3）记他前天中，第天晨跑的次数为． 由题意得，服从两点分布，且， 因为，且对于离散型随机变量，都有， 所以 ， 所以， 所以 所以. （或 5．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)求证：对任意的且，都有：．（其中为自然对数的底数） 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分类讨论与即可； （2）利用切线放缩不等式，得到，再利用放缩，再用累加法，即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得或（舍）， 所以在上，，在上单调递增， 在上，，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）设，. 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减. 因此在处取到最大值，， 即，得，当且仅当时等号成立. 则对于任意整数，因为，均有， ， 则， 故． 6．已知圆，点P为圆C上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，设D为PQ的中点，且D的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)不过原点的直线l与曲线E交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率，k，成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为，，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)是，. 【分析】（1）设，，利用相关点法求解即可； （2）设MN方程为：，将椭圆方程齐次化，令，转化为关于的一元二次方程，利用韦达定理，结合和定比定理求出，将的坐标代入椭圆方程，两式相加转化为关于的方程组，结合求解，然后由圆的面积公式可得. 【详解】（1）设，，因为D为PQ的中点，所以． 因为在圆上，所以， 所以曲线E的方程为：．    （2）设，因为的斜率存在，所以， 设MN方程为：，椭圆方程齐次化：， 所以， 令，则，则，是其两根，所以 又，且，所以， 所以，所以， 则①， ，②③：④， 由①④得，，     7．已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)求； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）双曲线的方程为代入计算得解； （2）联立方程与，解得的横坐标.求出，计算，代入得解； （3）将利用放缩法得到，利用裂项相消求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 代入得，故双曲线的方程为. （2）联立方程与，解得的横坐标. 因为， 故 ， 所以. （3）因为 ， 故 ， 当时成立. 故.    8．在正三棱台中，，Q是AC的中点． (1)求证：平面.； (2)若，求直线AC与平面所成角的正弦值； (3)若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，证得且，得到四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）取正三棱台的上下底面的中心为和，以坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求得和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设下底面为集合，上底面为集合，求得相应的概率，设为次移动后在的概率，得到，且，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在正三棱台中，可得， 因为，是的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取底面正的中心为，上底面正的中心为， 以坐标原点，以所在的直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，且，可得， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由向量， 设直线与平面所处的角为，则， 所以直线AC与平面所成角的正弦值. （3）解：电子猫从点出发，每次等可能移动到相邻顶点， 设下底面为集合，上底面为集合， 可得从任意顶点，移动到的概率为，移动到顶点的概率为， 从任意顶点，移动到的概率为，移动到顶点的概率为， 设为次移动后在的概率，则， 当时，， 可得，即， 所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为. 9．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小明答4道题后积分小于5的概率； (2)设小明答5道题后积分为，求； (3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则，，证明：为等比数列. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分小明4题都答错，或答对1题，答错3题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小明答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）根据全概率公式得，再构造成等比数列即可证明. 【详解】（1）小明答4道题后积分小于5，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题， 故所求概率为. （2）设小明答对的题数为，则他答错的题数为，， 由题意知，， . （3）当小明的积分为时，若小明接下来一题答对，则积分变为， 若小明接下来一题答错，则积分变为， 由全概率公式有，整理可得， 又，为等比数列. 21 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 数列与概率统计、函数以及解析几何的创新综合应用 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：数列与其他知识点的结合是数列的一大考试形式，主要集中于数列与统计概率，数列与解析几何，数列与三角函数，数列与导数的结合 预测2026年：考向01 概率统计中求对应的数列递推公式， 考向02 数列与统计概率中有关奇偶项问题 考向03 数列与三角函数相结合 考向04 数列与导数相结合 考向05 数列与解析几何相结合 考向01 概率统计中求对应的数列递推公式 数列递推公式在统计概率中，只要是要找到的对应关系，从容利用数列的构造成等比数列或者是等差数列的形式，对于这种形式即可。 1．某图书馆对学生借阅图书是否按时归还的情况开展调查，经过一段时间的统计发现：学生第一次借阅图书，按时归还的概率为；从第二次借阅开始，若前一次按时归还，则本次按时归还的概率为；若前一次未按时归还，则本次按时归还的概率为．记学生第次借阅按时归还的概率为． (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)记前次借阅中按时归还的次数为，求随机变量的数学期望． 参考公式：若为离散型随机变量，则． 2．一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） (1)求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； (2)证明：为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 3．某科研小组研发了一款新式无人机，其生产过程有4道工序，前3道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测，包括智能检测与人工检测，其中智能检测为次品的会自动淘汰，合格的进入流水线进行人工检测.已知该新式无人机在生产中前3道工序的次品率分别为，，. (1)若某批次生产了这款新式无人机1000架，记X为该批次经过前3道工序合格的架数，求的数学期望； (2)已知某批次的新式无人机智能检测显示合格率为，在智能检测合格的前提下，求人工随机抽检一架新式无人机恰好为合格品的概率； (3)该科研小组为了庆祝获得研究成果，举行联欢晚会，晚会期间，该小组组织了一个现场抽奖游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运观众，每次都要有放回地含有10张红色卡片和10张绿色卡片的箱子中随机抽取一张，指挥无人机运送匹克球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的匹克球，乙箱中没有球，若抽到红色卡片，则从甲箱中运一个匹克球到乙箱；若抽到绿色卡片，则从甲箱中运两个匹克球到乙箱，当乙箱中的匹克球数目达到9个，下一轮直接达到11个，获得优惠券，游戏结束；当乙箱中的匹克球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得大礼包时游戏结束.求游戏结束时，幸运观众获得优惠券的概率. 考向02 数列与统计概率中有关奇偶项问题 1．围棋棋盘上共有361个交叉点，围棋术语称之为361目，两人玩围棋，谁占的目数多谁赢．因为目数不能均分，故先落子的一方占便宜．为解决这一问题，规定比赛结束后先落子的一方贴给后落子的一方目．抽签猜得黑棋的一方先落子．即便这样先落子的一方还是占些便宜．甲、乙两个围棋选手水平相当，据以往比赛经验，他二人执黑先落子的一方获胜的概率是，后落子一方获胜的概率是，没有平局．甲、乙两人再次比赛，并规定：当其中一人赢的局数比另一人多两局时，比赛结束．第一局由抽签结果是甲执黑先落子，以后每局交替执黑先落子．设第局结束的概率为． (1)求的值； (2)求的表达式及； (3)求甲、乙两人比赛结束时比赛局数的数学期望． 2．一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为. (1)求与； (2)设，求与； (3)当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求 考向03 数列与三角函数相结合 对于数列与三角函数的结合中，一般考察利用三角函数的周期问题去考察数列的求和，例如对于 1．定义：对于数列，若存在，对任意的，都有，则称数列为周期数列，为数列的一个周期.已知数列，，. (1)用定义证明：数列是周期数列； (2)求数列的前项和（结果用分段函数表示）； (3)已知数列有形如的通项公式，求常数，并证明： 2．已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)当时， （i）判断函数在上的零点个数； （ii）若有公比的等比数列满足，求的值. 3．在数列中，，，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，数列的前项和为，证明：； (3)证明：. 4．设次多项式，若其满足，则称多项式为切比雪夫多项式．已知为切比雪夫多项式． (1)求的解析式； (2)求证：； (3)若，求证：． 考向04 数列与导数相结合 数列与导数结合，一般查考的是压轴题，主要是利用导数的一些不等式链的放缩，以及数列的放缩相结合，从而达到想要的不等式的证明目的。常见的函数不等式链为， 以及，，对数列的放缩常见的是裂项相消放缩以及等比数列放缩。 1．，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知． (1)证明：存在源数列； (2)①若恒成立，求的取值范围； ②记的源数列为，前项和为．证明：． 2．已知是定义在上的函数，若对任意恒成立，则称为上的非负函数． (1)判断是否为区间上的非负函数，并说明理由； (2)已知为正整数，为区间上的非负函数，记的最大值为，求证：数列为等差数列； (3)已知且，函数，若为区间上的非负函数，为（2）中的等差数列，求证：． 考向05 数列与解析几何相结合 数列与解析几何的结合中，主要考察数列的基本基本性质的基本应用，利用圆锥曲线的基本性质，主要利用等差等比数列的通项公式的基本结构，以及等差，等比数列前n项和的基本结构，或者是利用等差等比数列的等差等比中项去。 1．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，已知直线，按如下方法构造点列（其中）：过抛物线上的点作轴的平行线，交直线于点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点 (1)求实数的值，并求直线的方程； (2)求数列的通项公式，并证明：对任意； (3)数列的前项积为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最小值． 2．已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. （建议用时：60分钟） 1．已知函数及其导函数的定义域均为．设，曲线在点处的切线交轴于点．当时，设曲线在点处的切线交轴于点．依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”． (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，记函数为的导函数（），函数的图象在处的切线与轴相交的交点横坐标为，求． 2．已知函数，记为函数在区间内的从小到大的第个零点. (1)证明：数列是等比数列； (2)记为函数在区间内的从小到大的第个极值点，将数列，中的所有项从小到大排列构成一个新的数列若，，求k的最大值. 3．记数列前k项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为A． (1)已知数列为7，6，5，8，求数列； (2)若，且A中恰有5个元素，求实数a的取值范围； (3)若，的“生成子列”的前n项和为，从中任取Y个数，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X， ①若，求X的数学期望； ②若，求使取得最大值时的m值． 4．张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求． 5．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)求证：对任意的且，都有：．（其中为自然对数的底数） 6．已知圆，点P为圆C上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，设D为PQ的中点，且D的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)不过原点的直线l与曲线E交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率，k，成等比数列，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为，，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 7．已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)求； (3)证明：. 8．在正三棱台中，，Q是AC的中点． (1)求证：平面.； (2)若，求直线AC与平面所成角的正弦值； (3)若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求． 9．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小明答4道题后积分小于5的概率； (2)设小明答5道题后积分为，求； (3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则，，证明：为等比数列. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $