27.2.1（第2课时）三边成比例的两个三角形相似（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“三边成比例的两个三角形相似”判定定理，通过类比三角形全等SSS判定方法导入，引导学生迁移旧知提出问题，构建从全等到相似的知识支架，帮助梳理前后知识脉络。 其亮点在于结合动手画图测量培养几何直观，通过格点三角形用勾股定理算边长、正方形中设参数求边长等例题发展推理能力与模型意识，例题分层且当堂检测及时反馈，助力学生提升探究与应用能力，也为教师提供完整教学资源。

第27章 相似 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.2.1 （第2课时） 三边成比例的 两个三角形相似 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？ 类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？ 能 不需要 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的2倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论. 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学的定理证明此结论. C′ B′ A′ 2 3 4 A B C 4 6 8 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 A B C C' B' A' D E ∴ 证明：过点 D 作 DE∥B′C′ 交A′C′于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′. ∴ DE=BC，A′E=AC. 又 ，A′D=AB， ∴ ， . ∴△A′DE≌△ABC ∴△ABC∽△A′B′C′ . 已知：如图 △ABC 和△A'B'C' 中， 求证：△ABC∽△A'B'C'. BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 三角形相似的判定定理 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言: BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm． A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝21cm ∴△ABC与△A'B'C'的三组对应边的比不等，它们不相似 证明： ∴ 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图，点O是△ABC的边BC上一点，连接AO,点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点，连接DE,DF.求证：△ABC ∽△DEF. 证明：∵点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， ∴DE= AB, EF= BC, DF= AC, 即 ∴△ABC ∽△DEF. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，且 ,∠DAB=28°,求∠CAE. 解： ∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， ∴ AD =AE，AB = AC， 又∵ ∴ ∴△ADE∽△ABC ∴∠DAE = ∠BAC， ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， ∴∠CAE= ∠DAB =28°. A B C D E BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，在8×8的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，求证：△ABC∽△DEF. 证明：由图可知， AB=,AC=, BC=,DE=, DF=, EF=, ∴△ABC ∽△DEF. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF.△AEF与△ECF相似吗？请说明理由. 解：△AEF与△ECF相似，理由如下： 设正方形ABCD的边长为4a, ∵E是BC的中点，DF=3CF ∴BE=EC=2a,CF=a,DF=3a, ∴AE=a,EF= a,AF=5a, ∴△AEF ∽△ECF. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2. ∴ △ A′B′C′∽△ABC. ∴ BC=2B′C′， 由此你能得到什么启发？ BY YUSHEN BY YUSHEN 三边成比例的 两个三角形相似 归纳总结 内容 利用三边判定两个三角形相似 图形 应用 三角形的角平分线相交于内部一点， 该点到三角形三边的距离相等 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（    ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ A 2.一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（     ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3.如图，x的值为多少时，△ A1B1C1∽△ABC( ) A．20 B．27 C．36 D．45 C 4.将△ABC的各边长作如下变化，得到的新三角形与△ABC相似的是（    ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 C 5.一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6. 如图，若 ＝ ＝ ， 则△______∽△______. 7.若一个三角形的三边长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形的三边长分别为12cm，18cm，________时，这两个三角形相似． ADE ABC 15cm A B C D E 8. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4 或 9 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵ ， ， ， ∴ . ∴ △ABC ∽ △DEF. 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点， 求证：△ABC∽△EFD． ∴△ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴ ∴ A B C E F D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 解：相似，相似比为2：1，理由如下： 图①中的三角形三边分别为 ，2 ， ； 图②中的三角形三边分别为 2，2 ，2 . 则 ， 所以这两个三角形相似. 11.如图，在正方形网格中，有△A1B1C1 与 △A2B2C2 ，它们相似吗？ 如果相似，求出相似比；如果不相似，说明理由. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 12.根据下列条件判定△AEF与△ECF是否相似，如果是，用符号表示出来. (1)AB=2cm,BC=3cm,AC=4cm,DE=10cm,EF=15cm,FD=15cm; (2)AB=1cm,BC=2cm,AC=1.5cm,DE=6cm,EF=4cm,FD=8cm. 解： (1)∵， ∴△ABC ∽△EFD. (2)∵， ∴△ABC ∽△EFD. BY YUSHEN BY YUSHEN $