3.1用树状图或表格求概率课堂练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

3.1用树状图或表格求概率 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．用三种不同的颜色，将如图所示的四个区域涂色，每种颜色至少用1次，则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为（　　　） A． B． C． D． 2．如图，直径AB、CD互相垂直，现有一小球在此圆盘上滚动，落在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某中考体育训练营开设的培训项目有：长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆．王林随机选择两个项目进行培训，则恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率是（    ） A． B． C． D． 4．在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（   ） A． B． C． D． 5．从分别写有整数－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是(　　) A． B． C． D． 6．如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 7．如图是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字大于6 B．通过抛一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的 C．神舟飞船在发射前需要对零部件进行抽样调查 D．一组数据1，3，4，5，7的方差是4 9．从三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率（  ） A． B． C． D． 10．现有A、B两枚均匀的骰子，用骰子A的点数为x，骰子B的点数为y的方式来确定点，则各掷一次骰子所确定的点P落在已知抛物线上的概率是（    ）． A． B． C． D． 11．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类. 现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（    ） A． B． C． D． 12．如图所示为一水平放置的转盘，使劲转动其指针，并让它自由停下，下面叙述正确的是（   ） A．停在B区比停在A区的机会大 B．停在三个区的机会一样大 C．停在哪个区与转盘半径大小有关 D．停在哪个区是可以随心所欲的 二、填空题 13．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是 ． 14．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数，，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值，再从剩余球中取出一个球，将小球上的数字作为b的值，则a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率是 ． 15．如图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为 ． 16．不透明的袋子中装了 2 个红球， 1 个黑球， 1 个白球， 这些球除颜色外无其它差别， 从袋子中随机一起摸出 2 个球， 摸出 1 个红球 1 个黑球的概率为 ． 17．小明用一张扑克牌设计了一个游戏：任意掷出纸牌，如果正面着地，则小明胜；如果背面着地，则小明输．你认为这个游戏 （“公平”或“不公平”）． 三、解答题 18．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率； （2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数向上代表肉馅，点数向上代表香肠馅，点数，向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 19．请你依据下面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘： (1)用树状图（或表格）表示出所有可能的寻宝情况； (2)求在寻宝游戏中胜出的概率． 20．甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏． 21．不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1，2，3，各球除所标的数外其他均相同．从箱子里任意摸出两个球，并记下数． (1)用适当的方法列举出所有的可能结果； (2)求两个数的积是偶数的概率． 22．在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案． 甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； （2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由） 23．一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 24．下图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷． 小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击A区域还是B区域？ 《3.1用树状图或表格求概率》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B B B A D D B 题号 11 12 答案 C A 1．B 【分析】设三种不同颜色分别用1，2，3表示，列举第一格涂1或2或3的所有可能，找出符合条件的情况，利用概率公式求即可． 【详解】设三种不同颜色分别用1，2，3表示， 根据题意，可以设第一格涂1， 可列举所有可能： 1123，1132，1312，1321，1322，1323，1332，1213，1223，1231，1232，1233， 此时所有可能的结果又12种，符合条件的有6种， 其它2或3同理， 所以四个格的所有可能的结果共有36种， 符合条件的结果共有18种， 所以相邻的区域不涂同一种颜色的概率为： P=． 故选择：B． 【点睛】本题考查用列举法求概率问题，掌握列举时采用分类思想列出每种情况的所有可能结果，从中找出满足条件情况是解题关键． 2．B 【分析】将图中四个阴影部分移到一起，即可求出图形中阴影部分的面积占圆盘面积分率，从而求出结论． 【详解】解：将图中四个阴影部分移到一起，如下图所示 可知：图形中阴影部分的面积是圆盘面积的 ∴落在阴影部分的概率为 故选B． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握图形中的概率问题=相应的面积与总面积之比是解题关键． 3．C 【分析】把长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆分别记为：A、B、C、D，画出树状图，找到恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的结果，由概率公式求解即可． 【详解】解：把长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的情况，即选中B、C的结果有2种， ∴恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率为， 故选：C 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．B 【分析】运用列举法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的公式即可求解． 【详解】解：用列举法把所有等可能结果表示出来为，对手可能出现的结果有：石头，剪刀，布种等可能结果，平手的结果是， ∴当你出“石头”时，对手与你打平的概率为， 故选：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，理解并掌握概率的计算方法是解题的关键． 5．B 【分析】在这九个数中，绝对值＜2有-1、0、1这三个数，所以它的概率为三分之一． 【详解】数的总个数有9个，绝对值小于2的数有﹣1，0，1共3个，所以任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是． 故选B． 6．B 【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a， ∴其内切圆的半径为，正方形的面积为a2， ∴阴影部分的面积为， ∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是． 故选：B 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之． 7．A 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率． 【详解】解：∵蓝色区域的圆心角为， ∴指针落在蓝色区域的概率是， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了不可能事件，游戏的公平性，普查和抽样调查的意义，方差，根据相关概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A．骰子六个面上的数都不大于6，故A选项不符合题意； B．通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故B选项不符合题意； C．神舟飞船在发射前需要对零部件进行普查，故C选项不符合题意； D．一组数据1，3，4，5，7的平均数为，则其方差为，故D选项符合题意； 故选：D． 9．D 【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个，再由概率公式求解即可． 【详解】画树状图如图： 共有6个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有4个， ∴该点在坐标轴上的概率为． 故选：D． 【点睛】本题考查点的坐标特征和列表法与树状图法求概率．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率，概率为． 10．B 【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再利用二次函数图象上点的坐标特征，找出点在抛物线上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有36种等可能的结果数，点在抛物线上的结果数为（1，3），（2，4），（3，3）共3种， 所以点在已知抛物线上的概率． 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． 11．C 【分析】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，画出树状图，根据概率公式，即可求解. 【详解】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，    ∵将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶一共有12种可能，投放正确的只有一种可能， ∴投放正确的概率是：. 故选C. 【点睛】本题主要考查画树状图求简单事件的概率，根据题意，画出树状图，是解题的关键. 12．A 【分析】由C区面积＞B区面积＞A区面积，从而可得答案． 【详解】解：由于C区面积＞B区面积＞A区面积， 故停在C区比停在B区的机会大，停在B区比停在A区的机会大． 故选A． 【点睛】本题考查的是几何概率的理解与计算，掌握“几何概率的含义”是解本题的关键． 13． 【分析】用树状图或列表法表示出所有的情况数，然后找出第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】列表如下： 共有12种等可能的情况，其中第一个人摸到红球且第二个人摸到白球共有4种情况，所以第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 14．/0.4 【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的结果数为8， 所以a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率=． 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 15． 【详解】列表法或树状图法，概率． 【分析】画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两辆汽车经过该路口都向右转的有1种情况， ∴两辆汽车经过该路口都向右转的概率为：． 16． 【分析】利用列举法求概率即可． 【详解】解： 从袋子中随机一起摸出 2 个球可能出现的情况一共12种等可能结果，其中，摸出 1个红球1个黑球的情况有4种 ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 17．公平 【分析】根据游戏规则可知：任意掷出纸牌；正面或背面着地机会均等，故这个游戏公平． 【详解】解：质地均匀的纸牌，落地时只有两种情况，正面着地，或反面着地概率均为50%，所以公平． 故答案为公平. 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 18．（1） （2）模拟不正确，理由见解析． 【分析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，（1）此题属于不放回实验；（2）此题模拟的为放回实验；所以模拟的不正确． 【详解】（1）图中肉馅的用表示，香肠馅的用表示，两只红枣馅的用表示：画树状图． 所以； （2）模拟不正确，此题属于不放回实验，而模拟的为放回实验；所以模拟的不正确． 19．（1）答案见解析；（2） 【分析】列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】（1）树状图如下： （2）由（1）中的树状图可知：P（胜出） 【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．同时熟记用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法 20．不公平，可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜 【分析】根据题意先求出小明获胜的概率，然后再求出小兵获胜的概率，二者比较一下大小就可以了． 【详解】不公平， P（甲获胜）=，P（乙获胜）=， ∵ 所以不公平． 可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）运用列举法列出所有情况即可； （2）找到两个数的积是偶数的情况数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从三个球中摸出两个球， 则可能的结果为，，； （2）由（1）得：三种情况中两个数的积分别为，，，偶数有2个， ∴两个数的积是偶数的概率为． 【点睛】本题考查了概率的求法，列举法，解题的关键是能不重不漏的列举出所有情况． 22．（1）不公平；（2）不公平． 【分析】(1)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． (2)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． 【详解】(1)、甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法， 小明 小刚 2 3 4 5 2 （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，2） （3，4） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，4） 所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平； (2)、不公平．理由如下： 小明 小刚 2 3 4 2 （2，3） （2，4） 3 （3，2） （3，4） 4 （4，2） （4，3） 所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平． 23．(1) (2) 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，共有个球，搅匀后从中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，其中摸到红球的情况只有1种， ∴摸到红球的概率是； （2）根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图： 由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种， 所以2次都摸到白球的概率为． 24．下一步应该点击B区域 【分析】本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键．本题需先根据已知条件得出各个区域的地雷所占的比例，再进行比较，即可求出答案． 【详解】解：在A区域点击的话，点击到地雷的概率为， 在B区域点击的话，点击到地雷的概率为， ∵， ∴为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击B区域． 学科网（北京）股份有限公司 $