专题06 椭圆之韵：性质剖析与深入探索（9大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题06 椭圆之韵：性质剖析与深入探索 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一：椭圆的定义与标准方程 题型二：椭圆方程的充要条件 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型四：椭圆上两点距离的最值问题 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 题型六：离心率的值及取值范围 题型七：椭圆的简单几何性质问题 题型八：利用第一定义求解轨迹 题型九：椭圆的实际应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 2、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． 3、椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 椭圆的定义与标准方程 1．已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点都满足， 所以到两定点的距离之和为，且， 所以曲线为椭圆，焦点为，则， 且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，即， 故， 所以曲线的标准方程为. 故选：C 2．已知椭圆：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆的定义可得，，即， 因为椭圆的短半轴长等于焦距，则， 又，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 3．已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为椭圆的焦点为，，所以； 又过点的直线与交于，两点，的周长为， 则根据椭圆定义可得，， 解得，因此， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 5．已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上. 将,代入椭圆方程得: , 解得, 椭圆C的标准方程为. 故选:D. 椭圆方程的充要条件 1．当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 【答案】A 【解析】①当时，，曲线，表示圆； ②当时，，曲线表示椭圆； ③当时，，曲线即，表示两条直线； ④当时，，曲线表示双曲线. 故选：A. 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有：. 故选：A. 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，解得. 故选：C. 4．若方程表示椭圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程表示椭圆， 所以，且， 解得. 故选：D. 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得，即. 故选：C. 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 1．已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 【答案】D 【解析】由椭圆方程可知：，，， 所以作图如下： ∴由椭圆的性质可知，由，∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 2．椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（    ） A．16 B．18 C． D．20 【答案】B 【解析】 因为长轴长为10，即， 所以长半轴长， 则由题可知,短半轴长， 半焦距， 故的周长为. 故选：B. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【解析】因为椭圆方程为，所以， 所以，所以， 故选：C. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（    ） A．7 B．3 C． D．9 【答案】A 【解析】依题意，椭圆半焦距，设点，则， 因此的面积， 则，即，而，解得， 所以. 故选：A 5．点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，记， ，， 中，由余弦定理得，又， ， . 故选：B. 椭圆上两点距离的最值问题 1．已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】不妨取为椭圆的左焦点，设， 由椭圆可得，且满足，即； 因此， 又易知，所以可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 2．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意作图如下， 点是的角平分线上的一点，且， 点是的中点， 设，则， 又点是的中点， ， 由椭圆的定义可知， ， 由于，且P与椭圆的四个顶点不重合， 故或， ． 故答案为：． 3．已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 【答案】 【解析】在△中，，， 点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点， ，，短半轴，又的中点为该椭圆的中心， 的最小值为． 故答案为： 4．点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ． 【答案】 【解析】如图，设点在圆上，设，而, 则， 故, 此时， 又因为， 所以的最大值是. 故答案为：. 5．已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由椭圆的离心率为， 可得，解得，所以椭圆的方程为， 设，则， 因为，当时，可得取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 椭圆上两线段的和差最值问题 1．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】 如图所示， 由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则， 再由椭圆定义可知， 即， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 又， 即的最小值为， 故答案为：. 2．已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】 如图，设椭圆的右焦点为,连接, 因，则， 由图知，当，三点共线，且点在之间时，取得最小值, 因，，故此时取得最小值为. 故答案为：. 3．点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 【答案】8 【解析】根据由题意可知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心； 易知两圆半径都为，由椭圆定义可得，如下图所示： 因此可得的最大值为，即图中的位置； 最小值为；即图中的位置； 所以可得. 故答案为：8 4．设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为 【答案】 【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线最短距离是过定点到直线的垂线段长， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故答案为：. 5．已知，是椭圆的左、右焦点，点，点在上，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 由椭圆方程，可得，， 所以，所以， 因为点在上，所以， 由于，， 所以的范围是. 故答案为：. 离心率的值及取值范围 1．已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ． 【答案】 【解析】令椭圆的半焦距为c，依题意，点关于原点对称，而是的中点，又， 则四边形为矩形，有，， 于是，由的周长为30， 得， 则，解得，所以的离心率. 故答案为： 2．已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则 . 【答案】 【解析】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以，又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值为，则椭圆的离心率是 . 【答案】/ 【解析】如下图所示： 易知， 又的最小值为可得的最小值为， 根据焦半径公式可得的最小值为，即可知, 所以，又，所以， 整理可得，即， 可得，即，解得. 故答案为： 4．如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为 . 【答案】 【解析】设，,则，， 所以，， 因为，所以，所以，即. 又， 所以，即，解得，即椭圆的离心率为. 故答案为：. 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为 ．    【答案】/ 【解析】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 椭圆的简单几何性质问题 1．（多选题）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（   ） A． B．椭圆的离心率为 C．是椭圆的一个焦点 D． 【答案】ACD 【解析】椭圆上所有的点绕原点旋转角， 得到椭圆的方程：， 设点在该椭圆上，则其关于的对称点代入椭圆方程有 ，即，则该对称点位于椭圆方程上， 同理其关于的对称点代入椭圆方程有 ，即，则该对称点位于椭圆方程上， 则关于对称， 所以，故D正确； 将代入可得， 可得椭圆长轴的顶点为，所以，故A正确； 将代入可得， 可得椭圆长轴的顶点为，所以， 则，则，故B错误； 所以焦点坐标为或，所以C正确； 故选：ACD 2．（多选题）已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（    ） A．椭圆的焦距为 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】对于AB，由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的焦距，离心率为，故A不正确，B正确； 对于CD，由圆，得圆心，半径， 设椭圆上任意一点， 则， 令，其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 则的最小值为，故C正确，D不正确. 故选：BC. 3．（多选题）椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为4 C．椭圆上不存在点，使得 D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点的最大距离为3 【答案】ABC 【解析】由椭圆，可知，即， 对于选项A，离心率，故A错误； 对于选项B，由椭圆定义，可得， 因此的周长为，故B错误； 对于选项C，设，则，且； 又，所以， 因此， 解得，故C错误； 对于选项D，设，则，即， 所以点到圆的圆心的距离， 因为，所以，故D正确. 故选：ABC. 4．（多选题）已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 【答案】AD 【解析】对于A，椭圆中，，离心率为，A正确； 对于B，由对称性可得，所以，B错误； 对于C，设且，则， 故，所以C错误； 对于D，不妨设在第一象限，，则，得，则， 则，故，故D正确. 故选：AD. 5．（多选题）已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．短轴长为 C．离心率为 D．三角形周长为16 【答案】ABC 【解析】由椭圆可得实半轴长，短半轴长， 故半焦距， 对于A，，故A正确； 对于B，短轴长为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确， 对于D，三角形周长为，故D错误； 故选：ABC. 利用第一定义求解轨迹 1．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆和的圆心、半径分别为， 由，得点在圆内，设动圆半径为， 依题意，，，则， 因此P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，即， 而圆内切于，切点在P点的轨迹上，此点可视为极限位置的点， 所以椭圆方程为. 故选：D 2．已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知圆和， 可知，，，，且， 又动圆与圆内切，同时与圆外切， 则，， 所以， 所以动点到两个定点，的距离之和为定值， 即满足椭圆的定义， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且长轴长度，焦距，即，， 所以， 椭圆方程为， 故选：C 3．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 4．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为，由题意， 两式相加可得， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以，所以椭圆方程为． 故选：A. 5．一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【解析】由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 椭圆的实际应用 1．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 2．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 3．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图可知，，，，A不正确； ，，；B不正确； 由，可知，C不正确； ，可得，故， 即，，，即，D正确， 故选:D. 4．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】C 【解析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确； 故选：C． 5．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为， 设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为， 依题意，，整理得，即， 而，解得， 此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为. 故选：C 1．已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示： 依题意由椭圆定义可得，所以； 即； 依题意由双曲线定义可得，所以； 即； 因此可得； 又易知，即可得； 因此，而， 即满足，所以； 又为的中点，因此. 故选：D 2．已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，因为， 所以，， 因为为椭圆的上顶点，所以，则， 在中，， 在中，， 即，所以. 故选：C. 3．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆和的圆心、半径分别为， 由，得点在圆内，设动圆半径为， 依题意，，，则， 因此P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，即， 而圆内切于，切点在P点的轨迹上，此点可视为极限位置的点， 所以椭圆方程为. 故选：D 4．过椭圆的右焦点作轴的垂线，交椭圆于两点，直线过椭圆的左焦点和上顶点．若以为直径的圆与相切，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：左焦点上顶点， 所以直线l的方程为，即， 因为过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点， 所以以为直径的圆的圆心为右焦点，半径为， 因为以为直径的圆与相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，即， 所以， 所以， 故选：C 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意知，， 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得，显然，，， 由代入坐标可得：，即得， 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 （*）， 又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成： ，解得，故得， 又，故的离心率的取值范围为. 故选：B. 6．已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【解析】由外接圆的面积为，则其外接圆半径为. ∵是以为底边的等腰三角形，设，则， ∴，得， ∴或. 不妨设点在轴下方， 由是以为底边的等腰三角形，知：或 设，则 ，， 所以， 所以， 因为四点共线，为线段的中点， 所以，， 所以， 所以或（此时焦点在轴上，舍去） ∵为椭圆的右焦点， ， ∴，故椭圆的长轴长为. 故选：B. 7．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设， 则, 则，直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 设椭圆的左焦点为，连接，则， 在中，， 在中，由余弦定理可得, 所以，，解得，因此，椭圆的离心率为. 故选：B. 8．已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 所以点的轨迹方程为， 设过点的直线与椭圆交于，， 所以，所以， 因为为中点，所以，， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：B. 9．（多选题）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．直线与直线斜率乘积为定值 B．存在点，使得 C．有最小值 D．的范围为 【答案】ACD 【解析】对于A，由椭圆，可得，则， 设，则，可得， 所以，故A正确； 对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得， 则，故B错误； 对于C，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 即有最小值，故C正确； 对于D，因为，则点Q在椭圆外，由 如图所示，设直线与椭圆相交于，又， 则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为30°时，则水面椭圆的离心率为 . 【答案】/0.5 【解析】 设圆柱形杯子的底面半径为，画示意图如图所示： 则是椭圆的长半轴长，等于椭圆的短半轴长，则， 又，则. 故答案为：. 11．已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，（1）若，则的面积为 ；（2）的最大值为 . 【答案】 / 5 【解析】空1：由已知得，， 所以， 从而， 在中，， 即①， 由椭圆的定义得， 即②， 由①②得， 所以. 空2：设，，且，而， 则，， 所以， 因为，则，当时，等号成立. 故答案为：；5. 1．加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】对于椭圆， 令，可得，令，可得， 由，可知点在“蒙日圆”上， 所以椭圆的“蒙日圆”的半径为， 所以“蒙日圆”方程为， 因为点在椭圆的“蒙日圆”上，又因为点在直线上， 所以直线和“蒙日圆”有公共点. 即圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，则， 所以椭圆离心率，所以，即椭圆离心率的取值范围是. 故答案为：. 2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 【答案】 【解析】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得：， 在椭圆中，， 又，，， 则，即， 在双曲线中，， 又，，， 则，即， 从而，得，0 则，，即， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 3．设是椭圆的两个焦点，为上一点.若为坐标原点，，且的面积等于8，则 ，a的取值范围为 . 【答案】 【解析】取的中点，连接，则， 因为为的中点，所以，， 则，所以， 由，得， 即，所以， 即，； 因为为上一点，且， 则的最大值要大于等于， 且当取最大值时，点位于椭圆的上下顶点， 设椭圆的上顶点为， 当，所以， 则，所以， 所以，所以， 即. 故答案为：；. 4．（多选题）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 5．（多选题）伟大的古希腊哲学家阿基米德最早果用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍．这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率，是椭圆C的两个焦点．为椭圆C上的动点．则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的标准方程可以为 B．若，则 C．存在四个点，使得 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】设长半轴和短半轴以及半焦距分别为， 由题意可知：，解得， 故椭圆方程为或，故A正确， 根据椭圆定义可知，根据余弦定理可得，故，所以，故B错误， 当位于短轴顶点时，此时， 故为钝角，因此椭圆上存在四个点，使得，即，C正确， 由于， 故， 当且仅当，即等号成立，故D正确， 故选：ACD 6．（多选题）已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点，使得 D．的周长最大值是 【答案】AD 【解析】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B错误； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：AD 7．（多选题）已知椭圆 为椭圆上任意一点， 分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（     ） A．过点 的直线与椭圆交于 两点，则 的周长为 8 B．存在点 使得 的长度为 4 C．椭圆上存在 4 个不同的点 ，使得 D． 内切圆半径的最大值为 【答案】ACD 【解析】对A，椭圆，则过点的直线与椭圆交于，两点， 则的周长为，故A正确； 对B，根据椭圆性质可得，即，故， 即不存在点，使得的长度为4，故B错误； 对C，根据可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点， 易得该圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，故C正确； 对D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上下顶点， ，则，解得，故D正确. 故选：ACD 8．（多选题）已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．若，则外接圆的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1， 所以，解得：，所以，则椭圆， 椭圆的离心率，故A正确； B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，所以不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， 若，又， 所以，即， 在中，由余弦定理可得 ， 因为，所以， 设外接圆的半径为 根据正弦定理可知，，则， 即外接圆的面积为，故C正确； D选项，设，则 ， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 9．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过倾斜角为的直线交椭圆于、两点，的周长为，则下列说法正确的是 （     ） A． B．当时， C．的最大值为 D．面积最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A选项，的周长为，则，故A项正确； 对于BCD选项，若直线与轴重合时，， 当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 所以， ， 当且仅当时，即当轴时，等号成立， 故，所以，，故C项错误； 当时，，此时，，故B项正确； 由题意可知，直线不与轴重合，由上可知， 点到直线的距离为， 所以，， 令，则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 故面积的最大值为，故D项正确. 故选：ABD. 10． “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为椭圆，所以，，即， 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则， 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【解析】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，因此，而，所以. 故选：A 5．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 6．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 7．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【解析】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 椭圆之韵：性质剖析与深入探索 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一：椭圆的定义与标准方程 题型二：椭圆方程的充要条件 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型四：椭圆上两点距离的最值问题 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 题型六：离心率的值及取值范围 题型七：椭圆的简单几何性质问题 题型八：利用第一定义求解轨迹 题型九：椭圆的实际应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 2、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． 3、椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 椭圆的定义与标准方程 1．已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦点为.过点的直线与椭圆交于A，B两点.若的周长为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 椭圆方程的充要条件 1．当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若方程表示椭圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 1．已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 2．椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（    ） A．16 B．18 C． D．20 3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（    ） A．7 B．3 C． D．9 5．点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 椭圆上两点距离的最值问题 1．已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 2．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是 . 3．已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为 . 4．点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ． 5．已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为 ． 椭圆上两线段的和差最值问题 1．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 2．已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是 . 3．点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 4．设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为 5．已知，是椭圆的左、右焦点，点，点在上，则的取值范围为 ． 离心率的值及取值范围 1．已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ． 2．已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则 . 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值为，则椭圆的离心率是 . 4．如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为 . 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为 ．    椭圆的简单几何性质问题 1．（多选题）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（   ） A． B．椭圆的离心率为 C．是椭圆的一个焦点 D． 2．（多选题）已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（    ） A．椭圆的焦距为 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 3．（多选题）椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为4 C．椭圆上不存在点，使得 D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点的最大距离为3 4．（多选题）已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 5．（多选题）已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．短轴长为 C．离心率为 D．三角形周长为16 利用第一定义求解轨迹 1．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 5．一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 椭圆的实际应用 1．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 3．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 4．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 5．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．过椭圆的右焦点作轴的垂线，交椭圆于两点，直线过椭圆的左焦点和上顶点．若以为直径的圆与相切，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 7．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．直线与直线斜率乘积为定值 B．存在点，使得 C．有最小值 D．的范围为 10．蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为30°时，则水面椭圆的离心率为 . 11．已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，（1）若，则的面积为 ；（2）的最大值为 . 1．加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 3．设是椭圆的两个焦点，为上一点.若为坐标原点，，且的面积等于8，则 ，a的取值范围为 . 4．（多选题）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 5．（多选题）伟大的古希腊哲学家阿基米德最早果用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍．这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率，是椭圆C的两个焦点．为椭圆C上的动点．则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的标准方程可以为 B．若，则 C．存在四个点，使得 D．的最小值为 6．（多选题）已知椭圆的左右两个焦点分别为，左右两个顶点分别为，点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点，使得 D．的周长最大值是 7．（多选题）已知椭圆 为椭圆上任意一点， 分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（     ） A．过点 的直线与椭圆交于 两点，则 的周长为 8 B．存在点 使得 的长度为 4 C．椭圆上存在 4 个不同的点 ，使得 D． 内切圆半径的最大值为 8．（多选题）已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．若，则外接圆的面积为 D．的最小值为 9．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过倾斜角为的直线交椭圆于、两点，的周长为，则下列说法正确的是 （     ） A． B．当时， C．的最大值为 D．面积最大值为 10． “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为 . 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$