精品解析：天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年高二上学期第二次限时训练数学试卷

南开中学滨海生态城学校2025-2026（上）学年 高二年级第二次限时训练数学试卷 一､单选题（每题5分，共60分） 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 2. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得存在实数使得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，即， 所以，解得， 即． 故选：A. 4. 如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】几何体为平行六面体，各个面均为平行四边形， 为，中点， . 故选：A. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距和两圆半径的数量关系，得到两圆相交. 【详解】的圆心为，半径为2， 的圆心为，半径为3， 由于，， 故两圆相交. 故选：B 6. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论． 【详解】由题意可知，焦距等于2 故选：B． 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题先求出椭圆中的长半轴长与半焦距，然后在再分别由勾股定理，椭圆和双曲线的定义求解双曲线的实半轴长，即可求出双曲线方程． 【详解】椭圆中，，双曲线的实半轴长， 在三角形中， ， 所以 ， 所以， 即， 所以，由题焦点在轴上， 故双曲线方程为， 故选：D． 8. 在等差数列中，，其前n项和为.若，则等于（ ） A. 2021 B. C. D. 4048 【答案】D 【解析】 【分析】设数列为等差数列的公差为，结合等差数列前n项和基本量计算可得，进而求解即可. 【详解】设数列为等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以. 故选：D. 9. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义得各边长，利用三角形相似得点坐标，再根据点在椭圆上可得离心率. 【详解】如图所示： 因为为等腰三角形，且，又， 所以，则， 过点作轴，垂足为，则， 由，，得， 因为点在椭圆上，所以，则，即离心率. 故选：B. 10. 已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项性质以及等比数列前n项和公式代入计算可得结果. 【详解】设数列的公比为， 由，，成等差数列可得，即， 因为，所以，解得或（舍）； 所以. 故选：A 11. 我国古代著作《庄子氏·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 其含义是:一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为，数列 的前 项和为，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意可知：，故， 若，则， 由于故使得不等式 成立的正整数 的最小值为5， 故选：B 12. 已知数列的前项和为，直线与圆交于两点，且．若存在，使得有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出弦长得，利用求得，然后不等式变形为，用分离参数法变形为（这里），然后求出数列的最大项即可得． 【详解】由题意圆圆心为原点，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以， ，， 时，， 所以，， 所以是等比数列，公比为3，所以， 不等式有解，即，， 设，当时，， ，，， ， ，时，，即，即数列从第5项开始递减， 所以的最大值是， 所以， 故选：B． 【点睛】方法点睛：关于数列的不等式有解问题，，用分离参数法变形为（这里），然后求出数列的最大项即可得参数范围，而求数列最大值的方法是作差法（也可用作商法），确定数列的单调性，从而得最大项． 二､填空题（每题5分，共40分） 13. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，即实数k的取值范围为. 故答案为： 14. 已知圆和圆外切，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆外切列方程，化简求得. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为. 圆心距为， 由于两个圆外切，所以. 故答案为： 15. 已知空间向量，则 在 上的投影向量的坐标是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】 在 上的投影向量为， 故答案为： 16. 已知数列的前n项和，则________. 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论即可. 【详解】当时，， 当时，， 不满足上式.故. 故答案为：. 17. 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式以及下标和性质可得. 【详解】由等差数列，的前n项和分别为，，且， 所以. 故答案为： 18. 已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则_____；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：先根据抛物线焦点坐标求出点的坐标，进而求出直线斜率；空2：根据反射法将距离之和进行转化，最后根据最小值求出的值. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为. 因为过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程，可得，因为点在第一象限，所以，即. 已知直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，因为，两边同时除以得； 当时，已知，焦点，准线为. 设焦点关于准线的对称点，则. 因为，故其最小值为， 又. 所以，可得. 故答案为： ；. 19. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【详解】∵成等比数列，a1=1， ∴=， ∴（1+2d）2=1+12d，d≠0， 解得d=2． ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． Sn=n+×2=n2． ∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4， 当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 20. 已知抛物线上一点到其准线和焦点的距离之和为，则_____；过点的直线与交于、两点，以为直径的圆与直线有交点，则面积的最小值为_____. 【答案】 ①. 2 ②. 4 【解析】 【分析】第一空：依据抛物线定义，点到准线距离与到焦点距离相等.已知抛物线方程能得准线方程，结合点到准线距离表达式求出. 第二空：设直线横截式与抛物线方程联立，用韦达定理得和，算出弦长，进而得圆半径、圆心，写出圆方程.发现直线与圆相切，求出切点到直线距离，得出三角形面积表达式，求最小值. 二级结论法：利用直线倾斜角与弦长关系得，因圆与准线相切得半径，算出三角形面积表达式求最小值. 【详解】第一空：根据抛物线定义：到一个点和一条直线的距离相等的动点组成的图形， 给出抛物线方程，可知准线方程为， 故到的距离为，所以，求出； 第二空：已知方程：，设横截式，与交于，， 将两个方程联立，得到：，， 由韦达定理，， 故，所以为直径的圆半径， 设中点为，，故， 写出圆的标准方程：， 令，可以得到有唯一解，，说明直线与圆相切于点， 所以到的距离， 故三角形，， 当时，有最小值1，此时最小，. 【二级结论速解】设直线的倾斜角为，则， 又因为直线过焦点，所以以为直径的圆与准线相切，则， 所以， 当时，有最小值，最小值为4. 故答案为：2；4. 三､解答题（共50分） 21. 已知在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）当n为何值时前n项和取得最大，并求出此最大值. 【答案】（1） （2） （3），最大值为36. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和； （3）应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则，故， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以 【小问3详解】 因为，故时取得最大，最大值为36. 22. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，点是的中点，作交于点 （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； 【答案】（1）以为坐标原点，、、 分别为 、、 轴建立空间直角坐标系。 由题意得：，，，，，  为  中点，故 ， ，，  因为， 所以 ， 又 ，且 平面 ， 故  平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）建系，利用空间向量证明，再利用线面垂直判定定理证明即可； （2）利用面面角的坐标计算公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 ，， 设平面  的法向量 ， 则 ，取 ，得 ，故 。 又 ，。 设平面  的法向量 ， 则 ， 取 ，得 ，，故 ， 设平面  与平面  的夹角为 ， 则 ， 故所求余弦值为 . 23. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求，的通项公式； （2）已知数列满足求数列的前2n项和. 【答案】（1） 依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则， 因为，即，所以， 所以，所以，即． 所以，所以， 又因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意求得和，得到，得到，再由，得到为等比数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合分组求和，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，可得， 所以 ． 24. 已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，求的最大值； （Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程； （Ⅱ）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值； （Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率. 【详解】（Ⅰ）由题意得，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 由消去可得， 则，即， 设，，则，， 则， 易得当时，，故的最大值为； （Ⅲ）设，，，， 则 ①， ②， 又，所以可设，直线的方程为， 由消去可得， 则，即， 又，代入①式可得，所以， 所以，同理可得． 故，， 因为三点共线，所以， 将点的坐标代入化简可得，即． 【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学滨海生态城学校2025-2026（上）学年 高二年级第二次限时训练数学试卷 一､单选题（每题5分，共60分） 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 如图，在平行六面体中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 6. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（   ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，，其前n项和为.若，则等于（ ） A. 2021 B. C. D. 4048 9. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 11. 我国古代著作《庄子氏·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 其含义是:一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为，数列 的前 项和为，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 12. 已知数列的前项和为，直线与圆交于两点，且．若存在，使得有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每题5分，共40分） 13. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 14. 已知圆和圆外切，则_____ 15. 已知空间向量，则 在 上的投影向量的坐标是_____ 16. 已知数列的前n项和，则________. 17. 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则________. 18. 已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则_____；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则_____. 19. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________． 20. 已知抛物线上一点到其准线和焦点的距离之和为，则_____；过点的直线与交于、两点，以为直径的圆与直线有交点，则面积的最小值为_____. 三､解答题（共50分） 21. 已知在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）当n为何值时前n项和取得最大，并求出此最大值. 22. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，点是的中点，作交于点 （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； 23. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求，的通项公式； （2）已知数列满足求数列的前2n项和. 24. 已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，求的最大值； （Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $