4.4一次函数的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

4.4一次函数的应用 同步练习 一、单选题 1．购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知一次函数的图象为直线，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 6．甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 7．在一条笔直的公路上两地相距，甲车从地开往地，乙从地开往地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度比乙的速度慢 B．甲车出发1小时后乙才出发 C．乙车行驶了或时，甲、乙两车相距 D．乙车到达地时，甲车还有1小时到达地 8．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，连接．点C是直线的图象在第三象限上的一点．若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．已知一次函数是常数且中，x与y的部分对应值如表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是(   ) A． B． C． D． 10．如图，直线经过点，，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 12．已知蜡烛点燃后剩余的蜡烛长度（单位：cm）与燃烧时间（单位：min）之间的关系式为，则15的实际意义是 ． 13．一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值等于 ． 14．如图，一次函数的图象经过点，则关于的方程的解是 ． 15．点 P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 P 向 x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为 4，则点 P 叫做“垂距点”，例如：如图中的 是“垂距点”．若为“垂距点”，m的值是 ；若过点 的一次函数 的图象上存在“垂距点”，则 k 的取值范围是 ． 三、解答题 16．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 17．已知一次函数； (1)画出函数的图像； (2)利用图像解方程． 18．陕西周至被誉为“中国猕猴桃之乡”，某超市以每千克6元的价格购进若干千克猕猴桃．销售了部分后，将余下的猕猴桃每千克降价2元进行促销，全部售完，销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题： (1)求降价后与的函数表达式； (2)若该超市全部销售完猕猴桃共盈利600元，请问该超市本次购进猕猴桃总量为多少千克． 19．如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加，到达坡底时，小球速度达到． (1)写出小球速度与时间之间的关系式，并判断：v是否为t的一次函数？是否为正比例函数？ (2)求时，小球的速度； (3)求小球滚到坡底的时间． 20．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求M的坐标______，并求出直线的函数解析式； (2)若点C是直线上一点，，求点C的坐标； (3)点P为x轴上一点，当时，请求出满足条件的点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.4一次函数的应用 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B B C C B B D 1．A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据总价单价数量的基本关系，直接建立函数关系式． 【详解】解：由题意，单价为5元/本，购买x本的总价y（元）应为单价乘以数量，即． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到答案． 根据函数图象可得与轴交于点，于是得到结论． 【详解】解：由图象知一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的方程的解． 故选：B． 5．B 【分析】此题考查了一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，能够通过图象得到该公司盈利时的取值范围是本题的关键． 根据图象找出在的上方即收入大于成本时，x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象分析可得：两条直线交点为，也就是销售收入与销售成本相等， 所以公司盈利需要大于4万件． 故选B． 6．C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式是解题的关键． 先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关系式并确定时间范围． 【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为秒，得乙跑步所用时间为秒，则甲跑的路程为米，乙跑的路程为米． 由题意可得． 当乙追上甲时，，即， 解得； 当乙刚要出发时， ，所以的取值范围是． 所以甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（）， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：甲车的速度为，乙车的速度为， ∴甲车的速度比乙的速度慢，故A正确； ∴， ∴，即甲车出发1小时后乙才出发；故B正确； 设甲车所作直线的函数解析式为，把点代入可得：， 解得：， ∴甲车所作直线的函数解析式为， 同理可得乙车所作直线的函数解析式为， ∴， 解得：或， ∴甲车行驶了或时，甲、乙两车相距；故C错误； 乙车到达地，甲行驶了小时，其路程为，则还需到达地；故D正确； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，正比例函数的性质．先计算的面积，再根据的面积是面积的两倍，设设点C坐标为，其中，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∵点C在直线上，且在第三象限， 故设点C坐标为，其中， 根据面积公式：， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故点C坐标为． 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当时，， 因而方程的解是． 故选：B． 10．D 【解析】看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：∵直线y=kx+b交x轴于A（-2，0）， 结合函数图形可知不等式kx+b＞0解集对应直线在x轴上方部分图象上点的横坐标的集合； ∴不等式kx+b＞0的解集是x＞-2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值大于0的解集是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键． 11． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 12．蜡烛燃烧前的长度 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的定义，常数项表示当自变量为零时的函数值，即燃烧时间为0时的蜡烛长度． 【详解】解：在关系式中，令，得， 这表示蜡烛在点燃前（燃烧时间为0时）的长度为，因此15的实际意义是蜡烛的初始长度． 故答案为：蜡烛燃烧前的长度． 13． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，根据函数图象经过的象限可知一次函数与x轴的交点在x轴的负半轴，再根据直线与坐标轴围成的三角形面积建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象与x轴的交点在x轴的负半轴上， ∴， ∵一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积等于， ∴， ∴（已检验是原方程的解）， 故答案为：． 14． 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握两者之间的联系是解题关键． 观察图象得知的图象经过点，即可求解． 【详解】解：观察函数的图象知： 的图象经过点， 即当时，， 所以关于的方程的解为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题， （1）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出m的值即可； （2）如图，取．连接，“垂距点”所构成的图形解析式为，去掉绝对值符号后应该分为四段，图象即为如图所示的正方形（不包括顶点），说明点的一次函数图象与正方形有交点，据此求出结论即可． 【详解】解：由题意得：， ①当时，则， 解得， ②当时，则， 解得， 故m的值为； 如图，取．连接， 依题意，得：“垂距点”所构成的图形解析式为，去掉绝对值符号后应该分为四段，图象即为如图所示的正方形（不包括顶点）， ∵过点的一次函数图象存在“垂距点”， 则说明点的一次函数图象与正方形有交点， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴过点 的一次函数表达式为， ∴当直线经过时，则， 解得：， 当直线经过时，则， 解得：， 观察图象可知满足条件的k的取值范围为． 故答案为：；． 16．(1)；； (2)选方案二更优惠，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与方程． （1）过图象上两个点的坐标画出直线即可； （2）根据一次函数与x轴的交点作答即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， ∴一次函数的图像过点、，画出图像如下： （2）解：根据函数图象可知，当时，， 即方程的解为． 18．(1)降价后与的函数表达式为 (2)该超市本次购进猕猴桃总量为260千克 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设降价后与的函数表达式为，然后把点代入，解方程组即可得到结论； （2）根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵降价前猕猴桃售价每千克（元），降价2元后猕猴桃售价每千克8元． 降价后销售的猕猴桃为（千克）， 设降价后与的函数表达式为，将代入，得： ，解得：， ∴降价后与的函数表达式为； （2）解：根据题意得，， 解得， 答：该超市全部销售完猕猴桃共盈利600元，该超市本次购进猕猴桃总量为260千克． 19．(1)v与t之间的关系式为，v是t的一次函数，也是正比例函数； (2)当滚动时间为时，小球的速度为； (3)小球滚到坡底的时间为． 【分析】本题考查一次函数的应用．判断出小球速度与时间之间的关系式是解决本题的关键．用到的知识点为：形如的函数，叫做一次函数；形如的函数，叫做正比例函数． （1）中得到的函数解析式，计算即可； （3）把代入 （1）中得到的函数解析式，计算即可． 【详解】（1）解：与t之间的关系式为， v是t的一次函数，也是正比例函数； （2）解：当时，， 答：当滚动时间为时，小球的速度为； （3）解：当时，，所以， 答：小球滚到坡底的时间为 20．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出A、B的坐标，中点公式得到点M的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则，分割法得到，结合，进行求解即可； （3）分点P在点A左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ，， 点M为线段的中点， ， 设直线的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为， 故答案为： （2）解：过点C作轴于点N，交直线于点D，设，则， ， ， ， ， 或， 点C的坐标或； （3）解：分两种情况： 当点P在点A右侧时：将直线沿着y轴向上平移6个单位，得到直线，如图： 此时， ， 当时，， ； 当点P在点A左侧时，作的中垂线，交于点E，连接交x轴于点P，则：， ， 设， 则， ， 解得， ， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ， 当时，， ， 综上，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $