精品解析：重庆市渝西中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

重庆市渝西中学高2027级高二（上）学期12月考试数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知项找规律可得选项. 【详解】解：根据题意，数列，，，，， 有，，，， 依次类推：. 故选：D. 2. 抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出抛物线准线方程，再利用抛物线的定义转化求解M到准线的距离，即求得点到轴的距离． 【详解】抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10， 由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9. 故选:B． 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得； 【详解】解：因为， 所以 故选：D 5. 在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值. 【详解】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上， 所以，， 由正弦定理边角关系知：. 故选：A 6. 已知函数，数列满足，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 4044 D. 4046 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】∵， ∴． ∵， ∴．令， 则，两式相加得， ∴． 故选:A 7. 已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线的距离. 【详解】根据题意，设，因为，且， 所以，代入到抛物线中，得， 所以，将代入到双曲线中，得，即， 设双曲线的焦点，渐近线为，即， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为， 故选：D. 8. 已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由整理得到，设，则， ，由求出，利用累加法得到，由对于任意的，，不等式恒成立，得到对于任意的，，不等式恒成立，即对于任意的恒成立，设，则对于任意的恒成立，则，计算此不等式组即为所求. 【详解】，， ，， ，， ， 设，则， ，，， ，， 对于任意的，，不等式恒成立， 对于任意的，，不等式恒成立， 对于任意的恒成立， 设，则对于任意的恒成立， 则，即，解得或. 故实数的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B. 已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为 C. 已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7 D. 已知函数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均变化率的概念，即可判断A是否正确；根据导数的概念，以及导数在物理和几何中的意义，即可判断BCD是否正确. 【详解】由题意可知，，故A错误； 根据平均变化率的概念可知若函数从到平均变化率即为割线的斜率，即的斜率，所以割线的倾斜角为，故B正确. 因为，根据速度与加速的关系可知时瞬时加速度为，故C错误； 函数在点处的导数，由极限的意义可知，当充分小时，，即，从而， 又， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A. 为等比数列 B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点 【答案】BD 【解析】 【分析】若为等比数列，可得，则求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D. 【详解】解：， ，， 对于A：为等比数列， 则 ， ，不满足条件，故错误； 对于B：, , 即解得或（舍去）满足条件. 故B正确； 对于C： 轴，且， 即解得， 不满足题意，故C错误； 对于D：四边形的内切圆过焦点， 即四边形的内切圆的半径为， 解得（舍去）或 ，故D正确. 故选：BD 11. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 第三次得到的数列共9项 B. C. 数列是等比数列 D. 对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】由数列的新定义可判断AB；根据递推关系构造数列，根据等比数列的定义判断C；根据等比数列的通项公式求出，再根据函数的单调性化简即可判断D. 【详解】第三次得到的数列，在第二次得到的数列的基础上增加4项，共9项，所以A正确； 由已知，，所以， 当时，设第次构造后得到的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为， 则，所以B不正确； 因，则，所以， 因，则， 所以，数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以C正确； 因为数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 函数在定义域上单调递增，所以对每一个正整数有， 假设以为边长能构成一个三角形，所以， 从而，即， 即，显然不成立，所以D不正确. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）． 12. 倾斜角为90°且与点距离为2的直线方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】结合倾斜角以及直线的位置关系求出满足条件的直线方程即可． 【详解】所求直线的倾斜角是， 所求直线和直线平行， 与直线距离为2的直线方程为：或， 故答案为：或． 13. 已知正项等比数列的前n项和为，且，若，则__________． 【答案】31 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】由，且得：， 令，则， 解得或（舍），所以， 而数列为正项等比数列，所以，所以， 所以 故答案为：31 14. 设点是曲线上任意一点，其坐标均满足，则取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用几何法将题目转化为几何问题，曲线 在图形上表示菱形，而原式化为表示动点到两定点距离和问题，利用图中不等关系即可求解. 【详解】曲线 ， 当 时，化为 ； 当 时，化为 ； 当时，化为 当 时， 化为 ． 画出图象：表示菱形 设,由， 即． 设 故的轨迹为以为焦点的椭圆， 其四个顶点为 令，有，此时，则，则图中，, 同理令，则有，此时，则，则图中，， 当点位于菱形上下顶点时，（如取图中的上顶点） 根据对称性, ，即， 当点位于菱形左右顶点时，此时 ， 解得 取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 15. 已知直线l经过点． （1）若点在直线l上，求直线l的方程； （2）若直线l与直线垂直，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点坐标可求直线的斜率，进而根据点斜式求方程.（2）根据两直线垂直斜率之间的关系，可求的斜率，然后根据点斜式求方程即可. 【小问1详解】 直线l经过点和点，直线l的斜率k＝3， 直线l的方程为（或）； 【小问2详解】 因为直线l与直线垂直，设直线l方程为， 因为直线l过点，所以，解得． 所以直线l的方程为 16. 如图，在多面体中，矩形，矩形所在的平面均垂直于正方形所在的平面，且. （1）求多面体的体积； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）利用补形法和体积差减去三棱锥的体积即可； （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，，求出，并结合立体图形判定二面角为锐角，从而进一步求出二面角余弦值即可. 【小问1详解】 平面，同理均与平面垂直，故可将多面体补成如图所示的长方体，此长方体体积为，三棱锥的体积为，故此多面体的体积为10； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则， ，设平面的法向量为， 则，令得， 又为正方形，，故平面， 为平面的一个法向量， ， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17. 已知等差数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）（i）利用错位相减法求和即可；（ii）根据的单调性，再分为奇数和偶数两种情况进行讨论即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则，解得， ； 【小问2详解】 （i）由（1）知， ， ， ， ； （ii）由（i）得， 设，则， ，数列是递增数列， 当n为偶数时，恒成立，， 当为奇数时，恒成立，，， 实数的取值范围为. 18. 已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线与E相切． （1）求E的方程； （2）设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A，B，直线AB的斜率存在，且直线PA，PB与y轴分别交于C，D两点． ①证明：． ②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②定值为1，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，与直线联立，利用即可求出； （2）①设出与抛物线相切的直线方程，与抛物线联立，利用得出斜率关系即可证明； ②通过斜率关系可得出，即可说明，得出定值. 【详解】（1）由题设抛物线方程为， 联立方程组可得， 直线与抛物线相切，，解得， 抛物线方程为； （2）①设， 设过点且与抛物线相切的直线斜率为，则直线方程为， 联立方程可得， 则，即， 由题意可知直线和的斜率是方程的两根， 所以，所以； ②设，不妨设， 设直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为且斜率为， 则， 由①可知，则， ， ， 所以， 则，则， 又，则， 所以，则为定值. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 将平面直角坐标系中的一列点记为.设，其中为与轴方向相同的单位向量，若对任意的正整数，都有，则称为点列. （1）判断是否为点列，并说明理由； （2）若为点列，且.任取其中连续三点，证明为钝角三角形； （3）若为点列，对于正整数，比较与大小，并说明理由. 【答案】（1）为点列，理由见解析 （2）证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用点列的定义进行判断即可； （2）利用为点列，得到对中连续三点、、，都有，分析得出，即可证明； （3）利用为点列，得，，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得，再由，，即可判断得到答案. 【小问1详解】 为点列，理由如下： 由题意可知，，，所以， ，即，， 所以、、、、、点列； 【小问2详解】 由题意可知，，，所以， 因为为点列，所以，， 又因为，所以 所以对中连续三点、、，都有， 因为，， 因为，故与不共线，即、、不共线， 因为， 所以，则为钝角， 所以为钝角三角形； 【小问3详解】 由， 因为点列，由（2）知，， 所以，，， ， 两边分别相加可得， 所以， 所以，所以， 又，， 所以，， 所以 【点睛】方法点睛：判断的内角为钝角的方法如下： （1）余弦定理：计算得出； （2）向量法：计算得出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝西中学高2027级高二（上）学期12月考试数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线上一点与焦点间距离是10，则点到轴的距离是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ） A B. 2 C. D. 4 6. 已知函数，数列满足，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 4044 D. 4046 7. 已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B. 已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为 C. 已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7 D. 已知函数，则 10. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A. 为等比数列 B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点 11. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 第三次得到的数列共9项 B. C. 数列是等比数列 D. 对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）． 12. 倾斜角为90°且与点距离为2的直线方程为______． 13. 已知正项等比数列的前n项和为，且，若，则__________． 14. 设点曲线上任意一点，其坐标均满足，则取值范围为__________． 四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 15. 已知直线l经过点． （1）若点在直线l上，求直线l的方程； （2）若直线l与直线垂直，求直线l的方程． 16. 如图，在多面体中，矩形，矩形所在的平面均垂直于正方形所在的平面，且. （1）求多面体的体积； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 已知等差数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数取值范围. 18. 已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线与E相切． （1）求E的方程； （2）设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A，B，直线AB的斜率存在，且直线PA，PB与y轴分别交于C，D两点． ①证明：． ②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 将平面直角坐标系中的一列点记为.设，其中为与轴方向相同的单位向量，若对任意的正整数，都有，则称为点列. （1）判断是否为点列，并说明理由； （2）若为点列，且.任取其中连续三点，证明为钝角三角形； （3）若为点列，对于正整数，比较与大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $