第04讲：等比数列的概念【七大考点+七大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

本讲义聚焦等比数列的概念这一核心知识点，系统梳理定义、递推公式、等比中项、通项公式及推广、常用性质等内容，前承等差数列知识，后启数列求和与综合应用，构建从概念理解到性质运用再到问题解决的完整学习支架。 该资料以题型分层设计为特色，涵盖基本运算、等比中项、下标性质等七类题型及变式训练，注重培养数学思维与数学眼光。例如通过递推关系证明等比数列提升推理能力，结合指数函数分析单调性渗透抽象意识，课中助力教师系统授课，课后学生可借助达标题分层巩固，有效查漏补缺。

第04讲：等比数列的概念 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点二：等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 知识点三：等比数列的通项公式：若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 知识点四：等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1 ①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 知识点五：等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【题型归纳】 题型一：等比数列中的基本运算 【例1】．（24-25高二上·全国）（1）已知为等比数列，且，，该数列的各项都为正数，求； （2）若等比数列的首项，末项，公比，求项数n； （3）若等比数列中，，求公比q. 【变式1】．（24-25高二上·山东临沂·月考）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，，求； (2)若，，，求； 【变式2】．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 题型二：等比中项的应用 【例2】．（25-26高二上·天津·月考）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则（    ） A．64 B．60 C．56 D．48 【变式1】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【变式2】．（2025·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 题型三：等比数列下标的性质及其应用 【例3】．（25-26高二上·宁夏·月考）在等比数列中，，是方程的两根，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】．（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式2】．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（   ） A．8 B．9 C．16 D．18 题型四：等比数列子数列的性质 【例4】．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比为，则（    ） A．20 B．24 C．28 D．32 【变式1】．（2023·四川巴中·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式2】．（21-22高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值） 【例5】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（2023·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】．（22-23高三上·贵州黔西·月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 题型六：由递推关系证明等比数列 【例6】．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，． (1)求实数，使得为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【变式1】．（24-25高二下·山东济宁·月考）已知数列的前n项和， (1)求证：是等比数列，并求出其通项公式； (2)设，求证：数列是等比数列. 【变式2】．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 题型七：等比数列综合问题 【例7】．（25-26高二上·云南·月考）记为数列的前项和. (1)已知为等差数列，证明：数列是等差数列； (2)已知在公差为1的等差数列中，成等比数列，求的最小值. 【变式1】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为等比数列，公比为2，且为等差数列. (1)求与的通项公式： (2)记，且，求的取值集合. 【变式2】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 2．（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，，则数列的公比为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 5．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若 则 的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 10．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．数列是等差数列 11．（24-25高二下·云南昭通·期中）数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D． 12．（24-25高二下·重庆·月考）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（   ） A．当时， B． C．当时，为等差数列 D． 13．（24-25高二下·山东日照·期中）已知数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．若的公差，则为递增数列 C．若，则 D．若，则 三、填空题 14．（25-26高三上·湖南·月考）在正项等比数列中，若，，则 . 15．（25-26高二上·北京·月考）在等比数列中，，，则 . 16．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ． 17．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是 . 四、解答题 18．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列满足，．设． (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式． 19．（2025高三·全国·专题练习）在等差数列中，公差是和的等比中项，已知成等比数列，求数列的通项． 20．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，．当时，．求证：为等比数列； 21．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求数列的第，，项； (2)若，求的第，，项，并猜想的通项公式． 22．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的首项，，． (1)若，求的通项公式； (2)若对一切都成立，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲：等比数列的概念 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点二：等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 知识点三：等比数列的通项公式：若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 知识点四：等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1 ①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 知识点五：等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【题型归纳】 题型一：等比数列中的基本运算 【例1】．（24-25高二上·全国）（1）已知为等比数列，且，，该数列的各项都为正数，求； （2）若等比数列的首项，末项，公比，求项数n； （3）若等比数列中，，求公比q. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意知. 由已知得，解得. ∵，∴，∴. （2）由，得，即，解得. （3）∵，，又， ∴对任意的正整数都成立， ∴. 【变式1】．（24-25高二上·山东临沂·月考）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，，求； (2)若，，，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的前三项求出公比，再用等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列的通项公式列方程求出首项即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，，所以. （2）因为是等比数列，又，，， 所以，即，解得 【变式2】．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，则，解得， 当时，； 当时，．综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． 题型二：等比中项的应用 【例2】．（25-26高二上·天津·月考）已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则（    ） A．64 B．60 C．56 D．48 【答案】A 【分析】根据，，成等比数列以及列出关于的方程，解出，再根据计算答案即可 【详解】因为，，成等比数列，则 ， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 【变式1】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的性质、等差数列的单调性进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为数列是递增的等差数列， 所以， 因为是与的等比中项，所以，或舍去， ， 故选：B 【变式2】．（2025·湖南永州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差，若，且，，成等比数列，则（   ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】B 【分析】利用等差数列的求和公式可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【详解】由，即， 又，，成等比数列，则， 即，得， ，. , . 故选：. 题型三：等比数列下标的性质及其应用 【例3】．（25-26高二上·宁夏·月考）在等比数列中，，是方程的两根，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】利用韦达定理结合等比中项的性质可求解. 【详解】根据等比数列， 因为、是方程的两根，则， 由等比数列的性质可得. 故选：A 【变式1】．（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 【变式2】．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（   ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由等比数列的性质可得：，结合对数运算知识整理，代入计算得解． 【详解】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：， ，， 所以 故选：D. 题型四：等比数列子数列的性质 【例4】．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比为，则（    ） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列性质运算求解. 【详解】由题意可知， 所以. 故选：D. 【变式1】．（2023·四川巴中·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】已知条件作商可求得，然后根据等比数列性质可得. 【详解】因为，，所以，解得，则． 故选：B 【变式2】．（21-22高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【详解】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A 题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值） 【例5】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 【变式1】．（2023·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 【变式2】．（22-23高三上·贵州黔西·月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得，，从而有，，则等比数列为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一判断即可． 【详解】等比数列的公比为，若，则， 由，可得，则数列各项均为正值， 若，当时，由则恒成立，显然不适合，故，且，，故正确； 因为，所以，故正确； 根据，可知是数列中的最大项，故正确； 由等比数列的性质可得， 所以，故错误． 故选：． 题型六：由递推关系证明等比数列 【例6】．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，． (1)求实数，使得为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为．因为，所以． 又因为，所以， 可得解得所以. 因为，所以为等比数列，. 故当，使得为等比数列. （2）由（1）可知，，可得，所以. 故数列的通项公式为. 【变式1】．（24-25高二下·山东济宁·月考）已知数列的前n项和， (1)求证：是等比数列，并求出其通项公式； (2)设，求证：数列是等比数列. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式即可证明，再利用等比数列的通项公式即可求解； （2）利用等比数列的定义结合（1）的结论即可证明. 【详解】（1）， 当时，，所以， 当时，， 所以，即， 所以是以为首项，公比为2的等比数列， 所以. （2）， 所以， 所以是等比数列. 【变式2】．（2025·吉林延边·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）变形得，即可证明； （3）根据（2）的结论得，再移项即可. 【详解】（1），. （2）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即. 题型七：等比数列综合问题 【例7】．（25-26高二上·云南·月考）记为数列的前项和. (1)已知为等差数列，证明：数列是等差数列； (2)已知在公差为1的等差数列中，成等比数列，求的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则. 又所以， 所以，所以， 所以， 当时，也满足上式，所以. 所以，为常数，所以数列是等差数列. （2）因为等差数列的公差为1，所以. 又成等比数列，所以，即， 解得. 所以， 根据二次函数的性质可知，当或12时，取得最小值， 即的最小值为. 【变式1】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为等比数列，公比为2，且为等差数列. (1)求与的通项公式： (2)记，且，求的取值集合. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据即可求，根据条件计算等比数列的首项及公比即可得到； （2）根据是单调递增数列，通过列举可求解. 【详解】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以. 依题意，，， 解得，所以. （2）由（1）得, 令， ，∴单调递增. 所以为单调递增数列 由得 故满足的取值集合为. 【变式2】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据可直接得到结果； （2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得； （3）令，可推导得到，分别讨论和的情况，构造关于的表达式后结合双勾函数即可求得结果. 【详解】（1）等差数列是“”数列，， ，存在，. （2）正项数列是“”数列，， ，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， . （3）由“”数列定义知：，又，， 令，则，故，且，且， ，； 若，则恒成立，则， 若，则 ， 因为存在三个不同的数列为“”数列， 故有解，故有解且解不为1， 由双勾函数的单调性可得， ，即实数的取值范围为. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据已知及等比数列的通项公式列方程求基本量，进而求项. 【详解】设数列的公比为，则， 由题意得：，，且， 所以，，则， 整理得，解得，舍去）， 所以，则. 故选：B 2．（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系及等比中项的性质求. 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 3．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，，则数列的公比为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等差数列和等比数列通项公式列方程求解. 【详解】设的公差为的公比为， 则由题意得解得或3； 故选:D. 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的下标性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 所以，设等比数列的公比为， 由， 所以， 故选：C 5．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用等差数列及等比数列的项的性质结合已知得出，再结合特殊角的余弦计算求解. 【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，且 ， 则 ， 所以， 则 . 故选：A. 7．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 8．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 【答案】C 【分析】通过分析得等比数列为单调递减，且前项大于1，项以后小于1，再结合等比数列的性质可得. 【详解】由，所以和中一个大于1一个小于1. 若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以； 若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾； 所以，，等比数列是单调递减数列，且，. 所以当时，，当时，. 由等比数列性质，， 所以，. 当时，，单调递增且； 当时，，,单调递减且； 当时，，即，所以时，单调递减, 又. 所以，即时，单调递减且小于1. 所以最大的自然数为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨设等比数列为，当时，不存在， 所以不是等差数列，所以D选项错误. 故选：AC 10．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．数列是等差数列 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求出数列的公比，再逐项求解判断. 【详解】在等比数列中，由，，得数列的公比， 通项， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，数列不是等差数列，D错误. 故选：ABC 11．（24-25高二下·云南昭通·期中）数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D． 【答案】BD 【分析】利用等差等比数列通项，建立方程组可求解，即可作出判断. 【详解】设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，． 于是得，解方程组，得或， 所以这个数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，， 故选：BD． 12．（24-25高二下·重庆·月考）设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（   ） A．当时， B． C．当时，为等差数列 D． 【答案】BD 【分析】根据等比数列的前n项积为，结合已知等式可得的值，利用等比数列通项公式、等比数列的性质、等差数列的定义、基本不等式逐项判断即可得结论. 【详解】公比为q的等比数列的前n项积为， 由可得，则，故B正确； 当时，，所以，故或，故A不正确； ， 当时，，则不为常数，故不为等差数列，故C不正确； ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 13．（24-25高二下·山东日照·期中）已知数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．若的公差，则为递增数列 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据等比数列的性质即可求解A，根据等差数列的性质即可求解BCD. 【详解】对于A,由于数列为等比数列，当公比不为1时，则，故A错误， 对于B，，则，故，所以为递增数列，B正确， 对于C,可知公差为2，首项为1，所以，C正确， 对于D , 若，则,D正确， 故选：BCD 三、填空题 14．（25-26高三上·湖南·月考）在正项等比数列中，若，，则 . 【答案】1024/ 【分析】利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 15．（25-26高二上·北京·月考）在等比数列中，，，则 . 【答案】6 【分析】先应用等比数列下标和性质得出，进而得出，最后应用通项公式计算求值. 【详解】等比数列中，，则， 又因为，则， 设等比数列中公比为，则，所以， 则. 故答案为：6. 16．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 又，所以， 则. 故答案为：. 17．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是 . 【答案】 【分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案. 【详解】记这个数构成递增的等比数列为，则由，， 由，则， ，故. 故答案为：. 四、解答题 18．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列满足，．设． (1)求，，； (2)判断数列是否为等比数列，并说明理由； (3)求的通项公式． 【答案】(1)，，． (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用递推关系式，先求出，即可求解； （2）根据题设条件，利用等比数列的定义，即可求解； （3）利用（2）中结果及等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 将代入得，又，所以， 将代入得，又， 所以，，． （2）是首项为1，公比为2的等比数列，理由如下， 由题可得，即，又因为， 所以是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）知，所以． 19．（2025高三·全国·专题练习）在等差数列中，公差是和的等比中项，已知成等比数列，求数列的通项． 【答案】 【分析】计算等差数列的基本量，进而得，数列记为，则为等比数列，即可得，由等差数列通项公式即可求解. 【详解】依题意，即，解得，故． 新数列记为，则为等比数列， 所以公比， 所以， 又因为， 所以． 20．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，．当时，．求证：为等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】根据递推公式构造得，则由等比数列定义得证； 【详解】由题意，数列中，，， 当时，， 即， 即，． ∴是以为首项，以为公比的等比数列． 21．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求数列的第，，项； (2)若，求的第，，项，并猜想的通项公式． 【答案】(1)，，． (2)，，，． 【分析】（1）由递推关系求得； （2）根据求得，找规律猜想. 【详解】（1）由递推关系可得，，． （2），，， 由数列的前三项，，猜想其通项公式为． ，（常数）， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以. 22．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的首项，，． (1)若，求的通项公式； (2)若对一切都成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，进而得，所以是首项为、公比为的等比数列，，则得. 故的通项公式为. （2）由（1）可得，因为且，所以， 因为，所以，即， 所以，所以，解得. 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $