有理数的运算与数轴上的距离问题、以有理数的运算为背景的材料阅读类问题、进位制转换问题专项训练-2025-2026学年 人教版七年级数学上册

有理数的运算与数轴上的距离问题、以有理数的运算为背景的材料阅读类问题、进位制转换问题专项训练 有理数的运算与数轴上的距离问题、以有理数的运算为背景的材料阅读类问题、 进位制转换问题专项训练 考点目录 有理数的运算与数轴上的距离问题 以有理数的运算为背景的材料阅读类问题 进位制转换问题 考点一 有理数的运算与数轴上的距离问题 例1．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ 例2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． (1)平移运动 把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？下列选项中可以表示以上过程及结果的是（　　） A．                B． C．                D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位长度，紧接着第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度……，依此规律跳，当它跳第次时，落在数轴上的点表示的数是___________； (2)翻折变化 假如数轴可折叠，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合； 若数轴上两点之间的距离为（点在点的左侧，且折痕与折痕相同），且两点经折叠后重合，则点和点表示的数分别是多少？请回答并写出理由； 一条数轴上有点，其中点表示的分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点与点的距离为，则点表示的数___________． 例3．（25-26七年级上·重庆·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示3和的两点之间的距离是___________ ②数轴上表示x和的两点和之间的距离是_________ (2)探索规律： ①当有最小值是____________ ②当有最小值是___________ (3)规律应用 ①若，则的最小值是___________ ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台，一个配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 例4．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）数轴上点A对应的数是，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒钟． (1)求点C对应的数； (2)若小虫甲返回到A点后再作如下运动：第1次向右爬行2个单位，第2次向左爬行4个单位，第3次向右爬行6个单位，第4次向左爬行8个单位，…依次规律爬下去，求它第10次爬行所停在点所对应的数； (3)若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒6个单位的速度爬行，设甲小虫对应的点为E点，乙小虫对应的点为F点，设点A、E、F、B所对应的数分别是、、、，当运动时间t不超过1秒时，请你结合数轴利用数学结合思想直接写出的值． 变式1．（25-26七年级上·吉林松原·月考）如图已知在纸面上有一数轴． 操作： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示____的点重合． 操作： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5 的点与表示____的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为4024（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求点 A，B表示的数． 变式2．（25-26七年级上·北京·月考）在数轴上，把表示数t的点称为t基准点，记作点O，对于两个不同的点M和N，若点M、点N到点O的距离相等，则称点M与点N互为t基准变换点．例如：图1中，点M表示数，点N表示数3，它们与基准点O的距离都是2个单位长度，点M与点N互为1基准变换点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为1基准变换点． ①若，则______；若，则______； ②用含a的式子表示b，则______； (2)有两点P、Q，点P与点Q之间的距离为8个单位长度．对P、Q两点做如下操作：点P，将数轴沿原点对折后的落点为；点Q沿数轴向左移动2个单位长度得到；操作后得到的、互为t基准变换点，则______． 变式3．（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图1，在数轴上点，，从左到右依次排列，有理数，，所对应的点分别为点，，．已知是最大的负整数，是的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的数为，现以为折点，将数轴向右对折．（点在点的右侧，与点，的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后，，三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时的值． 变式4．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，，，为数轴上三点，回答下面问题： (1)点表示的数是__________，点到点的距离是__________个单位长度； (2)若点沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是__________； (3)规定：在一条数轴上，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记；若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记．例如：若点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为4，则；．根据规定解决下面问题． ①__________； ②若是数轴上一点，且，直接写出点所表示的数． 考点二 以有理数的运算为背景的材料阅读类问题 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）综合与实践： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈4次方”，写作，读作“的圈3次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①______， ②______． （3）算一算：． 例2．（25-26七年级上·山东济南·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 例3．（25-26七年级上·江苏常州·期中）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为6，则称为“平方减数”，并把分解成的过程，称为“平方减数分解”．例如：因为，24与22的十位数字相同，个位数字4与2的和为6，所以554是“平方减数”，554分解成的过程就是“平方减数分解”． (1)下列正整数中，“平方减数”的是______；（填写序号） ①600    ②604    ③606 (2)按照以上规定，最小的“平方减数”是______，把该“平方减数”进行“平方减数分解”为______； (3)把一个“平方减数”进行“平方减数分解”，即，若将放在的左边组成一个新的四位数，恰好能被9整除，且是一个正整数的平方，请直接写出满足条件的正整数． 例4．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)知识应用： ①点，，在数轴上分别表示有理数 ，，那么到的距离是 ，到的距是 ． ②点，，在数轴上分别表示有理数，，那么到B的距离与到的距离之和可表示为 ． (2)利用数轴探究 ①若数轴上表示数的点位于与之间，则的值= ． ②求满足的的值； ③设；有最大值或最小值吗？如果有，请说明理由． (3)拓展： 已知，如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为70．若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时点所表示的数． 变式1．（25-26七年级上·北京西城·期中）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替时） 根据上述材料解决下列问题： (1)__________，__________； (2)①在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，则8的相反数是__________；的相反数是__________（用含的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？__________（填“是”或“否”）： (3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，，，若，判断是否一定成立，若一定成立，说明理由：若不一定成立，请举出一个反例加以说明． (4)已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为个小时，则北京时间9日晚时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． _____________ 答：到达时间是巴黎__________日__________（填“上午”或“下午”）__________时． 变式2．（25-26七年级上·四川成都·月考）定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 变式3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”，一般地，把（）记作，读作“a的下n次方”．直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 除方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：________． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】计算：． 变式4．（25-26七年级上·北京·期中）探索与发现 *闰年是公历中的名词，能被整除但不能被整除，或能被整除的年份即为闰年． 以上表格是洋洋同学设计的查看某年某月某日是星期几的一个表格． 利用洋洋同学设计的这个表格．笑笑同学很快找到了年的月日是星期三； 明明同学也很快利用表格找到了年的月日是星期五；琪琪同学也利用此表格查出来，她的一个好朋友出生那天是星期三，她的好朋友是年月日出生的． 年月日是北师大二附中的岁生日， (1)利用洋洋设计的表格算一下，年月日是星期几？______ (2)你能预测一下师大二附中百年校庆那天是星期几吗？______ (3)请你利用表格预测一下，中华人民共和国成立周年是星期几？______ (4)年月日是星期几？______ 考点三 进位制转换问题 例1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）【探究学习】二进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：把十进制数89改写成二进制数． 方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来（如箭头方向），这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． 所以十进制数89转换成二进制数为，（注：二进制数通常在数的右下角标明基数2） 探究2：把二进制数改写成十进制数． 方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 【问题解玦】 （1）请直接写出十进制数87转换成二进制数为：________________； （2）请通过计算将二进制数，改写成十进制数； 【拓展应用】 （3）十进制加法逢十进一，二进制加法逢二进一． 请计算：（结果用二进制数表示）． 例2．（25-26七年级上·云南昆明·期中）综合与实践进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制、也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几、为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 例如，二进制数，转换为十进制数为： ． 五进制数转换为十进制数为： ． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如下： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)的基数为__________，逢__________进一； (2)二进制数对应的十进制数为__________，十进制数13对应的二进制数为__________； (3)我国古代设有十二地支，将地支与十二种动物相对应，成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环．这一规律可以用十二进制来解释．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，来记数，其中代表10，代表11．请同学们结合以上材料计算十进制数200对应的十二进制数为__________． 例3．（25-26七年级上·江苏南通·月考）【阅读材料】 材料一：N进制数与十进制数之间的转换将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数． 规定：如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将89转化为五进制数：因为，，，所以． 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，；，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如：，， ∴①，②， 如： ，， ∴③；④． 【问题解决】 (1)将八进制数转化成十进制数，结果为______； 将十进制数73转化成二进制数，结果为______； (2)列竖式计算：①； ②．（结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则：，，，． 根据以上乘法法则，仿照十进制的乘法竖式法则，计算：．（结果用二进制数表示） (4)“退位减法”是一种逐位相减的方法．仿照十进制和二进制，其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，则______． 变式1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）综合与实践二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号； ③若将第一行至第五行代表的5个二进制的数字相加，直接写出用二进制数与四进制数分别表示这5个数字的和． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 若二维码的简易编码所对应的数值m小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“Ⅰ”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“LUCKY”的的二维码． 变式3．（24-25七年级上·山西朔州·期中）阅读与理解 下面是一篇关于进位制的阅读内容，请你认真阅读并完成相应的任务． 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢七进一就是七进制，逢二进一就是二进制．也就是“逢几进一”就是几进制． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．用这10个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数是几就表示几个十；依次是百位、千位……例如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，即（规定当时，）． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 任务一： （1）把十进制数1234表示成各数位上的数字与基数10的幂的乘积之和的形式是______； （2）把七进制数1234表示成各数位上的数字与基数7的幂的乘积之和的形式是______； 任务二： 已知一个十进制的三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，把这个三位数中a与c的位置对调得到一个新的三位数． （3）用代数式表示：原三位数是______，新三位数是______； （4）试说明新三位数减去原三位数的差是99的倍数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $有理数的运算与数轴上的距离问题、以有理数的运算为背景的材料阅读类问题、进位制转换问题专项训练 有理数的运算与数轴上的距离问题、以有理数的运算为背景的材料阅读类问题、 进位制转换问题专项训练 考点目录 有理数的运算与数轴上的距离问题 以有理数的运算为背景的材料阅读类问题 进位制转换问题 考点一 有理数的运算与数轴上的距离问题 例1．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ 【答案】(1)①；②或 (2)③表示数和数的点的距离之和；④，； (3)⑤7；⑥2025 【详解】（1）解：①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有，共个整点， 故答案为：； ②若一根长为2025个单位长度的木棒起点在整点上，则覆盖个整点；若一根长为2025个单位长度的木棒起点不在整点上，则覆盖个整点， ∴这个木棒盖住的整点个数为或个， 故答案为：或； （2）解：③，则几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和； 故答案为：表示数和数的点的距离之和； ④，几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和， 当或时，则， 当时，则， ∴的最小值为； ，几何意义是数的点到表示数和数和表示数的点的距离之和， ∴同上由绝对值的几何意义可得，当时，其距离之和最小为， 故答案为：，； （3）解：∵小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合， ∴折痕点对应的数为， ⑤表示3的点到折痕点的距离为， ∴表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； ⑥由题意得，点到折痕点的距离为， ∵点A在点B的左侧， ∴点B所表示的数是． 例2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． (1)平移运动 把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？下列选项中可以表示以上过程及结果的是（　　） A．                B． C．                D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位长度，紧接着第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度……，依此规律跳，当它跳第次时，落在数轴上的点表示的数是___________； (2)翻折变化 假如数轴可折叠，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合； 若数轴上两点之间的距离为（点在点的左侧，且折痕与折痕相同），且两点经折叠后重合，则点和点表示的数分别是多少？请回答并写出理由； 一条数轴上有点，其中点表示的分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点与点的距离为，则点表示的数___________． 【答案】(1)①；② (2)①；②点表示的数为，点表示的数为；理由见解析；③或 【详解】（1）解：根据移动过程可得：， 故选：； 如果向左为“”, 向右为“”， ∴机器人跳动过程可以用算式表示为： ， ∴当机器人跳次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵表示的点与表示的点重合， ∴折痕处的点表示的数为， ∵， ∴表示2026的点与表示的点重合； 故答案为：； ②点表示的数为，点表示的数为． 理由：∵数轴上两点之间的距离为，点在点的左侧，折痕处的点表示的数为， ∴两点到折痕处的距离都是， ∴点表示数为，点表示的数为； 当点在的左侧时， ∵，点表示的数为， ∴表示的数为， ∵以点为折点， ∴点表示的数为：； 当点在的右侧时， ∵，点表示的数为， ∴表示的数为， ∵以点为折点时， ∴点表示的数为：； 综上所述：点表示的数或． 例3．（25-26七年级上·重庆·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示3和的两点之间的距离是___________ ②数轴上表示x和的两点和之间的距离是_________ (2)探索规律： ①当有最小值是____________ ②当有最小值是___________ (3)规律应用 ①若，则的最小值是___________ ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台，一个配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 【答案】(1)①4；② (2)①1；②2 (3)①；②当配件箱放在工作台E处时，工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为40米 【详解】（1）解：①数轴上表示3和的两点之间的距离是， 故答案为：4； ②数轴上表示x和的两点和之间的距离是， 故答案为：； （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； （3）解：①由①得时，有最小值，为， 同理可得时，有最小值，为， ∵， ∴与应都取最小值， ∵当取最小值，取最大值时，取最小值， ∴，， ∴的最小值为； ②由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． 例4．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）数轴上点A对应的数是，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再立即返回到A点，共用了4秒钟． (1)求点C对应的数； (2)若小虫甲返回到A点后再作如下运动：第1次向右爬行2个单位，第2次向左爬行4个单位，第3次向右爬行6个单位，第4次向左爬行8个单位，…依次规律爬下去，求它第10次爬行所停在点所对应的数； (3)若小虫甲返回到A后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点C出发沿着数轴的负方向以每秒6个单位的速度爬行，设甲小虫对应的点为E点，乙小虫对应的点为F点，设点A、E、F、B所对应的数分别是、、、，当运动时间t不超过1秒时，请你结合数轴利用数学结合思想直接写出的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，B点对应的数是1， ∴， ∴小虫从爬到需秒， ∴小虫从爬到所用时间为秒， ∴C点对应的数为； （2）， 即第十次爬行所停在点所对应的数为； （3）由题意可知：在数轴上的位置可以用如图所示的数轴表示， 故， 则：． 变式1．（25-26七年级上·吉林松原·月考）如图已知在纸面上有一数轴． 操作： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示____的点重合． 操作： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5 的点与表示____的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为4024（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求点 A，B表示的数． 【答案】（1）4；（2）①；②A表示的数是，B表示的数是2013． 【详解】解：∵折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合， ∴原点即为中点， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）表示的点与3表示的点重合， ∴ 中点是1表示的点， ①，， 5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ② 数轴上A、两点之间的距离为4024（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 变式2．（25-26七年级上·北京·月考）在数轴上，把表示数t的点称为t基准点，记作点O，对于两个不同的点M和N，若点M、点N到点O的距离相等，则称点M与点N互为t基准变换点．例如：图1中，点M表示数，点N表示数3，它们与基准点O的距离都是2个单位长度，点M与点N互为1基准变换点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为1基准变换点． ①若，则______；若，则______； ②用含a的式子表示b，则______； (2)有两点P、Q，点P与点Q之间的距离为8个单位长度．对P、Q两点做如下操作：点P，将数轴沿原点对折后的落点为；点Q沿数轴向左移动2个单位长度得到；操作后得到的、互为t基准变换点，则______． 【答案】(1)①2；；② (2)3或 【详解】（1）解：①∵，点与点互为1基准变换点， ∴， ∴， ∵，点与点互为1基准变换点， ∴， ∴， 故答案为：2；-2； ②∵点与点互为1基准变换点， ∴或， ∴， 故答案为：； （2）解：①当点在点的左侧时，设点对应的数为， ∵点与点之间的距离为8个单位长度， ∴点对应的数为， ∵将数轴沿原点对折后的落点为， ∴点对应的数为， ∵点沿数轴向左移动2个单位长度得到， ∴点对应的数为：， ∵操作后得到的、互为t基准变换点， ∴， ∴或， ∴或， 当时，，，点和点为同一个点，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的右侧时，设点对应的数为， ∵点与点之间的距离为8个单位长度， ∴点对应的数为， ∵将数轴沿原点对折后的落点为， ∴点对应的数为， ∵点沿数轴向左移动2个单位长度得到， ∴点对应的数为：， ∵操作后得到的、互为t基准变换点， ∴， ∴或， ∴或， 当时，，，点和点为同一个点，不符合题意，舍去； ∴， 综上所述：的值为3或， 故答案为：3或； 变式3．（25-26七年级上·江苏常州·月考）如图1，在数轴上点，，从左到右依次排列，有理数，，所对应的点分别为点，，．已知是最大的负整数，是的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的数为，现以为折点，将数轴向右对折．（点在点的右侧，与点，的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后，，三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时的值． 【答案】(1)；1；6 (2)①；②或3或 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴， ∵是的相反数， ∴， ∵， ∴或（舍去）； （2）解：①∵以为折点，将数轴向右对折，对折后点与点重合， ∴点P为折叠前的中点， ∵，， ∴； ②当折叠后A动，B和C不动，且点A到点B和点C的距离相等时，则折叠后点A是的中点， ∴折叠后点A表示的数为， ∴； 当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点C到点A和点B的距离相等时，则折叠后点C是的中点（点B在点C左侧）， ∵折叠前， ∴折叠后， ∴折痕后， ∴折叠后点B表示的数为， ∴； 当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点B到点A和点C的距离相等时，则折叠后点B是的中点（点B在点C右侧）， ∵折叠前， ∴折叠后， ∴折叠后， ∴折叠后点A表示的数为， ∴； 综上所述，的值为或3或． 变式4．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·月考）如图，，，为数轴上三点，回答下面问题： (1)点表示的数是__________，点到点的距离是__________个单位长度； (2)若点沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是__________； (3)规定：在一条数轴上，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记；若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记．例如：若点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为4，则；．根据规定解决下面问题． ①__________； ②若是数轴上一点，且，直接写出点所表示的数． 【答案】(1)，6 (2)3或 (3)①4②3或 【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为5， 则到点的距离是个单位长度． 故答案为：，6； （2）解：由数轴可知，点A表示的数为， 点沿数轴向左或右移动4个单位长度到达点， 则点表示的数是或， 故答案为：3或； （3）解：①由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为5，点P表示的数为， ∴若点P到点A的距离是， 点P到点B的距离是， ， ． 故答案为：4； ②∵， ∴点D到点A的距离是点D到点B的距离的2倍， 若点D在点B右侧， 则点D到点B的距离是点A到点B的距离， ∴点D到点B的距离是6， ∴点D表示的数为， 若点D在点A、点B之间， 则点D到点B的距离是点到点的距离的，即， ∴点D表示的数为， 若点D在点A左侧， 则点D到点A的距离小于点D到点B的距离，此时不存在满足题意的点， 综上所述，点D表示的数为3或． 考点二 以有理数的运算为背景的材料阅读类问题 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）综合与实践： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈4次方”，写作，读作“的圈3次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①______， ②______． （3）算一算：． 【答案】（1）1，−2；（2）①；②；（3） 【详解】解：（1）， ， 故答案为：1，； （2）① ， ② ， 故答案为：，； （3）原式 ． 例2．（25-26七年级上·山东济南·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【详解】（1）解：①， ， ， ∵， ∴和是“隔一数对”； ②， ， ∵， ∴和不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： ； （3）解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴，，，，， ∴ ． 例3．（25-26七年级上·江苏常州·期中）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为6，则称为“平方减数”，并把分解成的过程，称为“平方减数分解”．例如：因为，24与22的十位数字相同，个位数字4与2的和为6，所以554是“平方减数”，554分解成的过程就是“平方减数分解”． (1)下列正整数中，“平方减数”的是______；（填写序号） ①600    ②604    ③606 (2)按照以上规定，最小的“平方减数”是______，把该“平方减数”进行“平方减数分解”为______； (3)把一个“平方减数”进行“平方减数分解”，即，若将放在的左边组成一个新的四位数，恰好能被9整除，且是一个正整数的平方，请直接写出满足条件的正整数． 【答案】(1)② (2)， (3) 【详解】（1）解：， ①，十位数字相同，个位数字之和不为6，不是“平方减数”； ②，十位数字相同，个位数字之和为6，是“平方减数”； ③，十位数字不相同，不是“平方减数”； 故答案为：②； （2）解：∵是最小的“平方减数”， ∴， ∴， ∵与的十位数字相同，个位数字之和为6， ∴， 即， ∴最小的“平方减数”是，把该“平方减数”进行“平方减数分解”为； 故答案为：，； （3）解：设(t为十位，u为个位，），， ∵将放在的左边组成一个新的四位数， ∴ ∵能被9整除， ∴能被9整除， 当时，（不是整数，舍去）， 当时，， 当时，（舍去）， ∴， 此时，， ∵是一个正整数的平方， ∴， ∴， ∴，， ∴． 例4．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)知识应用： ①点，，在数轴上分别表示有理数 ，，那么到的距离是 ，到的距是 ． ②点，，在数轴上分别表示有理数，，那么到B的距离与到的距离之和可表示为 ． (2)利用数轴探究 ①若数轴上表示数的点位于与之间，则的值= ． ②求满足的的值； ③设；有最大值或最小值吗？如果有，请说明理由． (3)拓展： 已知，如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为70．若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时点所表示的数． 【答案】(1)① 4，8② (2)① 9②或5③有最小值，理由见解析 (3)经过秒或9秒，点表示的数为或 【详解】（1）解：①到的距离是，到的距是， 故答案为：4，8； ②由题意：到B的距离与到的距离之和可表示为； 故答案为：； （2）解：①即表示数的点与表示的点和与表示的点的距离和， ∵表示数的点位于与之间， ∴要求的距离即为表示的点和表示的点之间的距离，即． 故答案为：9； ②∵， 当时，， ∴； 当时，，不成立； 当时，    ，           ∴； 综上：或；      ③有最小值，理由如下， 式子表示数轴表示数的点到3和1的距离之和， 当时， 如图所示，； 当时， 如图所示，； 当时， 如图所示，4； 综上所述：当时，有最小值4； （3）解：设时间为秒，则，， ∴点P表示的数为，则点表示的数为，            ∴， ∴ ∴或 ∴，或，                                         ∴或，          ∴经过秒或9秒时，两只蚂蚁相距个单位长度，点表示的数为或． 变式1．（25-26七年级上·北京西城·期中）钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替时） 根据上述材料解决下列问题： (1)__________，__________； (2)①在有理数运算中，相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，则8的相反数是__________；的相反数是__________（用含的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？__________（填“是”或“否”）： (3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，，，若，判断是否一定成立，若一定成立，说明理由：若不一定成立，请举出一个反例加以说明． (4)已知巴黎时间的日出时间比北京时间晚六个小时，飞行时间为个小时，则北京时间9日晚时出发，到达巴黎时是巴黎几日几时？请用式子表示出运算过程． _____________ 答：到达时间是巴黎__________日__________（填“上午”或“下午”）__________时． 【答案】(1)5，9 (2)①4，②是 (3)不成立，反例见解析 (4)，上午，3 【详解】（1）解：根据题意可知，， ． 故答案为：5，9； （2）解：①在钟表中，相加得的两个数互为相反数， ，则的相反数是． 故答案为：4，； ②有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立； 证明：设，分别表示钟表中的数字， ， 的相反数为， ∴“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立． 故答案为：是； （3）解：不一定成立，理由如下， 当，，时， ， ，则， 当时，不一定成立． （4）解：． 故答案为：，上午，3． 变式2．（25-26七年级上·四川成都·月考）定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 【答案】(1)结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值 (2) (3) 【详解】（1）解：两数进行☆运算时，同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号；异号两数运算时，把绝对值相加，结果取负号；0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值． （2）原式 ． （3）若，原式左边，矛盾； 若，原式左边，矛盾； 若，原式左边， 则， 解得． 变式3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”，一般地，把（）记作，读作“a的下n次方”．直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 除方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：________． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】计算：． 【答案】概念学习：；；深入探究：（1）；（2）；结论应用： 【详解】解： 概念学习 根据除方的定义： ， ， 故答案为：；； 深入探究 （1）， （2）（共个），即， 故答案为：，； 结论应用： ． 变式4．（25-26七年级上·北京·期中）探索与发现 *闰年是公历中的名词，能被整除但不能被整除，或能被整除的年份即为闰年． 以上表格是洋洋同学设计的查看某年某月某日是星期几的一个表格． 利用洋洋同学设计的这个表格．笑笑同学很快找到了年的月日是星期三； 明明同学也很快利用表格找到了年的月日是星期五；琪琪同学也利用此表格查出来，她的一个好朋友出生那天是星期三，她的好朋友是年月日出生的． 年月日是北师大二附中的岁生日， (1)利用洋洋设计的表格算一下，年月日是星期几？______ (2)你能预测一下师大二附中百年校庆那天是星期几吗？______ (3)请你利用表格预测一下，中华人民共和国成立周年是星期几？______ (4)年月日是星期几？______ 【答案】(1)二； (2)日； (3)五； (4)六． 【详解】（1）解：由表格可知：年对应的文字排序“！、己、自、的、好、最、做”，分别对应着星期“一、二、三、四、五、六、日”； 而由于是闰年，闰年月的横行与日的纵列的交点对应的字是“己”， 因为“己”对应的是星期二， 所以年月日是星期二， 故答案为：二． （2），， 由表格可知，与在同一位置，对应的文字排序为“好、最、做、！、己、自、的”； 而月的横行与日的纵列的交点对应的字是“的”， 因为“的”对应的是星期日， 所以师大二附中百年校庆那天是星期日； 故答案为：日． （3）中华人民共和国成立周年是年月日，， 由表格可知，年对应的文字排序“自、的、好、最、做、！、己”； 而月的横行与日的纵列的交点对应的字是“做”， 因为“做”对应的是星期五， 所以中华人民共和国成立周年是星期五； 故答案为：五． （4）， 由表格可知，年对应的文字排序“！、己、自、的、好、最、做”， 分别对应着星期“一、二、三、四、五、六、日”； 而月的横行与日的纵列的交点对应的字是“最”， 因为“最”对应的是星期六， 所以年月日是星期六， 故答案为：六． 考点三 进位制转换问题 例1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）【探究学习】二进制数和十进制数之间的相互转换． 探究1：把十进制数89改写成二进制数． 方法：把十进制数89改写成二进制数，用这个十进制数89连续除以2，直到商为零为止，把每次所得的余数倒序写出来（如箭头方向），这样就化成了二进制数，这种方法是“除以2倒取余数”． 所以十进制数89转换成二进制数为，（注：二进制数通常在数的右下角标明基数2） 探究2：把二进制数改写成十进制数． 方法：把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数上数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 【问题解玦】 （1）请直接写出十进制数87转换成二进制数为：________________； （2）请通过计算将二进制数，改写成十进制数； 【拓展应用】 （3）十进制加法逢十进一，二进制加法逢二进一． 请计算：（结果用二进制数表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ∴十进制数87转换成二进制数为：． （2）． （3）方法1： 方法2：， ， ． 例2．（25-26七年级上·云南昆明·期中）综合与实践进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制、也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几、为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 例如，二进制数，转换为十进制数为： ． 五进制数转换为十进制数为： ． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如下： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)的基数为__________，逢__________进一； (2)二进制数对应的十进制数为__________，十进制数13对应的二进制数为__________； (3)我国古代设有十二地支，将地支与十二种动物相对应，成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环．这一规律可以用十二进制来解释．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，来记数，其中代表10，代表11．请同学们结合以上材料计算十进制数200对应的十二进制数为__________． 【答案】(1)5,5 (2)14， (3) 【详解】（1）解：依题意，的基数为5，逢5进一； （2）解：依题意， ∴二进制数对应的十进制数为14； 依题意， ∴十进制数13对应的二进制数为； （3）解： 依题意，（最低位为8）， （次低位为4）， （最高位为1）， ∴ ． 即十进制数200对应的十二进制数为． 例3．（25-26七年级上·江苏南通·月考）【阅读材料】 材料一：N进制数与十进制数之间的转换将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数． 规定：如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将89转化为五进制数：因为，，，所以． 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，；，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如：，， ∴①，②， 如： ，， ∴③；④． 【问题解决】 (1)将八进制数转化成十进制数，结果为______； 将十进制数73转化成二进制数，结果为______； (2)列竖式计算：①； ②．（结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则：，，，． 根据以上乘法法则，仿照十进制的乘法竖式法则，计算：．（结果用二进制数表示） (4)“退位减法”是一种逐位相减的方法．仿照十进制和二进制，其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，则______． 【答案】(1)， (2)①② (3) (4)8 【详解】（1）解：依题意，， ∴将八进制数转化成十进制数，结果为； 依题意，，，，， ，，， ∴将十进制数73转化成二进制数，结果为； （2）解：①依题意， 即； ②依题意， ； （3）解：依题意， ∴． （4）解：∵a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数，且三位数比三位数大2，且 ∴， ， 则， ∴， 则， ， ∵a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数， ∴a，b，c，d，e都是整数，且是的其中一个， 则尽量小， ∴， 则， ∴． 变式1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22，1001101 (2) (3) 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：22； 将十进制数“77”转化为二进制数是 故答案为：1001101； （2）解：二进制的两个数相加：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，所以孩子已经出生的天数为（天）． 变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）综合与实践二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号； ③若将第一行至第五行代表的5个二进制的数字相加，直接写出用二进制数与四进制数分别表示这5个数字的和． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 若二维码的简易编码所对应的数值m小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“Ⅰ”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“LUCKY”的的二维码． 【答案】(1)①；或；②2410272108；③； (2)①E YOU．或E（空格）YOU．②见解析 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0 ①第一行代表的二进制的数字为，第二行代表的二进制数字为或； ②转换成十进制数为；同理，转换成十进制数为10；转换成十进制数为27；转换成十进制数为21；转换成十进制数为08；小辉同学的准考证号为：2410272108； ③将第一行至第五行代表的5个二进制的数字相加得： ， ，用二进制表示为； ，用四进制表示为 （2）（2）①转换成十进制数为22；转换成十进制数为29；转换成十进制数为2；转换成十进制数为12；转换成十进制数为6； 根据转换规则，图2中从左到右五列对应的明码分别是（空格）； ②L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为，同理其他字母表示的二进制分别为，，， 二维码如下图所示： ． 变式3．（24-25七年级上·山西朔州·期中）阅读与理解 下面是一篇关于进位制的阅读内容，请你认真阅读并完成相应的任务． 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢七进一就是七进制，逢二进一就是二进制．也就是“逢几进一”就是几进制． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．用这10个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数是几就表示几个十；依次是百位、千位……例如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，即（规定当时，）． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 任务一： （1）把十进制数1234表示成各数位上的数字与基数10的幂的乘积之和的形式是______； （2）把七进制数1234表示成各数位上的数字与基数7的幂的乘积之和的形式是______； 任务二： 已知一个十进制的三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，把这个三位数中a与c的位置对调得到一个新的三位数． （3）用代数式表示：原三位数是______，新三位数是______； （4）试说明新三位数减去原三位数的差是99的倍数． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）见详解 【详解】（1）把十进制数1234表示成各数位上的数字与基数10的幂的乘积之和的形式是， 故答案为：． （2）把七进制数1234表示成各数位上的数字与基数7的幂的乘积之和的形式是， 故答案为：． （3）根据题意可得原三位数是，新三位数是， 故答案为：，． （4）根据题意可得， ∴是99的倍数， 即新三位数减去原三位数的差是99的倍数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $