专题05 等腰三角形（期末培优，17个高频易错考点训练共34题）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册期末备考大讲堂

期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为苏科版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题05 等腰三角形 （期末培优，17个高频易错考点训练共34题） 目录 考点一等腰三角形的定义 3 考点二等边对等角 3 考点三三线合一 4 考点四格点图中画等腰三角形 4 考点五找出图中的等腰三角形 5 考点六根据等角对等边证明等腰三角形 6 考点七根据等角对等边证明边相等 7 考点八根据等角对等边求边长 7 考点九等腰三角形的性质和判定 8 考点十等边三角形的性质 9 考点十一等边三角形的判定 10 考点十二等边三角形的判定和性质 10 考点十三含30度角的直角三角形 11 考点十四斜边的中线等于斜边的一半 12 考点十五直角三角形的两个锐角互余 13 考点十六锐角互余的三角形是直角三角形 13 考点十七旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 14 考点一等腰三角形的定义 1．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 2．若等腰三角形的一边长是12，另一边长是5，则此等腰三角形的周长是（      ） A．22 B．29 C．22或29 D．无法确定 考点二等边对等角 3．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．19 4．如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 考点三三线合一 5．如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 6．如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 考点四格点图中画等腰三角形 7．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 考点五找出图中的等腰三角形 9．如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 10．在平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0），AB＝2．在坐标轴上找点P，使A、B、P三点构成等腰三角形，这样的点P有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 考点六根据等角对等边证明等腰三角形 11．将一张长方形纸片按如图所示的方式沿折叠，若，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B． C．10 D．12 12．如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．12.5 D．13.5 考点七根据等角对等边证明边相等 13．如图，在中， 平分， 平分， ， 经过点，若， ，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．24 D．30 14．如图，将一张长方形纸片沿折叠，若，，，则重叠部分的面积为（   ） A．32 B．40 C．48 D．60 考点八根据等角对等边求边长 15．如图，，P是平分线上的一点，，，，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 16．如图，已知是平分线上一点，，交于点，且，，则的面积等于（     ）    A． B． C． D． 考点九等腰三角形的性质和判定 17．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 18．如图，等腰中，沿着一定方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为18，则点G到的距离是（    ） A．2 B． C．3 D．4 考点十等边三角形的性质 19．如图，为等边三角形，为的平分线，交于D，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 考点十一等边三角形的判定 21．下列说法错误的是（   ） A．三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形是等边三角形 B．有一个角为的等腰三角形是等边三角形 C．有两角相等的三角形是等边三角形 D．一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形 22．如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 考点十二等边三角形的判定和性质 23．如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（    ） A． B． C． D． 24．如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接．若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 考点十三含30度角的直角三角形 25．如图，在中，是边上的任意一点，则的长不可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 26．如图，在等边中，，D为延长线上一点，于点C，且，连接，则的面积为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 考点十四斜边的中线等于斜边的一半 27．如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．如图，是等边三角形，是边上的高，，分别是，的中点，连接、，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 考点十五直角三角形的两个锐角互余 29．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 30．如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点十六锐角互余的三角形是直角三角形 31．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 32．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点十七旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 33．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 34．如图，Rt中，，，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（ 　  ）． A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为苏科版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题05 等腰三角形 （期末培优，17个高频易错考点训练共34题） 目录 考点一等腰三角形的定义 3 考点二等边对等角 4 考点三三线合一 5 考点四格点图中画等腰三角形 7 考点五找出图中的等腰三角形 9 考点六根据等角对等边证明等腰三角形 10 考点七根据等角对等边证明边相等 12 考点八根据等角对等边求边长 14 考点九等腰三角形的性质和判定 16 考点十等边三角形的性质 18 考点十一等边三角形的判定 20 考点十二等边三角形的判定和性质 22 考点十三含30度角的直角三角形 24 考点十四斜边的中线等于斜边的一半 26 考点十五直角三角形的两个锐角互余 28 考点十六锐角互余的三角形是直角三角形 29 考点十七旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 31 考点一等腰三角形的定义 1．已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【解答】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 2．若等腰三角形的一边长是12，另一边长是5，则此等腰三角形的周长是（      ） A．22 B．29 C．22或29 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．需要分类讨论哪一边为腰，并验证是否能构成三角形，再求出周长即可． 【解答】解：∵等腰三角形两边分别为12和5， ∴ 需分情况讨论： ①若12为腰，则三边为12、12、5， ，能构成三角形，此时周长为； ②若5为腰，则三边为5、5、12， ，不能构成三角形 即只有第一种情况成立，周长为29， 故选：B． 考点二等边对等角 3．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质及三角形周长的转化，解题的关键是利用垂直平分线的性质将转化为，实现周长的线段代换． 1． 根据作图确定是的垂直平分线，得； 2． 将的周长转化为，代入数值计算． 【解答】由作图方法可知，是的垂直平分线， 因此（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 的周长为， 代入， 得周长． 已知，，故周长为． 故选B． 4．如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，作关于的对称点，连接，得出，，根据得出，根据三角形的外角的性质得出，即可得出，根据等角对等边得出，进而求得的长． 【解答】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴ ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 考点三三线合一 5．如图，，则的面积为（   ） A．10 B．16 C．20 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积的计算，利用全等求高是解答本题的关键．作，垂足为E，作，交的延长线于点F，先根据等腰三角形的性质得，再证明，得，即可求的面积． 【解答】解：由题意，作，垂足为E，作，交的延长线于点F，如图： 是等腰三角形的中线， ， 的面积为：． 故选：D． 6．如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解答】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 考点四格点图中画等腰三角形 7．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【解答】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 8．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质解题． 【解答】解：如图： 网格中满足条件的点C的个数为6个， 故选：B． 【点睛】本题考查网格作图—等腰三角形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 考点五找出图中的等腰三角形 9．如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【解答】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 10．在平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0），AB＝2．在坐标轴上找点P，使A、B、P三点构成等腰三角形，这样的点P有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据A、B、P三点构成等腰三角形，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作AB的垂直平分线，与坐标轴的交点即为所求． 【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与坐标轴的交点P1，P2，P3，P4，P5符合题意；作AB的垂直平分线，与坐标轴的交点P6，P7符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用分类讨论的思想解答，注意一定要考虑全面． 考点六根据等角对等边证明等腰三角形 11．将一张长方形纸片按如图所示的方式沿折叠，若，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形的面积公式等知识点，由折叠得到相等的边和角是解题的关键． 如图：根据折叠的性质得到，由平行线的性质，易得，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵长方形纸片按图中那样折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故选C． 12．如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（   ） A．10 B．12 C．12.5 D．13.5 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质及等腰三角形的判定是解题的关键；由折叠的性质可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【解答】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选C． 考点七根据等角对等边证明边相等 13．如图，在中， 平分， 平分， ， 经过点，若， ，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．24 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形，进而将三角形的周长进行转化．因为平分，所以；又因为，所以，从而可得，故．同理可得，．由此的周长，代入数值即可求解． 【解答】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得，． ∵的周长 ． ∵， ∴的周长． 故选：D． 14．如图，将一张长方形纸片沿折叠，若，，，则重叠部分的面积为（   ） A．32 B．40 C．48 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的面积公式．根据折叠的性质得到，而，易得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：如图， ∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴重叠部分的面积． 故选：B． 考点八根据等角对等边求边长 15．如图，，P是平分线上的一点，，，，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等角对等边，含角的直角三角形的性质．过点P作于点E，根据角平分线的性质求出，根据平行线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出的长，再求出即可． 【解答】解：如图，过点P作于点E，则， 是平分线上的一点，，， ， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 故选：B． 16．如图，已知是平分线上一点，，交于点，且，，则的面积等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可知，再由平行线的性质和角平分线及三角形外角的性质，可得到的度数，从而利用直角三角形的性质求得的长，最后求出三角形面积． 【解答】解：过点作于点，过点作于点， 是平分线上一点，，，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握角平分线的性质定理是关键． 考点九等腰三角形的性质和判定 17．如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】先利用角平分线和平行线的性质证明线段相等（、），再结合直角三角形的边角关系求出的长度，最后将的周长转化为的长度求解． 【解答】解：∵ 平分，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在中，，， ∴ ， 的周长 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形的边角关系，熟练掌握“角平分线平行线得等腰三角形”的模型是解题的关键． 18．如图，等腰中，沿着一定方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为18，则点G到的距离是（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 过作于，根据平移和，得出，，根据平行得出，根据，得出，从而得，则，求出，，根据阴影部分的面积为18，得出，即可求解． 【解答】解：过作于， ∵将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，且， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ，， ，阴影部分的面积为18， ∴阴影部分的面积， ∴， 则点到的距离是3． 故选：C． 考点十等边三角形的性质 19．如图，为等边三角形，为的平分线，交于D，，垂足为E，若，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是关键．先求出，再根据三线合一得到，即可求出的长度． 【解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，交于D， ∴， ∴． 故选：C． 20．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【解答】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 考点十一等边三角形的判定 21．下列说法错误的是（   ） A．三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形是等边三角形 B．有一个角为的等腰三角形是等边三角形 C．有两角相等的三角形是等边三角形 D．一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的判定，结合判定方法可得有两角相等的等腰三角形不一定是等边三角形即可． 【解答】解：A：三个外角相等，每个外角为，则每个内角为， ∴三角形是等边三角形． B： 等腰三角形有一个角为，则其他角也均为， ∴ 三角形是等边三角形． C：有两角相等的三角形是等腰三角形， ∴ 三角形不一定是等边三角形． D：如图，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ 是等边三角形． ∴ 说法错误的是C． 故选：C 22．如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【解答】解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 考点十二等边三角形的判定和性质 23．如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小． 【解答】解：如图在的下方作等边，作射线． ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q在射线上运动（点T是定点，是定值）， 当时，的值最小，而D为的中点， 最小值为， 故选：B． 24．如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接．若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是等边三角形是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，，则，由，得到，则是等边三角形，由此即可求解． 【解答】解：如图所示，直线交、于点，连接， ∵点关于、的对称点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 考点十三含30度角的直角三角形 25．如图，在中，是边上的任意一点，则的长不可能是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【解答】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，， ∵垂线段最短， ∴此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是4， 故选：D． 26．如图，在等边中，，D为延长线上一点，于点C，且，连接，则的面积为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，30度角的直角三角形的性质；过作于，由30度角的直角三角形的性质，再根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：如图，过作于， ∵等边中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 考点十四斜边的中线等于斜边的一半 27．如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半， 根据等腰三角形的性质可得和直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，即可得到结论． 【解答】解：∵，点E为边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D为边上的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 28．如图，是等边三角形，是边上的高，，分别是，的中点，连接、，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中线的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练运用这些知识是关键． 由等边三角形三线合一的性质得，则可判定A；由直角三角形斜边上中线的性质得，可判定B；由是中线得，则可判定C；，则有，从而得，可判定D． 【解答】解：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，， 故选项A正确； ∵是的中点，是边上的高， ∴， 故选项B正确； ∵分别是一边上的中线， ∴，， ∴， 故选项C不正确； ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D正确． 故选：C． 考点十五直角三角形的两个锐角互余 29．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质，熟练掌握垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质是解题的关键；由作图可知：平分，，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【解答】解：由作图可知：平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 30．如图，在直角三角形中，，，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了含的直角三角形. 先求出，通过含的直角三角形性质得，，最后通过线段和差即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 考点十六锐角互余的三角形是直角三角形 31．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【解答】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 32．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【解答】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 考点十七旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 33．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【解答】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 34．如图，Rt中，，，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（ 　  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点，过点作，连接，由已知条件可证明和全等，得到，已知点为直线上的一个动点，根据垂线段最短，当点运动到点的时候，取得最小值，也即线段的长度，根据特殊直角三角形的性质即可求得的长度． 【解答】解：如图所示，取线段的中点，过点作，并且连接， ，，， 在Rt中， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， 点为直线上的一个动点， ； ，且，， ， 即：， 则的最小值是． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定以及垂线段最短等知识点，正确利用相关性质将求线段的最小值转化为求线段的最小值是解这道题的关键，同时，需要熟练掌握并灵活运用旋转、全等三角形的性质和判定等知识点． 学科网（北京）股份有限公司 $