专题10 勾股定理的探究（期末培优，8个高频易错考点训练共24题）-2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂（苏科版·新教材）

期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为苏科版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题10 勾股定理的探究 （期末培优，8个高频易错考点训练共24题） 目录 考点一用勾股定理解三角形 3 考点二以直角三角形三边为边长的图形面积 5 考点三利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7 考点四利用勾股定理证明线段平方关系 9 考点五勾股定理的证明方法 12 考点六以弦图为背景的计算题 14 考点七用勾股定理构造图形解决问题 17 考点八勾股定理与无理数 20 考点一用勾股定理解三角形 1．如图，在中，，， ， ，则长（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”和角对的直角边是斜边的一半推导线段长度． 过作，由得；结合的“三线合一”性质得，进而计算出的长度． 【解答】解：如图，过点作于， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．如图，已知，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交延长线于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记勾股定理与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由作图可知，证明，得出，据此解答． 【解答】解：∵以点C为圆心，为半径画弧交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧交延长线于点E， ∴， 又∵， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，是折痕，则的周长为（ ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理求出，利用翻折的性质可得，推出即可解决问题． 【解答】解：在中，，， ， 由翻折的性质可知：，， ， 的周长． 故选：C． 考点二以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．9 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，由勾股定理和等腰直角三角形的定义得，，，，，，则，推出，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接， ，分别以四边形的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形， ，，，，，， ， ， ， 故选：B． 5．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【解答】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， ， 所以 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 6．如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据可知，根据正方形，的面积分别为和，可知，，代入求出的长度即为正方形的边长． 【解答】解：如下图所示， ， ， 正方形，的面积分别为和， ，， ， ， ， 正方形的边长是. 故选：D． 考点三利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【解答】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 8．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【解答】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 9．若直角三角形的一条直角边和斜边的比为，另一条直角边长为，则直角三角形的斜边长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】设一条直角边为x，斜边为3x，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：设一条直角边为x，斜边为3x，依题意有 x2+（）2=（3x）2， 解得x=±1（负值舍去）， 则3x=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，关键是熟悉直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的知识点． 考点四利用勾股定理证明线段平方关系 10．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（    ） ①；②；③；④        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由和都是等腰直角三角形，可证，根据得证.①正确；由全等得，，，于是，可证，从而．故②正确；中，，于是；④正确；由的顶点A在的斜边上，得，从而，故③错误． 【解答】解∵和都是等腰直角三角形， ∴, ，. ∴. ∴.①正确； ∴，，． ∴； ∵， ∴． ∵， ∴．故②正确； 中， 而 ∴；④正确； ∵的顶点A在的斜边上， ∴． 而 ∴，故③错误． 故选：C 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短；由全等三角形得到线段相等，角相等是解题的关键． 11．用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式． 【解答】解：∵，即， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，根据题意列出相应的等式是解答本题的关键． 12．如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 【答案】C 【分析】根据勾股定理和圆面积公式可以得到S1=S2+S3，从而得到问题解答． 【解答】解：由题意可得： ∵在直角三角形BDO中， ∴S1=S2+S3， ∴S2=S1-S3=40-18=22， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握圆面积公式和勾股定理的意义是解题关键． 考点五勾股定理的证明方法 13．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【解答】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 14．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【解答】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 15．我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 考点六以弦图为背景的计算题 16．如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为39，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【解答】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为． 故选：A． 17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．连接，，若，，则大正方形的边长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题以“赵爽弦图”为背景考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据题意及全等三角形的判定得出，确定，再由勾股定理求解即可． 【解答】解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 18．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 考点七用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【解答】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 20．如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，如图，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，如图，，，    由勾股定理得，， ∴米长的梯子可以达到建筑物的高度是米， 故选：D． 21．如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是、、，若，则的值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、整式的混合运算等知识点，熟练掌握勾股定理、整式的运算是解决问题的关键． 由等边三角形的性质可得，设，则；如图：连接，在和中，由勾股定理得，则①，在和中，由勾股定理得(②，在和中，由勾股定理得，即③，将①，③代入②得，整理得，即，从而完成解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，， ∴． 设， ∴， 如图：连接， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，则①， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴②， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，即③， 将①，③代入②，得：， ∴， 整理得：，解得：． ∴． 故选A． 考点八勾股定理与无理数 22．如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 【解答】解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 23．如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．先根据已知条件和勾股定理求出AC，从而求出AD，再设点D表示的数为x，再根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x，再估算x的值，从而进行判断即可． 【解答】解：由题意可知：， ， ， 由勾股定理得：， 设点D表示的数为x， ∴， ， ， 或， 甲的说法错误， ， ， ， 乙的说法正确， 故选：D ． 24．如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【解答】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 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4．如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．9 D．5 5．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 考点三利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 9．若直角三角形的一条直角边和斜边的比为，另一条直角边长为，则直角三角形的斜边长为（    ） A．3 B．6 C． D． 考点四利用勾股定理证明线段平方关系 10．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（    ） ①；②；③；④        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 12．如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 考点五勾股定理的证明方法 13．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 14．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 15．我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 考点六以弦图为背景的计算题 16．如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．连接，，若，，则大正方形的边长为（    ）    A．2 B． C． D． 18．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 考点七用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 21．如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是、、，若，则的值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．20 考点八勾股定理与无理数 22．如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 23．如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对 24．如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 学科网（北京）股份有限公司 $