专题12 勾股定理的简单应用（期末培优，15个高频易错考点训练共30题）-2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂（苏科版·新教材）

期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为苏科版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题12 勾股定理的简单应用 （期末培优，15个高频易错考点训练共30题） 目录 考点一勾股定理与网格问题 3 考点二勾股定理与折叠问题 3 考点三求旗杆高度(勾股定理的应用) 4 考点四求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 5 考点五求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 6 考点六求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 6 考点七解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 7 考点八解决航海问题(勾股定理的应用) 8 考点九求河宽(勾股定理的应用) 9 考点十求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 10 考点十一判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 10 考点十二判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 11 考点十三选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 12 考点十四求最短路径(勾股定理的应用) 13 考点十五勾股定理逆定理的实际应用 14 考点一勾股定理与网格问题 1．如图是课堂上同学们在探究勾股定理时用到的图形，已知网格中小正方形的边长都为1，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C． D．13 2．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 考点二勾股定理与折叠问题 3．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 考点三求旗杆高度(勾股定理的应用) 5．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 6．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 考点四求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 考点五求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 9．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 考点六求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 11．2025年9月22日，“桦加沙”超强台风掠过深圳，风暴中，一棵树从树腰处被吹断．如图所示，大树从树腰（点）断裂，树顶落在离树根（点）8米处（点），已知树原高16米，则树断裂处距树根为（　　）米 A．10 B．8 C．6 D．5 12．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．4米 考点七解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 13．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（   ） A．35 B．40 C．50 D．45 14．如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 考点八解决航海问题(勾股定理的应用) 15．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 16．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 考点九求河宽(勾股定理的应用) 17．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 18．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 考点十求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 19．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 20．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 考点十一判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 21．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    22．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 考点十二判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 23．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 24．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 考点十三选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 25．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 26．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器． 考点十四求最短路径(勾股定理的应用) 27．如图，一个三棱柱盒子底面三边的长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 ．      28．如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 考点十五勾股定理逆定理的实际应用 29．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 30．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $期末备考大讲堂 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂》。本书专为苏科版八年级上册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​中小学数学教研 2025-2026学年八年级数学上册期末备考大讲堂 专题12 勾股定理的简单应用 （期末培优，15个高频易错考点训练共30题） 目录 考点一勾股定理与网格问题 3 考点二勾股定理与折叠问题 4 考点三求旗杆高度(勾股定理的应用) 6 考点四求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 8 考点五求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 9 考点六求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 11 考点七解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 12 考点八解决航海问题(勾股定理的应用) 14 考点九求河宽(勾股定理的应用) 16 考点十求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 17 考点十一判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 18 考点十二判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 20 考点十三选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 21 考点十四求最短路径(勾股定理的应用) 23 考点十五勾股定理逆定理的实际应用 25 考点一勾股定理与网格问题 1．如图是课堂上同学们在探究勾股定理时用到的图形，已知网格中小正方形的边长都为1，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．勾股定理是直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，利用此计算即可． 【解答】解：根据勾股定理． 故选：C． 2．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【解答】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故选：D． 考点二勾股定理与折叠问题 3．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程即可得到问题答案． 本题考查的是翻折变换的性质、长方形的性质以及勾股定理的运用，找出对应线段、对应角是解题的关键．注意方程思想的运用． 【解答】解：设，则， 此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， 四边形是长方形， ， ，即， 解得 的长为． 故选：C． 4．如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【解答】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 考点三求旗杆高度(勾股定理的应用) 5．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长． 根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【解答】解：设旗杆的高为，则绳子的长为， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴旗杆的高． 故选C． 6．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答． 【解答】如图，连接． 依题意， ∵， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 考点四求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【解答】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 8．如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 由梯子、地面和建筑物构成直角三角形，梯子为斜边，底端距离为一条直角边，高度为另一条直角边，再利用勾股定理计算高度即可． 【解答】解：设梯子可以达到建筑物的高度为米． ∵梯子长，底端离建筑物， ∴由勾股定理，得，即， 解得：． 故选B． 考点五求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 9．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 10．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；如图，，，然后根据勾股定理及无理数的估算可进行求解． 【解答】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选C． 考点六求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 11．2025年9月22日，“桦加沙”超强台风掠过深圳，风暴中，一棵树从树腰处被吹断．如图所示，大树从树腰（点）断裂，树顶落在离树根（点）8米处（点），已知树原高16米，则树断裂处距树根为（　　）米 A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意，构造直角三角形，熟练运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 设树断裂处距树根为米，则米，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【解答】解：设树断裂处距树根为米，则米， 在中，，米，米，米，则由勾股定理可得，即， 解得， 树断裂处距树根为米， 故选：C． 12．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．4米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【解答】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米； 故选C． 考点七解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 13．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（   ） A．35 B．40 C．50 D．45 【答案】D 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可． 【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 14．如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 考点八解决航海问题(勾股定理的应用) 15．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理的应用，方向角，解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【解答】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：B． 16．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度． 【解答】解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴在中，海里， （海里）， ∵，， ∴， ∵， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：（海里/小时）． 故选：B 考点九求河宽(勾股定理的应用) 17．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【解答】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 18．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 【解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 考点十求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 19．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【解答】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 20．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【解答】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 考点十一判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 21．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【解答】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 22．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案 【解答】解：在Rt中，，，， ∴ 小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分) ∴小明、小亮同时到达C时， 小明、小亮同时到达D时， ∴a的取值范围是： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键 考点十二判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 23．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【解答】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 24．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【解答】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 考点十三选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 25．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【解答】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 26．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 【解答】解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 考点十四求最短路径(勾股定理的应用) 27．如图，一个三棱柱盒子底面三边的长分别为，，，盒子高为，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 ．      【答案】13 【分析】本题考查了立体图形表面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将三棱柱侧面展开为平面图形，再利用勾股定理计算最短路径． 【解答】解：将三棱柱侧面展开，底面三边总长为，盒子高为， 由勾股定理，最短路程为． 故答案为：13． 28．如图，一只蚂蚁从底面为边长的正方形，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图-最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 【解答】解：如图1所示展开时： 此时； 如图2所示展开时： 此时， 它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 考点十五勾股定理逆定理的实际应用 29．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【解答】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 30．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $