4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和的性质及应用，通过“回顾引新知”先复习等比数列性质与前n项和公式，再以问题链探究片段和、奇偶项和等性质，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题探究驱动性质推导，结合正方形面积、垃圾处理等实际案例培养数学眼光，通过多解法典例发展数学思维，帮助学生用数学语言表达解决过程，既深化学生理解，又为教师提供系统教学资源。

4.3.2 等比数列的前n项和公式 第2课时 性质及应用 学习目标 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.(重点) 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.(难点) 刘雨萌 等比数列的性质 p q p 1/p p2 pq p/q 性质3.等比数列{an}中，下标成等差数列的项仍成等比数列 推论1：a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝… 等式左右两边的项数相同 |p| 回顾引新知 刘雨萌 等比数列前n项和：首项为，公比为，则其前项和为 注意：当未知时，要分和两种情况讨论. 已知量 求和公式 首项、公比与项数 首项、公比与末项 等比数列的前n项和公式 回顾引新知 刘雨萌 等比数列{an}前n项和Sn公式具的函数特性 令 回顾引新知 刘雨萌 新知探究 问题1 你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n？ 提示　 思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n =Sm+a1qm+a2qm+…+ anqm =Sm+qmSn. 思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m =Sn+a1qn+a2qn+…+amqn =Sn+qnSm. 刘雨萌 新知探究 问题2 在等比数列等片段和的性质中，你能用不同的方法推导 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？ 证明： ∵ ， ， ∴ ∴ ，，成等比数列，公比为. 刘雨萌 思路二：由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn， 故有S2n-Sn=qnSn，S3n=S2n+q2nSn， 故有S3n-S2n=q2nSn， 故有=Sn(S3n-S2n)， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 问题2 在等比数列等片段和的性质中，你能用不同的方法推导 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？ 新知探究 刘雨萌 新知探究 问题3 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的性质，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列{an}的项数有2n项， 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q. 证明：若等比数列有项，则 刘雨萌 新知探究 问题3 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的性质，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列{an}的项数有2n+1项， 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶. 证明：若等比数列有项， 则 刘雨萌 知识梳理 1.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn， 仍构成等比数列. 2.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，=q. (2)在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q ≠-1)；S奇=a1+qS偶. 3.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+ (n，m∈N*). S3n-S2n qnSm 刘雨萌 典例分析 学习笔记30页例1 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，则公比q=　　. 2 由题意知S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80，∴S奇=-80，S偶=-160，∴q==2. (2)在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n. 方法一　∵S2n≠2Sn，∴公比q≠1，由已知得 ②÷①得1+qn=，即qn=， ③ 将③代入①得=64，∴S3n==64×=63. 刘雨萌 方法二　∵{an}为等比数列， 显然公比不等于-1， ∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列， ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)， ∴S3n=+S2n=+60=63. 方法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn， 即60=48+48qn，得qn=， ∴S3n=S2n+q2nSn=60+×48=63. 刘雨萌 13 反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一 隐含特点；若等比数列{an}共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 刘雨萌 学习笔记31页跟踪训练1 (1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比q为　　，项数为　　. 2 9 由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q，所以q=2， 设这个数列共有(2n+1)项，则S2n+1==341+170=511， 解得n=4，即这个等比数列的项数为9. (2)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=3，S8=9，则S12等于 A.12 B.18 C.21 D.27 √ 方法一　因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4=3，S8=9，易知等比数列{an}的公比q≠-1，所以S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，所以(S8-S4)2=S4(S12-S8)，所以62=3(S12-9)，解得S12=21. 方法二　由方法一知，S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，即3，6，12成等比数列，S12-S8=12，所以S12=S8+12=9+12=21. 方法三　S8=S4+q4S4，即q4=2，则S12=S8+q8S4=21. 刘雨萌 【教材38页例10】如图,正方形的边长为5cm,取正方形各边的中点,作第2个正方形,然后再取正方形各边的中点,作第3个正方形,依此方法一直继续下去. （1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 等比数列前n项和实际应用 由于第个正方形的顶点是第个正方形各边的中点，所以=因此{}是以25为首项，为公比的等比数列。 解：设第一个正方形的面积为，后续面积依次为,,则=25, 典例分析 刘雨萌 学习笔记31页例2 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第一天所走路程里数为 A.96 B.126 C.192 D.252 √ 由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有S6==378，解得a1=192， 所以该人第一天所走路程里数为192. 刘雨萌 【教材38页例11】去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 等比数列前n项和实际应用 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 典例分析 刘雨萌 解：如上所示设各数列 ，再设 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨）， 则=20， bn=6+1.5 = () 当时， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨. = = 提炼数据 20 生活垃圾量： 环保方式处理量： 6 递增量： 5% 增加量： 1.5 填埋处理量： 14 = 公比： 1+0.05 通项公式： 刘雨萌 学习笔记31页跟着训练2 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂　　盏灯笼. 3 依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N*，n≤ 9)，公比q=2，前9项和为1 533，于是得S9==1 533，解得a1=3， 所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼. 刘雨萌 20 【教材39页例12】某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式,表示 与 之间的关系； （2）将(1)中的递推公式表示成的形式,其中为常数； （3）求的值（精确到1）. 等比数列前n项和实际应用 分析: (1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系； (2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组； (3)利用(2)的结论可得出解答. 典例分析 刘雨萌 (2)将 化成= ② 比较①②的系数,可得得 (3)由(2)可知,数列{-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则 = 解：(1)由题意，得并且 ① 所以,(1)中的递推公式可以 刘雨萌 学习笔记31页例3 在等腰直角三角形ABC中，B=，AB=a，以AB为斜边作等腰直角三角形AB1B，再以AB1为斜边作等腰直角三角形AB2B1，依此类推，记△ABC的面积为S1，依次所得三角形的面积分别为S2，S3，…，若S1+S2+…+S8=，则a等于 A.2 B.2 C.3 D.4 √ 由题知AB1=AB，AB2=AB1，…，ABn+1=ABn，S1=AB2=a2， Sn=A(n≥2)，∴==(n≥2)， 又S2=a2=S1，∴数列{Sn}是首项为a2，公比为的等比数列， ∴S1+S2+S3+…+S8==，∴a=2(负值舍去). 刘雨萌 23 如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2 024. 跟踪训练3 记第n个正方形的边长为bn， 由题意可知当n≥2时，=2×=， 则an=an-1， 所以数列{an}是以a1=4为首项，q=为公比的等比数列，即an=4×=23-n. S2 024==8×=8-. 刘雨萌 24 方法归纳：解数列应用题 (一)审题： （1）是等差数列问题？还是等比数列问题？还是含有递推公式的数列问题？ （2）是求a，还是求？ ①特别要注意项数是多少． ②细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题． (二)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将数量关系用数学式子表达． (三)把复杂数列适当分为几种简单的数列，应用公式解题. 分组求和是一种常用的求和方法. 有固定比值关系的递推数列可以转化为等比数列. 刘雨萌 课堂小结 性质1 性质2 性质3 刘雨萌 随堂演练 1.在等比数列{an}中，a1a2a3=1，a4=4，则a2+a4+a6+…+a2n等于 A.2n-1 B.C. D. √ 2.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为 A.8 B.-2 C.4 D.2 √ 3.(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2=1，S6=91，则 A.S8=729 B.S8=820 C.q=3 D.q=9 √ 4.一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an=　　　　　　　　　. 12×，n∈N* √ 刘雨萌 1.基础性作业 (1)必做题:教科书第40 页练习第1题,第41页题4.3第8、10 题 练透103页作业10 (2)选做题:教科书第56页复习参考题4第12题. 2.拓展性作业请同学们归纳梳理本单元学习中涉及的数列求和的方法,并举例说明方法适用的条件和需要注意的问题. 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 $