4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和的性质及应用，通过“问题初探”环节提问预习情况，衔接已学的前n项和公式，引导学生类比等差数列片段和性质，借助探究推导、新知生成等学习支架，构建从公式到性质的知识脉络。 其亮点在于以探究式教学引导学生发现性质，如通过推导验证片段和等比关系培养数学思维，结合资金增长、《算法统宗》问题等实例渗透数学建模。采用一题多解和变式训练，小结梳理知识与方法链，助力学生提升运算能力与应用意识，也为教师提供分层教学资源，提高课堂效率。

第四章　 数列 4.3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标]　1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(数学运算) 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算) 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．等比数列前n项和有哪些性质？ 问题2．运用等比数列的前n项和公式解决实际问题的关键是什么？ 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 探究建构 关键能力达成 探究1　等比数列前n项和的性质 问题1　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的关系吗(n为偶数且q＝－1除外)? [提示]　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝， S3n＝． 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 S2n－Sn＝＝， S3n－S2n＝＝， 而(S2n－Sn)2＝， Sn(S3n－S2n)＝， 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 问题2　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的性质，等比数列是否也有相似的性质？ [提示]　若等比数列{an}的项数有2n项， 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 若等比数列{an}的项数有2n＋1项， 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [新知生成] 1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋____(n，m∈N*)． 3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，________仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是__． qnSm S3n－S2n qn 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 【教用·微提醒】　当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [典例讲评]　【链接教材P37例9】 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn． (1)若Sn＝48，S2n＝60，求S3n的值； (2)若a1＝1，项数为偶数，且S奇＝85，S偶＝170，求公比与项数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③ 把③代入①得＝64， ∴S3n＝＝64＝63． 法二：∵{an}为等比数列，显然公比q≠－1， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 即(60－48)2＝48(S3n－60)，∴S3n＝63． 法三：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝， ∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×＝63． (2)法一：设等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)． 由已知a1＝1，q≠1，有 由②÷①，得q＝2， ∴＝85，4n＝256， ∴n＝4． 故公比为2，项数为8． 法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋an＝a1q＋a3q＋…＋an－1q＝(a1＋a3＋…＋an－1)q＝S奇·q， ∴q＝＝＝2．又Sn＝85＋170＝255， 由Sn＝，得＝255， ∴2n＝256，∴n＝8．∴公比q＝2，项数n＝8． [母题探究] 1．将本例(1)中的条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“各项均为正项的等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． [解]　法一：∵{an}为等比数列，且公比q≠－1, 设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， ∴ ∴或(舍去)，∴S4n＝30． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 法二：∵Sn＝2，S3n＝14，∴q≠1． ∴Sn＝，S3n＝＝， ∴＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2， 又S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)． ∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30． 2．将本例(1)中条件“Sn＝48，S2n＝60”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． [解]　法一：∵S99＝＝56，q＝2， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56， ∴b1(1＋q＋q2)＝56，又∵q＝2， ∴b1＝＝8，∴b3＝b1q2＝8×22＝32． 即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32． 【教材原题·P37例9】 例9　已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比． 证明：当q＝1时， Sn＝na1， S2n－Sn＝2na1－na1＝na1， S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 当q≠1时， Sn＝， S2n－Sn＝＝＝qnSn， S3n－S2n＝＝＝qn(S2n－Sn)， 所以＝＝qn． 因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn． 发现规律　处理与等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝_和S偶＋S奇＝___这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋____和S偶＋S奇＝______这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为__，要注意q＝－1且n为偶数时不适用． S2n qS偶 S2n＋1 qn q 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学以致用]　1．(1)一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 (2)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12＝________． √ 21 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 (1)B　(2)21　[(1)设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q＝＝2， 又它的首项为1，所以an＝2n-1， 中间两项的和为an＋an＋1＝2n-1＋2n＝24， 解得n＝4，所以项数为8． (2)∵等比数列{an}的前n项和为Sn， S4＝3，S8＝9， ∴S4，S8－S4，S12－S8成等比数列， 即3，6，S12－9成等比数列， ∴(S12－9)×3＝36，∴S12＝21．] 探究2　等比数列前n项和的实际应用 [典例讲评]　【链接教材P39例12】 2．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)由题意，得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d． (2)由(1)，得an＝an－1－d＝－d＝an－2－d－d ＝…＝a1－d． 整理，得an＝(3 000－d )－2d·＝(3 000－3d )＋2d． 由题意，得am＝4 000， 即(3 000－3d )＋2d＝4 000． 解得d＝． 故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元． 【教材原题·P39例12】 例12　某牧场今年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…． (1)写出一个递推公式，表示cn＋1与cn之间的关系； (2)将(1)中的递推公式表示成cn＋1－k＝r(cn－k)的形式，其中k，r为常数； (3)求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值(精确到1)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn＋1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)由题意，得c1＝1 200，并且 cn＋1＝1.08cn－100． ① (2)将cn＋1－k＝r(cn－k)化成 cn＋1＝rcn－rk＋k． ② 比较①②的系数，可得 解这个方程组，得 所以，(1)中的递推公式可以化为 cn＋1－1 250＝1.08(cn－1 250)． (3)由(2)可知，数列{cn－1 250}是以－50为首项，1.08为公比的等比数列，则 (c1－1 250)＋(c2－1 250)＋(c3－1 250)＋…＋(c10－1 250)＝≈－724.3． 所以S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10≈1 250×10－724.3＝11 775.7≈11 776． 反思领悟　与等比数列前n项和有关的实际问题的解题方法 (1)构建数列模型． (2)根据题意将实际问题直接转化为等比数列问题，或寻找递推公式，再转化为等比数列． (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 √ [学以致用]　【链接教材P40练习T1】 2．(1)《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么该人第一天所走路程里数为(　　) A．96 B．126 C．192 D．252 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 (2)中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂__________盏灯笼． 3 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 (1)C　(2)3　[(1)由题意得，该人每天走的路程是以a1为首项，为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有S6＝＝378， 解得a1＝192， 所以该人第一天所走路程里数为192． (2)依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N*，n≤9)，公比q＝2，前9项和为 1 533, 即S9＝＝1 533，解得a1＝3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼．] 【教材原题·P40练习T1】 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍． (1)当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm? 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　(1)第6次着地时，经过的路程为100＋2×(100×0.61＋100×0.612＋…＋100×0.615)＝100＋2×100×(0.61＋0.612＋…＋0.615)＝100＋200×≈386(cm)． (2)设第n次着地时，经过的总路程为400 cm，则100＋2×100×(0.61＋0.612＋…＋0.61n-1)＝100＋200×＝400，整理，得0.61n-1≈0.04，解得n≈7.5． 因此，小球至少在第8次着地后，经过的总路程能达到400 cm． 探究3　等比数列的前n项和综合应用 [典例讲评]　【链接教材P38例10】 3．(源自北师大版教材)如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n个内切圆的面积和． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　设第n个正三角形的内切圆的半径为an． 因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的，故a1＝a tan 30°＝a·＝a， a2＝a1， … an＝an－1． 即数列{an}是首项a1＝a，公比q＝的等比数列，所以an＝a． 设前n个内切圆的面积和为Sn，则 Sn＝＝＋(a1q)2＋(a1q2)2＋…＋(a1qn-1)2] ＝＝＝π＝π． 因此，前n个内切圆的面积和为π． 【教材原题·P38例10】 例10　如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5 cm， 取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2 个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的 中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方 法一直继续下去． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 (1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； (2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，则 a1＝25． 由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以 ak＋1＝ak． 因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列． 设{an}的前n项和为Sn． (1)S10＝＝50×＝． 所以，前10个正方形的面积之和为 cm2． (2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…．而 Sn＝＝50， 随着n的无限增大，将趋近于0，Sn将趋近于50． 所以，这些正方形的面积之和将趋近于50． 反思领悟　解决与等比数列前n项和公式有关问题时应注意的问题 (1)首先将题目问题转化为等比数列问题． (2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学以致用]　3．如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及S2 025． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [解]　记第n个正方形的边长为bn， 由题意可知＝2×＝， 则an＝an－1， 所以数列{an}是以a1＝4为首项，q＝为公比的等比数列， 即an＝4×． S2 025＝＝8×＝8－． 应用迁移 随堂评估自测 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　) A． B．－ C． D． √ 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 A　[∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列， 即8，－1，S9－S6成等比数列， ∴8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝， ∴a7＋a8＋a9＝．] √ 2．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　) A．1 025 B．1 024 C．10 250 D．20 240 C　[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn＞0， ∴{xn}为等比数列，且公比q＝2， ∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)为________． 6　[每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，Sn＝＝＝2n+1－2． 由2n+1－2≥100，得2n+1≥102． 由于26＝64，27＝128，则n＋1≥7，即n≥6．] 6　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 4．(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． 2　[法一(基本量法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1．由S4＝4得＝4　①，由S8＝68得＝68　②， 得＝，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q＞0，所以q＝2． 2　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 法二(等比数列前n项和性质法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16，又q>0，所以q＝2．] 1．知识链： 2．方法链：公式法、分类讨论法、转化法． 3．警示牌：应用公式和性质时易忽略其成立的条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等比数列的前n项和有哪些重要性质？ [提示]　(1)若等比数列前n项和Sn＝A·qn＋B，那么A＋B＝0(A≠0，q≠1)． (2)若项数为2n，则＝q(S奇≠0)； 若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)． (3)等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(n为偶数且q＝－1时除外)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 2．应用等比数列前n项和时常见的误区有哪些？ [提示]　(1)等比数列前n项和公式中项数的判断易出错． (2)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 课时分层作业(十)　等比数列前n项和的性质及应用 一、选择题 1．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 D　[由题意得，公比q＝＝2， 所以Sn＝＝341＋682＝1 023，解得n＝10． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 2．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足S5＝10，S10＝40，则S20＝ (　　) A．130 B．160 C．390 D．400 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ D　[由题意知q≠－1，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15依然成等比数列，则S5(S15－S10)＝(S10－S5)2，即10(S15－40)＝(40－10)2，解得S15＝130，则S5(S20－S15)＝(S10－S5)(S15－S10)，即10(S20－130)＝30×90，解得S20＝400．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 3．等比数列{an}各项为正数，a3，a5，－a4成等差数列．若Sn为{an}的前n项和，则＝(　　) A．2 B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 C　[设数列{an}的公比为q(q>0，q≠1)， ∵a3，a5，－a4成等差数列，∴2a1q4＝a1q2－a1q3， ∵a1≠0，q≠0， ∴2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)． ∴＝1＋q3＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 4．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a5＝27，＋…＋＝3，则a3＝(　　) A．±9 B．9 C．±3 D．3 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 C　[设公比为q，则由已知可得 两式相除，得q4＝9，即＝9，所以a3＝±3．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还粟的量为(　　) A．升 B．升 C．升 D．升 13 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，解得a1＝， 所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝．故选D．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、填空题 6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 13 2　[设等比数列{an}的前2n项中奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S偶． 由题意得 ∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝＝2．] 2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 7．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝____________． 13 －2　2n-1－　[设等比数列{an}的公比为q， 则a4＝a1q3，又a1＝，a4＝－4，则q3＝－8，所以q＝－2． 等比数列{|an|}的公比为|q|＝2， 则|an|＝×2n-1， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n-1)＝(2n－1)＝2n-1－．] －2 2n-1－　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米． 13 752　[设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an}，则数列{an}为等比数列， a1＝128，q＝，S5＝＝248， 共经过的路程为256＋2S5＝752(米)．] 752　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、解答题 9．某市共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2019年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%．则： (1)该市在2025年应该投入电力型公交车多少辆？ (2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)每年投入电力型公交车的数量构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝． ∴2025年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×＝1 458(辆)． ∴该市在2025年应该投入1 458辆电力型公交车． (2)设{an}的前n项和为Sn． 则Sn＝＝256×， 由Sn>(10 000＋Sn)×，即Sn>5 000，n∈N*，解得n>7． ∴该市在2026年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 10．已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为________． 13 32 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 32　[由等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列． 又S6－3S3＝4， ∴S9－S6＝＝ ＝4S3＋＋16≥2＋16＝32， 当且仅当S3＝2时，等号成立， ∴S9－S6的最小值为32．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 11．设f (x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f (x)·f (y)＝f (x＋y)．若a1＝，an＝f (n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________． 13 1－ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 1－　[令x＝n，y＝1，则f (n)·f (1)＝f (n＋1)， 又an＝f (n)， ∴＝＝f (1)＝a1＝， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－．] 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)nan，求{bn}的前n项和Tn． 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)∵{an}为等比数列，其前n项和为Sn，S3＝21，S6＝189， 且S6≠2S3，∴q≠1，则两式作商得1＋q3＝9，即q3＝8，得q＝2，a1＝3，则an＝3×2n-1． (2)∵bn＝(－1)nan＝(－1)n·3×2n-1， ∴当n≥2时，＝＝－2， 即{bn}是首项为－3，公比为－2的等比数列， 则Tn＝＝＝－1＋(－2)n． 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图1所示．如图2所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．如图2阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝____________． 13 4－4×　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 4－4×　[设由外到内各正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an， 则a1＝4，a2＝＝a1， a3＝＝a2＝a1， …， 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 an＝＝an－1， 所以＝， 所以数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列， 则an＝4×． 由题意可得， S△AHE＝， 13 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 即b1＝，b2＝，…，bn＝， 于是bn＝＝，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列， Sn＝＝4×＝4－4×，n∈N*．] 13 $