4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式，通过国际象棋麦粒问题导入，从具体情境抽象出等比数列求和模型，衔接等比数列概念，以错位相减法为核心推导公式，搭建从问题到方法的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察麦粒问题提炼数学模型，用“数学思维”推导错位相减原理并分析公式函数特征，借“数学语言”解决实际问题。通过典例、性质探究及分层练习，助学生提升推理与应用能力，为教师提供系统教学资源。

4.3.2 等比数列的前n项和公式 第1课时 学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路.(难点) 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(重点) 3.能由等比数列前n项和公式特点判断等比数列. 刘雨萌 l 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. l 已知1000颗麦粒的质量约为40，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言. 导语 刘雨萌 思考：这个故事蕴含着一个怎样的数学问题呢？ 等比数列的前项和公式 一般化 263 1 21 22 23 设国王一共应该给的麦粒颗数为，则有 . 刘雨萌 l 我们发现，如果用公比乘①的两边，可得： ② ① ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别去减②的两边，就可以消去 这些相同的项. ①② ② ① ①②，得：， 即：， ∴. 错 位 相 减 刘雨萌 ① - ②作差，得到： 一般地，首项为1，公比为的等比数列的前项和 ① ② 消除相同项 乘公比 证明公式 错位相 减法 当 时，得到： 当 时，得到： 新知探究 刘雨萌 还有没有其它方法来证明等比数列的前项和公式？ 古埃及 提取公因式法 欧几里德法(Euclid) 拉克洛瓦(Lacroix) 新知探究 刘雨萌 两式作差得： 等比数列的前项和公式： 2.注意辨别： 1.乘公比，错位减； 一般地，首项为，公比为的等比数列的前项和 证明公式 新知探究 刘雨萌 分析公式 请同学们小组合作探究：除了乘以𝑞，还可以乘以其它数吗？ 同乘 向前错位 作差消项 新知探究 刘雨萌 请同学们小组合作探究：除了乘以𝑞，还可以乘以其它数吗？ 同乘 : 向后错两位 分析公式 新知探究 刘雨萌 已知量 求和公式 首项a1、公比 q（q≠1）与项数n 首项a1、末项an与 公比q（q≠1） 首项a1、公比q＝1 Sn＝na1 如何选择公式能让运算过程更简便呢？ 你能发现等比数列前项和公式的函数特征吗？ +++++ 学习笔记27页 刘雨萌 思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗？ 提示　Sn==-qn+，设A=-，则Sn=Aqn-A. 1.当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式是Sn= .即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn= ，Sn是n的正比例函数. 知识梳理 学习笔记29页 Aqn-A na1 当公比q≠1时，等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. 刘雨萌 回归故事情境，总共要多少粒麦粒？ 应用公式 刘雨萌 回归情境 据已有资料，1000粒麦子的质量为40克，麦粒的总质量超过7000亿吨； 按2023年世界小麦年产量7.9亿吨计算，是连续880多年的产量总和. 假想凑齐小麦，则可装满一个长10米、宽8米、高从地球到太阳距离大小的“巨仓”.（地球到太阳的距离大约1.5亿千米） 粮食凑不够 棋盘放不下 指数爆炸式增长的“威力”！ 国王做不到 刘雨萌 典例分析 (课本35页例7) 已知数列{an}是等比数列. (1)若a1=，q=，求S8； 因为a1=，q=，所以S8==. (2)若a1=27，a9=，q<0，求S8； 由a1=27，a9=，可得27×q8=，即q8=.又由q<0，得q=-， 所以S8==. (3)若a1=8，q=，Sn=，求n. 把a1=8，q=，Sn=代入Sn==. 整理，得=.解得n=5. 刘雨萌 跟踪训练 学习笔记28页例1 已知数列{an}是等比数列. (1)若a1=2，q=-，求S10； S10===×=. (2)若S4=1，S8=17，求an； 若q=1，则S8=2S4，不符合题意，∴q≠1， ∴S4==1，S8==17， 两式相除得=17=1+q4， 解得q=2或q=-2. 当q=2时，a1=，当q=-2时，a1=-， ∴an=×2n-1或an=-×(-2)n-1. 刘雨萌 (3)若q=，S100=150，求a2+a4+a6+…+a100的值. 方法一　S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100 =2(a2+a4+…+a100)+a2+a4+…+a100 =3(a2+a4+…+a100)=150， ∴a2+a4+a6+…+a100=50. 方法二　S100==150，整理得a1=75， ∴a2+a4+a6+…+a100==a1=×75=50. 刘雨萌 (课本36页例8) 已知等比数列的首项为-1，前项和为，若=, 求公比. 注意：一定不要忽略的情况 解法一： 不符合题意。 典例分析 刘雨萌 解法二： 已知等比数列的首项为-1，前项和为，若=, 求公比. =-， 刘雨萌 学习笔记28页跟踪训练1 已知数列{an}是等比数列. (1)若a1+a3=10，a4+a6=，求S5； 方法一　由题意知解得从而S5==. 方法二　由a4+a6=(a1+a3)q3，得q3=，从而q=. 又a1+a3=a1(1+q2)=10，所以a1=8，从而S5==. (2)若a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求公比q. 因为a2an-1=a1an=128，且a1+an=66，所以a1，an是方程x2-66x+128=0的两个根. 从而又Sn==126，所以q=2或. 刘雨萌 （教材37页例9）.已知等比数列的公比,前n项和为.证明成等比数列,并求这个数列的公比. 证明：当 成等比数列，公比为1. 刘雨萌 （教材37页例9）.已知等比数列的公比,前n项和为.证明成等比数列,并求这个数列的公比. 证明：当 成等比数列,公比是 刘雨萌 若等比数列的公比，前n项和为S则成等比数列,其中公比为. 等比数列的性质： 知识梳理 刘雨萌 已知等比数列的前项和为，若，， 则 ____． 解：因为数列是等比数列，所以，， 成等比数列， 即10，10，成等比数列， 显然，解得 ． 跟踪训练 刘雨萌 典例分析 学习笔记29页例2 　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列. 方法一　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1. 当n=1时，a1=S1=31-2=1不适合上式. ∴an= 由于a1=1，a2=6，a3=18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 方法二　由等比数列的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B，对比Sn=3n-2，2≠1，故{an}不是等比数列.(此法仅限选填题中使用) 刘雨萌 延伸探究1 若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k=　. ∵Sn=3n+1-2k=3×3n-2k，且{an}为等比数列，∴3-2k=0，即k=. 延伸探究2 若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=a·+5，则实数a=　　. - 由Sn=a·+5，可得Sn=3a·+5，依题意有3a+5=0，故a=-. 典例分析 刘雨萌 反思感悟 (1)已知Sn，通过an=求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an=Sn-Sn-1，当n=1时需验证是否满足此式. (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 刘雨萌 跟踪训练2 若数列{an}的前n项和Sn=tn-1(t∈R)，则此数列是 A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对 √ 当n=1时，a1=S1=t-1， 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=tn-tn-1=tn-1(t-1)， 当t=1时，an=0， 所以{an}是等差数列； 当t=0时，{an}为非等差数列，非等比数列； 当t≠1，且t≠0时，an=tn-1(t-1)， 所以{an}是等比数列. 刘雨萌 等比数列前n项和：首项为，公比为，则其前项和为 注意：当未知时，要分和两种情况讨论. 已知量 求和公式 首项、公比与项数 首项、公比与末项 课堂小结 刘雨萌 等比数列{an}前n项和Sn公式具的函数特性 令 刘雨萌 练习1.在等比数列中， （1）已知，，求前10项和； （2）已知，求前项和. 解 分析：根据已知条件选择合适的求和公式计算即可. 课堂练习 刘雨萌 练习2.等比数列则公比 由题意得 解： 刘雨萌 32 解： 刘雨萌 问题解决 练习4.我国明代数学家程大位撰写的《算法统宗》中这样一个问题: 三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关， 要见次日行里数，请公仔细算相还。 全程378里路 翻译：一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，这个人第二天走的里程数是多少？ 已知等比数列{an} 中，Sn=378 ， ， ，求a2 . 实际问题 数学问题 刘雨萌 解得： 注意：Sn , q, n , a1 , an 知三求二 已知等比数列{an} 中，Sn=378， 求 a2 . 刘雨萌 解法1： 练习5.已知等比数列 (1) (2) (3) 解法2： 成等比数列 得 将代入式可得 刘雨萌 随堂演练 1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于 A. B. C. D. √ 当x=1时，Sn=n； 当x≠1且x≠0时，Sn=. 刘雨萌 2.数列{an}中，a1=2，an+1=2an，若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25，则k等于 A.2 B.3 C.4 D.5 √ ∵an+1=2an，∴=2，又a1=2， ∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则an=2×2n-1=2n， ak+1+ak+2+…+ak+10===2k+1(210-1)=25(210-1)， ∴2k+1=25，则k+1=5，解得k=4. 随堂演练 刘雨萌 3.(多选)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N*)，则有 A.Sn=3n-1 B.{an}为等比数列 C.an=2·8n D.{Sn}为等比数列 √ √ B，C选项，an+1=2Sn， ① 当n=1时，a2=2S1=2a1=2， 当n≥2时，an=2Sn-1， ② ①-②得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an，故an+1=3an， 故{an}从第二项开始为公比为3的等比数列，B错误； 故an=C错误； A选项，Sn=1+2+6+…+2×3n-2=1+=3n-1，A正确； D选项，==3，故{Sn}为等比数列，D正确. 刘雨萌 4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=4×3n-1+t，则t=　　. - 设等比数列{an}的公比为q(q≠1)， 则Sn==-+， 即等比数列{an}的前n项和Sn要满足Sn=Aqn-A(Aq≠0)， 又因为Sn=4×3n-1+t=×3n+t， 所以t=-. 随堂演练 刘雨萌 作业 1.将古今中外与等比数列求和有关的证明方法制作成一幅手抄报. 必做题 选做题 教材37页课后练习题1-5.练透101页作业9 2.体会“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题中等比数列求和公式的极限思想. 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 当时，是一个特殊的指数型函数. 当时，是关于n的一次函数； Lavf58.20.100 当时，； 当时，； 当且时, 综上，. 练习3.求和： 记 $