精品解析：江苏省泰州中学2025-2026学年高一上学期第二次质量检测数学试题

江苏省泰州中学2025~2026学年度第一学期第二次质量检测 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1. 若，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限三角函数符号特征判断即可 【详解】由，得角的终边在y轴左侧，即第二或第三象限，或x轴负半轴， 由，得角的终边在第一或第三象限， 所以当时，为第三象限角. 故选：C 2. 函数（且）的图象所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数图象性质求出所过定点坐标. 【详解】对任意且，当，即时，，此时， 所以函数（且）的图象所过定点的坐标为. 故选：A 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由常见函数的函数图像即可判断奇偶性和在区间上的单调性，即可得出结论. 【详解】函数是奇函数，在区间上单调递减，故A不符合题意； 函数是非奇非偶函数，在区间上单调递增，故B不符合题意； 函数是偶函数，在区间上单调递增，故C不符合题意； 函数的定义域为，且满足， 又函数和均在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，即函数既是奇函数， 又在区间上单调递增，符合题意. 故选：D. 4. 若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以． 故选：C． 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 6. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的指数函数的性质和单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以. 因为为单调递减函数，所以. ， 因为为单调递增函数，所以. 因为为单调递减函数，所以. 所以. 故选：D. 7. 对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式以及绝对值的性质可得出结论. 【详解】因为 ，即， 当且仅当且时，上述不等式中的两个等号同时成立，故. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，代入等式，可得，再令，代入等式，可得，结合函数单调性，有，求解即可. 【详解】设，由题意可知，因为， 令，则，即，所以， 因为函数的定义域为，所以，即， 令，则， 即，所以， 又是定义在上的单调函数，所以， 整理得，解得或（舍）. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的有（ ） A. 化成角度为 B. 化成的形式是 C. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D. 在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用弧度的定义可判断C选项；利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是，C错； 对于D选项，在半径为的圆中，圆心角为的弧长为，D对. 故选：AD. 10. 德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，，下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 是函数的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，结合奇偶性、对称性逐项分析判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，则；当时，有， 因此对，均有，即为偶函数，B正确； 对于C，由，得，因此函数的值域为，C错误； 对于D，当时，；当时，，因此恒成立，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断，对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断，对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可. 【详解】对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度，得， 即得到的图象，所以A正确， 对于B，当时，，周期，在上是3个周期， 先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象， 再在同一坐标系中作出在的图象， 由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确， 对于C，当时，， 若在上有且仅有5个零点，则， 解得，所以C错误， 对于D，当时，， 由选项C可知，则， 所以， 所以， 所以在单调递增，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】结合根式、幂及对数的运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 13. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，结合转化为关于的不等式恒成立，即可求出实数的取值范围. 【详解】①因为函数，则 所以函数在上为减函数， 对任意的时，恒成立； ②若，即当时， 由可得， 化简得，所以，解得； ③若时，即当时， 由可得， 整理可得， 所以对任意的，不等式恒成立， 令，该二次函数的对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上为增函数， 只需，符合题意； 当时，即当时， 此时，解得，此时； 当时，即当时，此时函数在上单调递减， 此时只需，解得，此时. 所以，当不等式对任意的恒成立， 实数的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； （2）求函数的对称轴和对称中心； （3）解不等式． 【答案】（1）答案见解析，作图见解析 （2）对称轴为；对称中心为； （3） 【解析】 【分析】（1）分别令、、、、，解出的值，然后列表、描点、连线，可作出函数在一个周期内的图象； （2）利用函数的对称性可求得函数的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）由可得，即可解得原不等式的解集. 【小问1详解】 分别令、、、、得： 画出函数在一个周期的图象，如图， ·· 【小问2详解】 令，解得， 所以函数的对称轴方程为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问3详解】 因为，即， 所以，解得． 故不等式的解集为. 16. 已知，全集，集合，函数的定义域为集合B. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，，再利用集合的基本运算求解； （2）由题意可得是的真子集，列出不等式组，解出的取值范围即可． 【小问1详解】 集合， 当时， 由，解得，即， ， ； 【小问2详解】 ，， 若是成立的充分不必要条件，则是的真子集， ，解得， 即的取值范围为． 17. （1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． （2）已知，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值． 【答案】（1）①，②；（2）；（3）0. 【解析】 【分析】（1）根据任意角的概念和阴影部分表示的角，数形结合求出答案； （2）利用齐次化求出，再利用齐次化化简，代入求值即可； （3）由角的终边所在直线，可得角是第二或第四象限角，分别讨论正弦和余弦的符号，化简即可. 【详解】（1）① ， ②； （2），故， 解得， ； （3）， ∵角的终边落在直线上，∴是第二或第四象限角， 当是第二象限角时，， 当是第四象限角时，， 综上，的值为. 18. 已知函数是奇函数，是偶函数，且． （1）求的值； （2）设函数，求的值域； （3）设函数，为常数，证明：曲线是中心对称图形． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由①，得，结合函数奇偶性的定义可得出，可求出、的解析式，即可求出的值； （2）求得，化简函数的解析式，可得出，结合可求得的值域； （3）设，计算得出，然后令，计算出的值，结合函数对称性的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 由①，得， 因为函数是奇函数，是偶函数，则②， 联①②，解得，. 所以. 【小问2详解】 ， 对于，则，又因为，则， ， 因为，所以，所以， 所以，故的值域为. 【小问3详解】 首先， 则， 其次设， 则， 因为， ， 即， 因此，曲线是关于点对称图形． 19. 若已知函数的定义域为，且，若存在常数，使得中的任意、，都有，则称是“函数”． （1）判断函数，在上是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求的最小值； （3）设，若存在，使是“函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围． （注：） 【答案】（1）在上是；在上不是，理由见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可得出结论； （2）任取、且，根据“函数”的定义得出成立，结合参变量分离法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围； （3）根据函数为“函数”结合定义求出，再由题意得出即在上有两个不相等实根，令，转化为在上有两个不相等实根，令，，则直线与函数的图象在上有两个不同的交点，数形结合可得出关于的不等式组，结合可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题知，若函数是“函数”， 则对定义域的某个区间内的任意、，都有， 对于函数，若其为“函数”， 则，所以函数在上是“函数”； · 对于函数，若其为“函数”，则， 因为，不妨设，则， 则，，则， 所以函数在上不是“函数”. · 【小问2详解】 若函数是“函数”， 则对于定义域上任意两个、，均有成立， 因为 ， 所以恒成立， 因为，不妨设，则，所以，则， 所以，所以，所以，所以的最小值为. 【小问3详解】 因为函数是“函数”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，由，得· 因为， 即， 整理得， 所以关于的方程在上有两个不相等实根， 即在上有两个不相等实根， 令， 由得， 所以函数在上单调递增，故， 且， 则关于的方程在上有两个不相等实根， 即，令，， 所以直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图： 则，所以， 又，所以存在使得以上不等式成立， 则，， 所以，解得，所以的取值范围为· 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2025~2026学年度第一学期第二次质量检测 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1. 若，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 函数（且）的图象所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 7. 对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 8. 已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的有（ ） A. 化成角度为 B. 化成的形式是 C. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D. 在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 10. 德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，，下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 是函数的一条对称轴 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______． 13. 若，则______． 14. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； （2）求函数的对称轴和对称中心； （3）解不等式． 16. 已知，全集，集合，函数的定义域为集合B. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 17. （1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． （2）已知，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值． 18. 已知函数是奇函数，是偶函数，且． （1）求的值； （2）设函数，求的值域； （3）设函数，为常数，证明：曲线是中心对称图形． 19. 若已知函数的定义域为，且，若存在常数，使得中的任意、，都有，则称是“函数”． （1）判断函数，在上是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求的最小值； （3）设，若存在，使是“函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围． （注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $