精品解析：湖北省襄阳市襄州区双沟三校2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

九年级数学期中测试题 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 5. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 6. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 在同圆或等圆中，等弦对等弧 C. 优弧一定比劣弧长 D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 9. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y有最大值；⑤一元二次方程的解是，，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①③④ D. ②③⑤ 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 抛物线的图象经过原点，则的值是______． 13. 我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________． 14. 如图，水管横截面半径为13cm，水面宽，则水的最大深度 ___________cm． 15. 如图，在中，，点D在斜边上，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，的平分线交于点F，连接，若，则的长为_________． 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2） 17. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的范围； （2）如果方程两根分别为，，若，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，2)．请解答下列问题： （1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）画出△A1B1C1于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 20. 如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 （1）试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）； （2）玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 23. 半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． （3）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 24. 如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． （1）直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标； （3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中测试题 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：A 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 4. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0， ∴该函数的图象开口向上，故选项A错误， 函数的最小值是y=1，故选项B正确， 图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误， 抛物线的顶点坐标为（2，1），故选项D错误， 故选：B． 【点睛】考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系直接作答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个根，则有，． 6. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 7. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，从而求出，由此即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，熟知图形旋转前后大小和形状不发生变化是解题的关键． 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 在同圆或等圆中，等弦对等弧 C. 优弧一定比劣弧长 D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关概念． 根据圆的相关概念逐一判断即可． 【详解】解：长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，故不一定是等弧，A错误； 在同圆或等圆中，一条弦所对的优弧和劣弧通常不相等（直径时相等），故“等弦对等弧”的说法错误，B错误； 优弧与劣弧长度比较需在同圆或等圆中，否则不一定成立，C错误； 在同圆或等圆中，圆心角相等则所对弦相等，D正确； 故选：D． 9. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向上， 在对称轴右边，y随x的增大而增大， 关于对称轴的对称点为， ，，两点在对称轴右边，y随x的增大而增大， ， ， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y有最大值；⑤一元二次方程的解是，，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①③④ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数的开口方向确定a的符号，根据对称轴确定b的符号，根据二次函数的图象与y轴的位置确定c的符号即可判断； ②根据时的函数值即可判断； ③根据对称轴是直线即可判断； ④根据抛物线开口方向和对称轴可作判断； ⑤根据抛物线与x轴的交点即可判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点，利用好特殊自变量的函数值的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图象得： 函数图象开口向下， 与y轴的交点在x轴上方，与x轴的交点是，， ∴． 对称轴为， 即， 则 ∴ ∴， 故①错误； 当时，，且， ∴ ∴， 故②错误； ∵， ∴， 故③正确； ∵函数图象开口向下，对称轴为， 当时，y有最大值， 故④正确； 一元二次方程的解指的是与x轴的交点， 二次函数与x轴的交点是，，故，， 故⑤正确． 综上所示，正确的结论有③④⑤． 故选：B． 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 抛物线的图象经过原点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标特征把原点坐标代入即可计算出的值，理解二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题的关键 【详解】解：把代入得， ， 故答案为：． 13. 我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该楼盘这两年房价平均降低率为x，则2014年房价为元，2015年房价为元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14. 如图，水管横截面半径为13cm，水面宽，则水的最大深度 ___________cm． 【答案】18 【解析】 【分析】过O作于C，交优弧于D，连接，则，由垂径定理得，再由勾股数得，即可得出结论． 【详解】解：过O作于C，交优弧于点D，连接，如图， 则，， 在中，由勾股定理得：， ∴． 即水的最大深度为18cm， 故答案为：18． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识的运用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，勾股定理． 15. 如图，在中，，点D在斜边上，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，的平分线交于点F，连接，若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，进而得到，勾股定理算出，再证明，得出，，勾股定理算出，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ∵平分， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是本题的解题关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 则或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 则或， 解得：． 17. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的范围； （2）如果方程两根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系，运用韦达定理进行即可即可求解； 本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得，． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数关系可知，， ∴， 解得，，， ∵， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，2)．请解答下列问题： （1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）画出△A1B1C1于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标． 【答案】 （1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（4，0）； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2（﹣4，0）． 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【小问1详解】 把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 20. 如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴ 设的半径是， ， ， ， 的半径是． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 22. 某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 （1）试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）； （2）玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ （3）如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 【答案】（1） （2）成本为10元每件，时月销售总利润最大，最大利润是4500元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）设成本为m元，根据每件利润数量总利润列方程求解；根据每件利润数量总利润建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）根据题意得到，再转化为利用二次函数图象解一元二次不等式． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为，则， ，解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设成本为m元， 由题意可得：， 解得（元）， 则， ∵， ∴当时，W有最大值，为4500元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 即， 解方程得 令， 由得抛物线开口向上 ∴当时，． 23. 半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． （3）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【答案】（1） 证明：逆时针旋转得到， ，， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）由（1）的全等得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． （3）拓展延伸：如图，在正方形中，、分别在边、上，且，连接，同（2）可得结论仍然成立，再结合，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则． ∴； 【小问3详解】 解：如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到， 由旋转可得，，，，， ， ， ， ， 点、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， ； ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 则的周长为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． （1）直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标； （3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）作交于点D，则，得到 ，由二次函数的性质可得 ，即可得出点B的坐标， （2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立．即可求出点C的坐标． （3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案． 【小问1详解】 如图1，作交于点D， ∵， ∴， ∴， ∵、B为二次函数与x轴的交点， ∴、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 设抛物线解析式为， 将代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 联立， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． 【小问3详解】 ∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点， ∴，， 如图2，当点D在点C左侧时， ， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点D在点C右侧时， ， ∴， ∵， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大． 综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $