第25章概率初步 期末综合复习训练题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第25章概率初步》期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列事件中是随机事件的是（    ） A．太阳从东边升起 B．水中捞月 C．抛掷一枚硬币次，次都是正面朝上 D．三角形任意两边之和大于第三边 2．下列事件是必然事件的是（   ） A．校园篮球比赛，九年一班获得冠军 B．五边形外角和是 C．掷一枚硬币时，反面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况 3．不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 4．从下列4个命题中任取一个：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长为．是真命题的概率是（　　） A．1 B． C． D． 5．一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外都相同．小红通过多次重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定于，则布袋中白球可能有（    ） A．20个 B．21个 C．22个 D．23个 6．如图，圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（若指针恰好停在等分线上，则重转一次），指针指向区域所标数字为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 7．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 8．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 二、填空题 9．从2，0，2，5，中随机地选一个数，则选到奇数的概率是 ． 10．广东省现在实行高考“”选科制度，意为门语数英必考，物理与历史选择科进行考试，化学、生物学、思想政治、地理科选科进行考试．现在小仑从化学、生物学、思想政治、地理科选科，他选的科中有科是化学的概率是 ． 11．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数字．如果连续掷3600次，“掷出上面是5点”的频数约为 次． 12．将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是 ． 13．为贯彻教育部《关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》精神，某校生物兴趣小组的同学在相同试验条件下开展“水果玉米”种子萌发试验，经过长时间的统计发现：该种子在一定条件下萌发的频率稳定在，若学校劳动基地需要该批次“水果玉米”幼苗株，试估算需要准备 粒种子进行萌发培育． 14．一只小猫在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在深色方砖上的概率是 15．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为 ． 16．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，表示电路的开关（同时闭合开关与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是 ． 三、解答题 17．下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落下；（2）某人的体温是；（3）（a，b都是实数）；（4）四边形的内角和是；（5）投一次篮球，命中；（6）下雨后出现彩虹． 18．一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 19．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个． (1)从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率； (2)小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 20．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 21．中秋节前，某校举行“传经典，乐中秋”系列活动，九（1）班根据活动分别制作了编号为、、、的4张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． 品月饼 讲故事 诵诗词 创美文 (1)若从4张卡片中随机选择一种，则选到“讲故事”卡片的概率为___________； (2)该班的小秋先从4张卡片中随机抽取1张，该班的小军再从余下的3张卡片中随机抽取1张、请用画树状图法或列表法，求小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率． 22．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________；（精确到0.01） (2)试估算盒子里白球有__________个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是__________（填写所有正确结论的序号）； ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”；②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”；③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上；④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲 (4)李老师利用这个盒子内的球提出了一个问题，先摸一个球，放回，再摸一个球，两次均摸到白球的概率是多少？小瑞打算直接画树状图求解，发现过于复杂．小璇经过思考设计了一个等价的方法，她计算黑白球的比例后，将转盘平均分成四份，…，按照这种思路，设计出如图所示示意图，请你根据示意图利用树状图或列表法求解． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件，解决本题的关键是弄清楚以上事件的定义；必然事件：每次随机试验中一定会出现的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、太阳从东边升起是必然事件； B、水中捞月是不可能事件； C、抛掷一枚硬币次都正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件； D、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、校园篮球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故此选项不符合题意； B、五边形外角和是，是必然事件，故此选项符合题意； C、掷一枚硬币时，反面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意； D、打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题考查概率的简单计算，掌握知识点是解题的关键． 直接应用概率公式计算，绿球个数除以总球数即可． 【详解】解：∵袋子中装有1个红球和3个绿球，总球数为个， ∴从中随机摸出一个球，恰好是绿球的概率为． 故选D． 4．D 【分析】由垂径定理，弧长的计算公式，确定圆的条件进行判断，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：①不共线的三点确定一个圆，因此原命题是假命题； ②平分弦不是直径的直径垂直于弦，因此原命题是假命题； ③长度相等的弧不一定是等弧，因此原命题是假命题； ④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长为，因此原命题是真命题， ∴从4个命题中任取一个是真命题的概率是 故选：D． 【点睛】本题考查命题与定理，垂径定理，确定圆的条件，弧长的计算、概率公式，关键是掌握垂径定理，弧长的计算公式，不共线的三点确定一个圆． 5．B 【分析】本题考查概率的意义，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 根据频率估计概率的原理，摸到黄球的频率稳定于0.3，即黄球的概率约为0.3，由此可求出黄球数量，再求白球数量． 【详解】解：设黄球有x个， ∵ 总球数为30，且摸到黄球的频率稳定于， ∴ ， 解得， ∴ 白球数量为（个）。 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了概率公式，根据在数字1、2、3、4中，2、4都是偶数，再根据概率公式进行列式计算，即可得出针指向区域所标数字为偶数的概率． 【详解】解：∵圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4， ∴指针指向区域所标数字为偶数的概率是， 故选：C 7．D 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：． 8．B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 9． 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，奇数与偶数的认识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 从数字2，0，2，5，中随机选一个数，总共有5个数，其中奇数为5和，共2个，因此选到奇数的概率为奇数个数与总个数的比值． 【详解】解：数字2，0，2，5，中，2和0是偶数，5和是奇数，故奇数有2个．总数字个数为5，所以概率为． 故答案为． 10． 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画树状图求出所有出现等可能的结果有种，所选中门学科恰好有“化学”的结果有种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：把化学、生物学、思想政治、地理分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示： 由上图可知，所有出现等可能的结果有种，所选中门学科恰好有“化学”的结果有种， ∴选中门学科恰好有“化学”的概率为， 故答案为：． 11．600 【分析】本题考查了概率的基本应用，用频率估计频数，熟练掌握基础定义是解题关键； 根据投掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出上面是5点的概率为，再与次数相乘即可． 【详解】解：∵投掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出上面是5点的概率为， ∴“掷出上面是5点”的频数约为：（次）， 故答案为：600． 12． 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设鲜用A表示、灵用B表示、东用C表示、港用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中C和D的有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，用需要该批次“水果玉米”幼苗株除以该批次“水果玉米”种子萌发的概率可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵该种子在一定条件下种子萌发的频率稳定在， ∴该批次“水果玉米”种子萌发的概率为， ∴需要准备（粒）， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小猫随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，深色方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小猫随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，深色方砖占块， ∴最终停留在深色方砖上的概率为， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 总面积乘落在黑色阴影的频率稳定值即可得出答案． 【详解】解：∵一个面积为的正方形，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让小灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合两个开关，所有可能的情况有：、、、、、，共种．同时闭合开关与或与，小灯泡发光，能让小灯泡发光的情况有、，共种． ∴小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 17．（1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解∶ （1）（4）是必然事件，（2）（3）是不可能事件，（5）（6）是随机事件． 18．(1)黑 (2)可以，取出个黑球或放入个红球就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同 【分析】（）根据两种球的数量即可判断求解； （）使两种球的数量相同即可使摸到红球和摸到黑球的可能性相同； 本题考查了可能性大小，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 19．(1) (2)5 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）先求出黑球的数量，再由概率公式计算即可得解； （2）先根据任意摸出一个球是黑球的概率为求出盒子中球的总量，即可得解． 【详解】（1）解：因为共20个球，其中红球5个，白球9个， 所以黑球有（个）， 从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率为； （2）解：因为任意摸出一个球是黑球的概率为， 所以盒子中球的总量为：（个）， 所以可以将盒子中的白球拿出（个）， 所以． 20．(1) ， (2)该游戏不公平，理由见答案 【分析】（1）根据概率的概念进行求值即可； （2）先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可. 【详解】（1）解：； . （2）解： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， ∴小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等 ∴该游戏不公平. 【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键. 21．(1) (2) 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 【详解】（1）解：从4张卡片中随机选择一种有种结果，选到“讲故事”卡片有种结果， 选到“讲故事”卡片的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下 共有种等可能结果，小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的结果有种结果， ， 答：小秋、小军两人中恰好有一人抽到“诵诗词”卡片的概率为. 22．(1)0.25 (2)5 (3)①④ (4) 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． （1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案； （4）首先利用列表法求出所有可能的结果，找出两次均摸到白球的结果数，即可得出答案． 【详解】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25； 故答案为：0.25； （2）解：根据题意得：（个）， 则盒子里白球有5个， 故答案为：； （3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． （4）解：列表如下： 白 黑 黑 黑 白 （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，黑） 黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑） 黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑） 黑 （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） （黑，黑） 共有16种等可能的结果，其中这2次均为白球的结果有：（白，白），共1种， 两次均摸到白球的概率是． 学科网（北京）股份有限公司 $