第24章圆 期末综合复习训练题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第24章圆》期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 2．下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（    ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 3．如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C是上的三点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．6 6．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 7．如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，内接于，其外角平分线交于，于，于，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 9．已知的半径是9，当时，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 10．圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ． 11．如图，弧为等边三角形的外接圆上的一段优弧，若，则优弧的长度为 ． 12．已知的两直角边分别是一元二次方程的两根，则此的外接圆半径与内切圆半径的和是 ． 13．如图，、是切线，切点为、，、在上，若，则为 ． 14．如图，在中，是直径，弦，D是的中点，与交于点E．若E是的中点，则的半径长是 ． 15．如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为 （结果保留）． 16．如图，为外一点，分别切于点切于点，分别交于点． （1）若，则的周长为 ； （2）若，连接，则 °． 三、解答题 17．如下图所示，是半圆O的直径，，垂足为，，与分别交于点．证明：． 18．如图，，是的直径，过弦的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径 20．如图，是的直径，是的两条弦，且与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弦的长； (3)在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线． 21．如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、． (1)求证：； (2)连接，延长交于点，延长交于点当为的中点时，求证：； (3)若的半径为，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 22．如图，、为圆的两条弦，直线、垂直于点，连接，直线于点，直线交直线于点．    (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，若点在圆内部，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长，交圆于点，连接并延长，交于点，交圆于点，与交于点，交于点，交于点，若，，，求圆的半径． 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查真假命题的判定，圆的性质，圆周角定理，四点共圆的判定以及切线的判定，根据这些知识一一判定即可得出答案． 【详解】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查正多边形的中心角，旋转的性质，旋转对称图形的性质；正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的中心角都相等，正多边形的中心角的度数就是要旋转与自身重合所至少要旋转的度数，据此解答即可. 【详解】解：正n边形的中心角，正n边形绕其中心至少旋转能与自身重合 A、正三角形的中心角为，绕其中心旋转后，能与自身重合，故A不符合题意； B、正方形的中心角为，绕其中心旋转后，能与自身重合，故B不符合题意； C、正六边形的中心角为，绕其中心旋转后，能与自身重合，故C不符合题意； D、正八边形的中心角为，绕其中心旋转后，能与自身重合，故D符合题意； 故选：D. 3．B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直接根据直线与圆的位置关系可得出结论． 【详解】解：∵的半径是2，圆心O到直线l的距离是，， ∴直线与相交． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，，求得，在中，由勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：C． 6．解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 7．解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 8．C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．由A、B、C、D四点共圆，可得，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得，可得；通过证明和，推出和，通过边的关系可以判断②③④． 【详解】解：∵A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵外角平分线交于， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①说法正确； ∵是平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②说法错误； ∵，， ∴， ∴， ∴ ，故③说法正确； ，故④说法正确； 故选：C． 9．圆内 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系进行解答即可得． 【详解】解：∵点到圆心的距离， ∴该点P在内， 故答案为：圆内． 10． 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的性质和弧长公式应用，求出圆的半径和圆心角的度数，再运用弧长公式可求解． 【详解】解：连接，并延长，交于点，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，, ∴， 解得，即， 所以，优弧的长度， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直角三角形的外接圆和内切圆的问题．解出方程，可得两直角边是3或4，再由勾股定理可得的长，可求出的外接圆的半径；设的内切圆圆心为点O，与三边的切点分别为点D，E，F，连接，设内切圆的半径为r，结合切线长定理可求出内切圆的半径，即可求解． 【详解】解：解方程，得： ， 即两直角边是3或4， 根据勾股定理得：斜边长为：， 即的外接圆直径为5， ∴的外接圆的半径为． 如图，设的内切圆圆心为点O，与三边的切点分别为点D，E，F，连接，设内切圆的半径为r， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即内切圆的半径为1， 此的外接圆半径与内切圆半径的和是． 故答案为： 13．/度 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据切线长定理得出：，则，根据角的和差即可求出答案． 【详解】解：连接， 、是的切线，切点为A、D，点B、C在上， 四边形是的内接四边形， ， 、是的切线，切点为A、D， 根据切线长定理得出：， ， ， ， 故答案为：． 14．3 【分析】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据垂径定理得出，，进而证明是的中位线，根据三角形中位线定理求得，证明，从而求得，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，连接，交于， 是的中点， ，， ， ，， 是的中位线， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即， ，（负值已舍去）， ， 故答案为：3． 15． 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，扇形面积等知识点，连接，由题意得：，推出是等边三角形，，，进而得，，证，推出即可求解； 【详解】解：连接，交于，如图所示： 由题意得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即平分； ∴，， ∵， ∴； ∴； ∴， 故答案为： 16． 12 60 【分析】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型． （1）根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长等于； （2）连接、、根据切线性质，，再根据全等三角形可知，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵分别切于点切于点， ∴，，， ∴的周长为：， 即的周长为． （2）如图，连接，，， ∵分别切于点， ∴， ∵四边形内角和为，且， ∴， 在和中， ∴， ∴． 故答案为：，． 17．证明见解析 【分析】由圆周角定理、等弧所对的圆周角相等可得，，再根据，可得，由同角的余角相等可得，最后根据等角对等边即可证明． 【详解】证明：如图，连接． ， ． 是半圆O的直径， ， ． 又， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、同角的余角相等、等角对等边，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题关键． 18．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，，继而推导出，得到，则，即可解答； （2）连接，由（1）得到，推导出，，，根据勾股定理，得到，由的面积，求出，则，即可解答． 【详解】（1）证明：为的直径，过弦的中点， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，由（1）得：， 是的直径， ，， ， 为的切线， ， ， 的面积， ， ． 19．(1)见解析 (2)的半径为3 【分析】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）连接，由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证； （2）由勾股定理可得，设的半径为r，则，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接． ， ． ， ． 是的切线， ，即． 在中，， ． ． ． （2）解：在中，，，， ． ． 在中，，设的半径为r，则，， ． 解得．即的半径为3． 20．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键； （1）可证，则由定理可证明结论； （2）连接，根据垂径定理可得，根据全等三角形的性质可得，从而证明是等边三角形，由直角三角形的性质即可求解； （3）根据是等边三角形，可得，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：是的直径， ． ， ； （2）解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，圆周角定理，得到, ,结合，证明即可； （2）根据已知，证明即可得证； （3）利用菱形的判定，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，结合解得即可． 本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线为的切线，为的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵是的直径， ∴， ∴, ∵， ∴． （2）证明∵为的中点，延长交于点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线为的切线，为的半径， ∴， ∴． （3）解：根据（2）证明，得，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵为的中点，连接，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 22．（1）证明：如图1，连接，    ， ， 于，于， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ()， ， 垂直平分， ， ， 平分． （2）证明：， ， 于，于， ， ， ， ， ， 即， ， 即， 在和中， ， ()， ； （3）解：如图3，连接、、，作点关于的对称点，连接，过点作交的延长线于点，连接，    设， 由（2）得：， 于，交于点， ， ， ， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即：， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则有，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 整理得： 解得：，(舍去)， ； 故圆的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $