江苏省海门中学2025-2026学年高一上学期周测五数学试题 （11.2）

江苏省海门中学高一数学周末练习 5 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的非空真子集个数为（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 2．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 5．函数f(x)=|x|+ (aR)的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知，满足，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 10．下列命题中是真命题的是（    ） A．的最小值为2； B．当a＞0，b＞0时，； C．若a2+b2=2，则a+b的最大值为2； D．若正数a，b满足则的最小值为. 11．已知是定义域为的奇函数，且，当时，恒成立，则（    ） A． B． C．当时 D．在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，则 . 13．已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ． 14．已知函数，其中， （1）若函数在单调，则实数的范围是 ； （2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数的值域为 . 四、解答题：本题共5小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题 13 分)求下列各式的值： (1)（其中，．注意：结果用分数指数幂表示）； (2)； (3)已知，，试用，表示． 16．(本小题 15 分)已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B， (1)当时，求； (2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．(本小题 15 分)已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)解不等式：； (3)若表示a，b中较小的值），求实数的取值范围. 18．(本小题 17 分)学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但福佑崇文阁结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，且，求证：； （ii）已知，求的最小值． 19．(本小题 17 分)若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.已知奇函数的定义域为，当时， (1)求的解析式; (2)求函数在上的2倍倒域区间; (3)若以函数在上的2倍倒域区间上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学高一数学周末练习 5 制题人： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的非空真子集个数为（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】C 【分析】先化简分式解一元二次不等式，再得出集合A，最后应用非空真子集个数公式计算求解. 【详解】由可得，即， 即解得. 于是，共4个元素，故其非空真子集个数为个. 故选：C. 2．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件. 【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题， 所以，在区间上恒成立，所以， 所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”. 故选：B 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】要使有意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为． 故选：D． 4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 5．函数f(x)=|x|+ (aR)的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对分类讨论，将函数写成分段形式，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图象即可. 【详解】， ① 当时，，图象如A选项； ②当时，时，， 在递减，在递增； 时，，由，单调递减， 所以在上单调递减， 故图象为B； ③当时，时，，可得， ，在递增， 即在递增，图象为D； 故选：C. 6．已知，满足，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意求出的解析式，再用换元法即可得到答案. 【详解】由题意得， 所以， 又因为，所以， 即， 令，则， 原函数， 所以. 故选：C. 7．定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域关于原点对称求出，再利用函数的奇偶性求出，然后利用奇函数的性质和单调性解抽象函数不等式即可； 【详解】函数的定义域关于原点对称，可得，即，即定义域为． 又，从而有，即， 解得，是上的减函数． 又函数为奇函数，故， 因此解得， 故选：D． 8．已知函数，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性定义可确定为偶函数；利用单调性定义可判断出在上单调递增，并结合偶函数性质可得到在上单调递减；利用单调性可将所求不等式化为，平方后解一元二次不等式可求得结果. 【详解】由题意得：； 当时，，， 为定义在上的偶函数， 设，则， 在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减， 由得：，即，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．关于的不等式（）的解集可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 10．下列命题中是真命题的是（    ） A．的最小值为2； B．当a＞0，b＞0时，； C．若a2+b2=2，则a+b的最大值为2； D．若正数a，b满足则的最小值为. 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式分别判断A、B、D选项，C选项可设，利用三角函数的值域求范围. 【详解】A选项，，则， ，当且仅当，即时成立，又，故A错； B选项，当a＞0，b＞0时，， 当且仅当，即时等号成立，B正确； C选项，设，则， C正确； D选项，，， 则，当且仅当且时等号成立，解得，故D正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题. 11．已知是定义域为的奇函数，且，当时，恒成立，则（    ） A． B． C．当时 D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】由函数单调性判断D；令，得其在上单调递减，由结合函数的奇偶性判断AB；结合判断C. 【详解】当时，恒成立，得， 即，函数在上单调递减，D正确； 而，设，则对恒成立， 因此函数在上单调递减， 则，即，即， 因此，A正确，B错误； 由，得，当时，，即，C错误. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，则 . 【答案】 【分析】换元法直接求解即可. 【详解】令，则， 则 即 故答案为：. 13．已知正数x，y满足，则xy的最大值是 ． 【答案】 【分析】解法1：由题意可得，令，，得，，代入，进而利用基本不等式可求解.解法2：，令，可得，令，可得，结合基本不等式可求解. 【详解】解法1：， 令，，得，， 则， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是； 解法2：， 令，则 令，则， ， 当且仅当，即时取得等号． 所以xy的最大值是. 14．已知函数，其中， （1）若函数在单调，则实数的范围是 ； （2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】（1）利用单调性的定义进行处理. （2）利用函数图象以及换元法来处理. 【详解】（1）当时，，在单调递增，当时，，其对称轴为，所以在 上单调递增，若函数在单调，则， 解得. （2）若存在互不相等的三个实数，，，使得， 则的图象如图所示： 则，即，解得或(舍去). 对于函数，令，，所以， 其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数的值域为. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题 13 分)求下列各式的值： (1)（其中，．注意：结果用分数指数幂表示）； (2)； (3)已知，，试用，表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化以及指数幂的运算法则进行求解； （2）利用指数的运算法则、对数恒等式以及对数的运算法则进行求解； （3）利用换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）， ，，， （或）. 16．(本小题 15 分)已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B， (1)当时，求； (2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）求解分式不等式和一元二次不等式，解得集合，再求交集即可； （2）根据的充分不必要条件可知是的真子集，列不等式求的取值范围即可. 【详解】（1）要使得有意义，则，得，解得：， 所以； 当时，，要使得有意义，则，解得：或， 所以或， 故或. （2）以为，即，解得：或， 所以或， 由题意可知是的真子集，所以或（等号不同时成立）， 得或. 17．(本小题 15 分)已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)解不等式：； (3)若表示a，b中较小的值），求实数的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用奇偶性定义，令、，结合已知等量关系判断证明奇偶性； （2）利用函数单调性定义判断区间单调性，结合奇函数性质确定函数在定义域上的单调性，应用奇函数、单调性解不等式求解集； （3）令，问题化为，求参数范围. 【详解】（1）为奇函数，证明如下， 因为的定义域是，关于原点对称， 令，则，所以， 令，则， 所以，所以为奇函数. （2）不妨设，由，得， 则在上单调递减，又是定义在上的奇函数. 所以在上单调递减. 则可变形为， 则，解得. 故所求不等式解集为. （3）由（1）（2）知在上是减函数，且，所以， ，令， 当时，；当时，恒成立，故. 因为，当且仅当时等号成立，故. 综上，实数的取值范围是. 18．(本小题 17 分)学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但福佑崇文阁结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，且，求证：； （ii）已知，求的最小值． 【答案】(1)韩梅梅的解法正确；李雷的解法错误，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）在李雷的解法中，取得最小值时，，，与已知条件相矛盾，即可说明； （2）将转化为，根据基本不等式即可证明；由得，代入，结合基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】（1）韩梅梅的解法正确，李雷的解法错误； 在李雷的解法中，，等号成立时； ，等号成立时， 那么取得最小值时，， 这与已知条件是相矛盾的． （2）（i），且， ，当且仅当时取等号． （ii）因为，所以， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 19．(本小题 17 分)若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.已知奇函数的定义域为，当时， (1)求的解析式; (2)求函数在上的2倍倒域区间; (3)若以函数在上的2倍倒域区间上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解； （2）利用的单调性求出a，b，由“倒域区间”的定义即可求解； （3）由题得函数图像与函数的图像有两个交点，对m讨论，利用根的分布求解即可. 【详解】（1）当时，，所以， 为奇函数，所以， 所以. （2）当时，在单调递减， 由题意在内的值域为，且在上单调递减， 所以， 所以a，b为方程的两个不等实根，，且， 所以，所以在上的2倍倒域区间为 （3）由()得，， 所以， 由题得函数图像与函数的图像有两个交点， 当时，的图像开口向上，且过点所以的图像与函数的两段图像各有一个交点， 当时，由得，令，， 所以得又，所以， 当时，由得，令，， 所以得，所以，所以 当时，时由得，时由得方程无解. 当时，的图像开口向下，对称轴， 由题的图像与函数在的图像有2个交点， 由得，令，， 所以不等式组无解. 综上所述存在满足条件. 【点睛】思路点睛：二次项函数的最高项系数含参，需要对参数进行分类讨论；研究函数在某个区间内交点个数可以转换为方程在对应范围内解的个数，在转换为二次项函数在对应期间内与轴交点个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $