5.3　直角三角形全等的判定课件2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“直角三角形全等的判定”，核心内容为“斜边、直角边”（HL）定理。课堂导入通过回顾一般三角形全等的判定依据，引导学生思考直角三角形的特殊情况，搭建新旧知识联系的学习支架，自然过渡到新知探究。 其亮点在于推导过程严谨，利用勾股定理将斜边和直角边对应相等转化为三边对应相等，通过SSS证明全等，培养学生推理意识。例题与练习结合几何证明（如例1证Rt△BEC≌Rt△CDB）和尺规作图（作已知直角边和斜边的直角三角形），注重知识应用，体现用数学语言表达现实世界。习题分层设计，从基础到变式，助力学生发展几何直观与创新意识，教师使用可高效提升教学效果。

5.3　直角三角形全等的判定 第5章　直角三角形 1 情景导入 1.说出判定一般三角形全等的依据，并说出它们的共同点． 2.有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 自学互研 知识模块一　直角三角形全等的判定 若有一锐角和一边分别相等，则由角角边或角边角就可以判定两个直角三角形全等； 若有两直角边分别相等，则由边角边也可以判定两个直角三角形全等， 若有一条直角边和斜边分别相等，这两个三角形全等吗？ A B C 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'， AC=A'C. A' B' C' 如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C' 中，∠C =∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C′. 在Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC2 = AB2－AC2， 同理，在Rt△A'B′C′中，B'C'2 = A'B'2－A'C'2， 由于AB = A'B'，AC = A'C' ， 因此BC2 = B'C'2，从而 BC= B'C′. 在△ABC与△A'B'C′中， A B C A' B' C' 因此△ABC≌△A′B′C′（边边边）. AB=A′B′ BC=B′C′ AC=A′C′ A B C A' B' C' 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成 “斜边、直角边”或“HL”） C A B C' A' B' 文字语言： 直角三角形全等的判定定理（“斜边、直角边”定理）： 归 纳 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） AB=A′B′ ， BC = B′C′， 几何语言： C A B C' A' B' 知识模块二　“斜边、直角边”定理的应用 例1 如图，BD，CE 是△ABC 的高，且BE = CD. 求证：Rt△BEC ≌ Rt△CDB. 证明 因为BD，CE是△ABC的高， 所以∠BEC =∠CDB = 90°. 在Rt△BEC 和Rt△CDB 中， A B C E D BC = CB， BE = CD， 所以Rt△BEC ≌ Rt△CDB （斜边、直角边）. A B C E D 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AC上，点E在BA的延长线上，BD＝CE，BD的延长线交CE于点F.求证：BF⊥CE. 练 习 E B C A F D 证明：在Rt△BAD和Rt△CAE中， ∴Rt△BAD≌Rt△CAE(斜边、直角边). ∴∠ABD＝∠ACE. 又∵∠BDA＝∠CDF， ∴∠CFD＝∠BAD＝90°， 即BF⊥CE. BD＝CE, AB＝AC, E B C A F D 如图，已知线段a，c（c＞a）. 求作Rt△ABC，使得斜边AB = c，一条直角边BC = a. 作法 (1) 作∠MCN= 90°. A M C B N 知识模块三　作直角三角形 例2 已知一直角边和斜边，作直角三角形。 (2)在CN上截取CB，使CB=a. 13 (3)以点B为圆心，以c为半径画弧，交CM于点A，连接AB.则△ABC为所求作的直角三角形，如图所示. A M C B N 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，请利用直角三角形全等的判定方法“斜边、直角边”，求作Rt△DEF，使Rt△DEF≌Rt△ABC. 解：作Rt△DEF如图所示． 练 习 A B C F N M 作法：(1)作∠MFN＝90°； 15 (2)在FM上截取FD，使FD＝CA； (3)以点D为圆心，以AB的长为半径画弧，交FN于点E，连接DE，则△DEF为所求作的直角三角形．   E D F N M 课堂小结 “斜边、 直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 17 一、 选择题 1. 如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边”定理直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充的条件是（　D） A. AB＝DF B. ∠B＝∠F C. ∠ACB＝∠DEF D. BC＝FE D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，AB＝CD，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F. 给出下列条件：① ∠B＝∠C；② AB∥CD；③ BE＝CF；④ AF＝DE. 其中，选择一个就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是（　D　） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，且AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，连接AE. 若∠B＝28°，则∠AEC的度数为（　B　） A. 28° B. 59° C. 60° D. 62° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是经过点A的一条直线，且点B，C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，CE＝2，BD＝6，则DE的长为（　D　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. ★如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（　） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 如图，AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接根据“斜边、直角边”定理判定Rt△ABC≌Rt△DBE，则还需要添加的一个条件是 　AC＝DE　. AC＝DE　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE＝DF，AB＝DC，则图中可用“斜边、直角边”定理证明全等的三角形有 　答案不唯一，如△ABE和△DCF　（写出一对即可）. 答案不唯一，如△ABE和 △DCF　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. （教材P176习题5.3第1题变式）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为 　110°　. 110°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE＝FB，AC＝DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为 　斜边、直角边　. 斜边、直角边　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 新考向·尺规作图 如图，已知线段a，求作直角三角形，使一直角边为a，斜边为3a（保留作图痕迹，不要求写出作法）. 　　 解：如答案图，Rt△AOB即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，D是EF上一点，AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，AE＝CF，连接BD. 求证：Rt△ADE≌Rt△CDF. 第11题 解：在Rt△ABD和Rt△CBD中， 所以Rt△ABD≌Rt△CBD（斜边、直角边）.所以AD＝CD. 因为AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，所以∠E＝∠F＝90°.在Rt△ADE和Rt△CDF中， 所以Rt△ADE≌Rt△CDF（斜边、直角边） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.求证：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等. （1） 在如图所示的Rt△ABC和Rt△A'B'C'（∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'）上用尺规作出边BC与边B'C'上的中线（不写作法，保留作图痕迹）； 解：（1） 如图，AD，A'D'即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 写出已知、求证和证明过程. 解：（2） 已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD，A'D'分别为边BC，B'C'上的中线，且AD＝A'D'.求证：Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'.证明：在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以Rt△ADC≌Rt△A'D'C'（斜边、直角边）.所以CD＝C'D'.因为AD，A'D'分别为边BC，B'C'上的中线，所以BC＝2CD，B'C'＝2C'D'.所以BC＝B'C'.在△ABC和△A'B'C'中， 所以△ABC≌△A'B'C'（边角边） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $