精品解析：天津市第二中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026（一）天津二中高二年级第二次月考 数学学科试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 2. 直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线垂直计算求出参数，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】直线：和直线：， “”，等价于，解得或. 所以“”可以推出，但“”时未必有 “”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期性可得结果. 【详解】由，，则，， 所以， 所以数列是周期为3的周期数列，则. 故选：B. 4. 已知为椭圆上一点，则C的焦距为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入C的方程得，故，再根据焦距概念得解. 【详解】因为点在C上，代入C的方程得，解得，故， 所以C的焦距为. 故选：C. 5. 已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）． A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 6. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 7. 如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设，由，综合题目条件得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】假设， 因为， 因为，，所以，， 所以，又， 所以, 因为、、、四点共面，所以，解得， 所以. 故选：B. 8. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：D. 9. 如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算得到，再利用模长公式及数量积的运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 又，， 则 ， 所以， 故选：D. 10. 如图所示，双曲线与抛物线有公共焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可求出，再由可知点为线段的中点，可得，根据点在抛物线上可得其坐标，可得点坐标，代入渐近线方程可建立的关系式求得. 【详解】由双曲线与抛物线有公共焦点，可得； 又点到渐近线的距离为，即； 由可知点为线段的中点，可得； 设，由抛物线定义可知，解得； 由可得， 利用等面积可知，解得，则， 即可得， 又点在渐近线上，即，可得， 再由，联立可得，即， 解得， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合题目中的条件，利用双曲线和抛物线性质构造的齐次方程可直接求得离心率. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 经过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意将问题分直线过原点和不过原点两种情况求解，然后结合待定系数法可得到所求的直线方程． 【详解】（1）当直线过原点时，可设直线方程为， ∵点在直线上， ∴， ∴直线方程为，即． （2）当直线不过原点时，设直线方程为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线方程为，即． 综上可得所求直线方程为或． 故答案为或． 【点睛】在求直线方程时，应先选择适当形式的直线方程，并注意各种形式的方程所适用的条件，由于截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，分为直线过原点和不过原点两种情况求解．本题考查直线方程的求法和分类讨论思想方法的运用． 12. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设所求双曲线方程为，将代入可得，从而求出双曲线方程. 【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 将代入得， 故所求双曲线方程为，即. 故答案为： 13. 已知空间内三点，，，则点到直线的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】空间内三点，，， 则，， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和，则的前12项和为___________． 【答案】80 【解析】 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可. 【详解】因为， 当时，； 当时，满足上式； 所以， 令，解得；令，解得； 所以 ． 故答案为：80. 15. 已知椭圆的右焦点为F，以F为焦点的抛物线与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用抛物线和椭圆交点及简单性质,列出关系式,求解椭圆离心率即可. 【详解】根据椭圆和抛物线对称性及轴，由在抛物线上得，在椭圆上得 .则由条件得：且 即得. 解得（舍去），所以 故答案为: 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于两点，若，则下列说法中正确的序号为___________． ①双曲线的虚轴长为； ②双曲线的离心率为； ③的面积为； ④双曲线的渐近线方程为． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据双曲线解析式判断虚轴长度；利用双曲线定义和余弦定理求解离心率；由离心率公式得到的值，即得到渐近线方程；利用余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 关于①，因为双曲线方程为，所以可得， 则虚轴长为，故①错误. 关于②，令， 由双曲线定义知，又, 所以，得， 所以， 又因为， 得，故，所以②正确. 关于③，由上可知，， 则， 故，所以，故③错误. 关于④，由②可知离心率， 得到双曲线的渐近线方程为，故④正确. 故答案为：②④ 三、解答题：本大题共3个小题，共36分． 17. 为等差数列 的前n项和， 已知 （1）求数列 的通项公式; （2）求，并求的最小值. 【答案】（1） （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式． （2）求出．从而时，的最小值为． 【小问1详解】 为等差数列的前项和，，． ， 解得，， 数列的通项公式． 【小问2详解】 ． 时，的最小值为． 18. 如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P． （1）证明：平面AMN； （2）求与平面PMN所成角的正弦值； （3）求点P到平面AMN的距离． 【答案】（1）在直三棱柱中，则两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， 所以， 由，则， 由，则， 由且都在平面内，则平面AMN； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，进而得到，利用向量数量积的坐标运算得到，，即得垂直关系，最后应用线面垂直的判定证明结论； （2）根据已知求得，再求平面的一个法向量，结合，向量法求线面角的正弦值； （3）应用向量法求点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，，平面的一个法向量为， 由平面，则，可得，故， 设平面的一个法向量，，， 所以，取，则， 所以， 故与平面PMN所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知， 所以点P到平面AMN的距离. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知点在椭圆上，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①答案见解析；② 【解析】 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出关于的方程求解，进而得到椭圆方程； （2）①由，可得，由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出，进而证得结论；②由①知，直线的方程为：，求得点到直线的距离，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理，弦长公式和三角形的面积公式进行求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 解得：， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 ①设点. 因为，，即 由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程为， 联立，消去并整理得：， 根据，代入整理可得： ， 将代入，得， 整理得：，解得或， 因为时直线恒过定点，不合题意，舍去， 所以，直线恒过定点. ②由①知，直线的方程为：， 点到直线的距离， 联立，消去并整理得：， ， 所以的面积， 令，则，， ， 因为，所以时面积最大，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（一）天津二中高二年级第二次月考 数学学科试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 2. 直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 已知为椭圆上一点，则C的焦距为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）． A. B. C. 4 D. 2 6. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，双曲线与抛物线有公共焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 经过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程为__________． 12. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________． 13. 已知空间内三点，，，则点到直线的距离为___________． 14. 已知数列的前项和，则的前12项和为___________． 15. 已知椭圆的右焦点为F，以F为焦点的抛物线与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于两点，若，则下列说法中正确的序号为___________． ①双曲线的虚轴长为； ②双曲线的离心率为； ③的面积为； ④双曲线的渐近线方程为． 三、解答题：本大题共3个小题，共36分． 17. 为等差数列 的前n项和， 已知 （1）求数列 的通项公式; （2）求，并求的最小值. 18. 如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P． （1）证明：平面AMN； （2）求与平面PMN所成角的正弦值； （3）求点P到平面AMN的距离． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知点在椭圆上，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $