专题05 数学广角-数与形（必备知识+二大题型+分层训练）（期末复习讲义）六年级数学上学期人教版

该小学数学“数学广角-数与形”期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点，将等差数列、图形规律、特定数列、多边形内角和、周期规律等内容与复习目标、考情规律对应呈现，结合“数与形找规律的步骤”和“寻找规律的方法”分点梳理，构建清晰知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“数形结合”的题型设计，如例1通过图形推导连续自然数平方差规律，例2探究桌子拼摆的人数规律，培养几何直观与推理意识。练习分“重难突破”“综合拓展”分层，适配不同学生，教师可依考情规律实施精准教学，助力学生提升用数学思维解决问题的能力。

专题05 数学广角-数与形（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 等差数列相关： 掌握等差数列求第n项公式（第n项 = 首项 +（n−1）×公差），能依据末项求项数，结合方程解题。 牢记等差数列公式，熟练运用其求项数和第n项，准确结合方程解决相关问题。 多以填空、选择、解答题形式出现，是重点考察内容，常结合实际情境出题。 图形规律与数字结合： 观察图形的个数、形状等变化，找出规律并用数或算式表示第n个图形的数量，还能预测后续图形或画出图形；也能根据数列或算式规律用图形解释验证。 学会观察图形和数列规律，能用数式表示图形规律，用图形解释数式规律。 以填空、解答题为主，常给出图形或数列，要求找规律并计算或画图。 特定数列规律及图形表示： 理解从1开始的连续奇数相加和为个数的平方（1+3+5+…+(2n−1)=n²，掌握正方形数、三角形数规律等，能用图形表示这些规律。 牢记特定数列规律，能准确用图形表示规律，理解规律的本质。 常以选择、解答题呈现，考查对规律的理解和运用，可能涉及规律推导。 多边形内角和推理： 掌握多边形内角和公式（多边形内角和 = (n−2×180°）并能推导运用。 理解多边形内角和公式推导过程，能准确运用公式计算内角和。 以填空、解答题为主，要求计算多边形内角和或根据内角和求边数。 周期规律： 找出周期规律，用总数除以一个周期里的个数，根据余数解决问题。 准确找出周期，运用除法运算，结合余数判断结果。 以填空、选择、解答题出现，常与生活现象结合考查。 知识点01：数与形找规律的步骤 1、寻找数量关系； 2、用代数式表示规律； 3、验证规律。 知识点02：寻找数与形规律的方法 1、算式的规律 （1）把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容。在探索“式”的规律时，要从组成“式的要素中去探索。 （2）在数学算式中探索规律，应仔细观察算式的特点和结果的特点，进而根据规律找出这一类算式的结果。 2、数字排列的规律 （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。 （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。 （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律。 （4）相邻两数的关系中隐含着规律。 3、图形的变化规律 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题。 重点是能够发现图形之间的数量关系，以及增长的规律。 题型一 特定数列规律及图形表示 【例1】（24-25六年级上·广东东莞·期末）赵芳是个勤于观察，善于思考的好孩子，她通过数形结合（下图），发现了“求两个连续自然数的平方的差”的规律。 请你根据赵芳发现的规律，直接写出下面算式的结果： ； 。 【答案】 11 4047 【思路引导】观察赵芳发现的规律，可知两个连续自然数的平方差就等于这两个连续自然数的和，据此进行计算。 【规范解答】由分析可得： 6＋5＝11 2024＋2023＝4047 【变式1】（24-25五年级下·重庆万州·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作是两个相邻“三角形数”之和。下列等式中符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．25＝10＋15 【答案】C 【思路引导】“三角形数”的规律是1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15…，即第n个“三角形数”为1＋2＋…＋n＝。“正方形数”的规律是12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25…，即第n个“正方形数”为n2。据此分析各选项，进而得出正确答案。 【规范解答】A．13不是“正方形数”，因为没有整数n使得n2＝13，不符合规律。 B．25是“正方形数”，52＝25，但9也是“正方形数”，32＝9，不是“三角形数”，不符合“两个相邻三角形数之和”的规律。 C．25是“正方形数”，52＝25，10和15是相邻的“三角形数”，10＝，15＝，且10＋15＝25，符合规律。 所以符合规律的是选项C中的“25＝10＋15”。 故答案为：C 【变式2】（24-25六年级下·湖南株洲·期末）探究规律：观察下面的图形和算式，你发现什么规律？完成填空。 (1)1＝( )2；1＋3＝( )2；1＋3＋5＝( )2。 (2)1＋3＋5＋7＋9＋11＝( )2。 (3)＝( )。 【答案】(1) 1 2 3 (2)6 (3)1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15 【思路引导】（1）观察图形，第一个图形是1个小正方形，即1＝12； 第二个图形是由1个小正方形和3个小正方形组成，一共4个小正方形，，即1＋3＝4＝22； 第三个图形是由1个、3个、5个小正方形组成，一共9个小正方形，，即1＋3＋5＝9＝32。 规律总结：从1开始的连续奇数相加，有几个奇数，和就是几的平方。 （2）1、3、5、7、9、11是从1开始的连续奇数，一共有6个奇数，根据上述规律，1＋3＋5＋7＋9＋11＝62。 （3）因为82表示有8个从1开始的连续奇数相加，从1开始连续的8个奇数依次为1、3、5、7、9、11、13、15，所以82＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15。 【规范解答】（1）分析可知：1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32。 （2）1、3、5、7、9、11是从1开始的连续6个奇数，所以1＋3＋5＋7＋9＋11＝62。 （3）82表示从1开始8个连续奇数相加，所以82＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15。 【变式3】（23-24六年级下·贵州六盘水·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 (1)( )。 (2)( )。 (3)( )。 【答案】(1)121 (2)256 (3)n2 【思路引导】观察给出的等式：1＝12；1＋2＋1＝4＝22；1＋2＋3＋2＋1＝9＝32；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42；可以发现规律：从1开始连续加到某一个数m，再倒着连续加到1，所得的和等于m2，即1＋2＋3＋…＋m＋…＋3＋2＋1＝m2。 【规范解答】（1）观察算式1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到11，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于112，112＝11×11＝121，所以1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝121。 （2）观察算式1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到16，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于162，162＝16×16＝256，所以1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1＝256。 （3）观察算式1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到n，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于n2，所以1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2。 题型二 图形规律与数字结合 【例2】（24-25六年级上·河南安阳·期末）如图，一张桌子坐6人，照这样6张桌子连在一起可以坐( )人。要坐42人，最少需要( )张桌子连在一起。 【答案】 26 10 【思路引导】先观察不同数量桌子对应坐人的情况，1张桌子，数图中座位，可坐6人；2张桌子连在一起，数图中座位，可坐10人；3张桌子，数图中座位，可坐14人，观察座位数，每增加一个桌子：10－6＝4（人），14－10＝4（人）增加4人的座位，那么桌子两端的2人是固定的，1张桌子新增4人也就是4×1人，2张桌子连一起新增8人也就是4×2人，那么n张桌子连一起新增4×n人，n张桌子连一起总人数是（2＋4×n）人。 【规范解答】2＋4×6 ＝2＋24 ＝26（人） 因此，照这样6张桌子连在一起可以坐26人。 （42－2）÷4 ＝40÷4 ＝10（张） 因此，最少需要10张桌子连在一起。 【变式1】（2025·浙江宁波·小升初真题）生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6cm，粘贴处的胶带长度不计，捆3个需要胶带( )cm，捆n个需要( )cm。（取3） 【答案】 42 （12n＋6）/（6＋12n） 【思路引导】看图可知，捆1个需要的胶带长度＝圆的周长；捆2个需要的胶带长度＝圆的周长＋直径×2；捆3个需要的胶带长度＝圆的周长＋直径×4…，直径的数量＝（圆柱的数量－1）×2，因此胶带的长＝圆的周长＋直径×[（圆柱的数量－1）×2]，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式计算。 【规范解答】3×6＋6×[（3－1）×2] ＝18＋6×[2×2] ＝18＋6×4 ＝18＋24 ＝42（cm） 3×6＋6×[（n－1）×2] ＝18＋12（n－1） ＝18＋12n－12 ＝（12n＋6）cm 捆3个需要胶带42cm，捆n个需要（12n＋6）cm。 【考点剖析】关键是找出规律，掌握并灵活运用圆的周长公式。 【变式2】（24-25六年级下·广东东莞·期末）用小棒搭成下面的图形。按以下方式，搭第n个图形需要（    ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n D．6n＋1 【答案】B 【思路引导】由图观察规律可知：第1个图形用（1＋5）根小棒搭成，第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成，第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成，第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成，据此规律解答。 【规范解答】由题，第一个图形用（1＋5）根小棒搭成， 第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成， 第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成， 第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成， 以此类推，第n个图形需要小棒： 1＋5×n＝（5n＋1）根 故答案为：B 【变式3】（2025·云南西双版纳·小升初模拟）用小棒摆成一组有规律的图案如下图所示，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒，第n个图案需要( )根小棒。 【答案】 40 6n－2 【思路引导】由图可知，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要（4＋6）根小棒，第3个图案需要（4＋6×2）根小棒，第4个图案需要（4＋6×3）根小棒……以此类推，每次增加6根小棒，则第n个图案需要[4＋6×（n－1）]根小棒，最后求出n＝7时含有字母式子的值，据此解答。 【规范解答】4＋6×（n－1） ＝4＋（6n－6×1） ＝4＋6n－6 ＝6n＋4－6 ＝（6n－2）根 当n＝7时。 6n－2 ＝6×7－2 ＝42－2 ＝40（根） 所以，第7个图案需要40根小棒，第n个图案需要（6n－2）根小棒。 题型三 计算 【例3】．（2025·河北石家庄·小升初真题）简便运算。                           【答案】144；； 10000；1023 【思路引导】（1）分母相同分子相加，分子部分前两项都有144，把48×72也化成144×24的形式，再根据乘法分配律计算结果。 （2）分子相同，则要观察分母的规律：，，，…，，，，，…，，再利用乘法分配律计算结果。 （3）将19961997看作是19961996＋1，将19971997看作是19971996＋1，然后根据乘法分配律化简进行计算。 （4）观察数字规律可知，，，…，，后一个数都是前一个数的2倍，所以原式就是，逐项相加计算即可。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） 【考点剖析】数字多且数值大，首先观察数字规律，再灵活运用所学定律进行简便运算。 【变式1】（23-24六年级上·全国·课后作业）计算。 【答案】 【思路引导】根据分数的意义作图如下：      图一       图二                图三 从图一可知： 从图二可知： 从图三可知： 根据此规律， 因此计算，只需即可。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ 【变式2】（2024六年级·全国·竞赛）＋4.21＋＋5.79 1－－－－……－ 【答案】11； 【思路引导】（1）利用加法交换律和结合，先分别求＋、4.21＋5.79的和，再把和相加。 （2）1－＝ －＝ －＝ －＝ －＝ …… －＝ 【规范解答】＋4.21＋＋5.79 ＝（＋）＋（4.21＋5.79） ＝1＋10 ＝11 1－－－－……－ ＝－－－……－ ＝－－……－ ＝－－……－ ＝ 【变式3】（2024·重庆云阳·小升初真题）观察5*2＝5＋55＝60，7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638，求9*5。 【答案】111105 【思路引导】由5*2＝5＋55＝60，7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638，推测出a*b＝a＋aa＋aaa＋……一直加到b个a为止，据此分析。 【规范解答】9*5 ＝9＋99＋999＋9999＋99999 ＝111105 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·新疆吐鲁番·期末）观察下面的图形，按照这样的规律，第8个图形中共有（    ）个●。 A．28 B．32 C．36 【答案】C 【思路引导】第1个图形中有1个； 第2个图形中有3个，3＝1＋2； 第3个图形中有6个，6＝1＋2＋3； 第4个图形中有10个，10＝1＋2＋3＋4； 由此得出，第8个图形中的个数为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）。据此解答。 【规范解答】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8 ＝（1＋8）×4 ＝9×4 ＝36（个） 所以第8个图形中有36个。 故答案为：C 2．（24-25六年级下·广东东莞·期末）晓东用“□”按下面的规律拼图形，第6个图形中，“□”的数量为（    ）个。 A．40 B．35 C．27 D．20 【答案】C 【思路引导】看图可知，第1个图形有2个□；第二个图形有5个□，5＝2＋3；第3个图形有9个□，9＝2＋3＋4……由此可知，“□”的数量＝第几个图形就从2依次加几个数。 【规范解答】2＋3＋4＋5＋6＋7＝27（个） 第6个图形中，“□”的数量为27个。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2025个图案中涂有阴影的小正方形有（    ）个。 A．8101 B．8103 C．4051 D．4053 【答案】A 【思路引导】由图可知，第1个图案中涂有阴影的小正方形有5个，可表示为1＋4×1； 第2个图案中涂有阴影的小正方形有9个，可表示为1＋4×2； 第3个图案中涂有阴影的小正方形有13个，可表示为1＋4×3； 发现规律：第n个图案中涂有阴影的小正方形有（1＋4n）个；最后将n＝2025代入1＋4n中计算出第2025个图案中涂有阴影的小正方形个数。 【规范解答】分析可知，第n个图案中涂有阴影的小正方形有（1＋4n）个。 当n＝2025时， 1＋4n ＝1＋4×2025 ＝1＋8100 ＝8101 所以第2025个图案中涂有阴影的小正方形有8101个。 故答案为：A 4．（24-25六年级下·山东济宁·期末）在运河文化展厅展示了房屋模型，乐乐对此十分好奇，搭建3间这样的房屋模型一共使用了13根木棒。他想知道，如果按照同样的搭建规律，要搭建10间这样的房屋模型，一共需要用到（    ）根木棒。 A．40 B．41 C．42 D．53 5．（24-25六年级下·吉林·期末）如图，4个杯子叠起来高20厘米，6个杯子叠起来高26厘米，杯子的高度是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．8 D．11 【答案】D 【思路引导】由图可知，4个杯子叠在一起的总高度是一个杯子的高度与3个杯口上升高度的和，6个杯子叠在一起的总高度是一个杯子的高度与5个杯口上升高度的和；用26减去20即为两个杯口上升的高度，用除法计算即可求得一个杯口上升的高度，进而可以求出一个杯子的高度；据此列式解答。 【规范解答】一个杯口：（26－20）÷（6－4） ＝6÷2 ＝3（厘米） 杯子：20－3×3 ＝20－9 ＝11（厘米） 这个杯子的高度是11厘米。 故答案为：D 6．（24-25六年级上·江西新余·期末）如图，照这样画下去，第80个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数比是 。 …… 【答案】20∶1 【思路引导】观察可知，第1个图形中有（1×1）个白色小正方形，第2个图形中有（2×2）个白色小正方形，第3个图形中有（3×3）个白色小正方形，第4个图形中有（4×4）个白色小正方形……以此类推，那么第80个图形中有（80×80）个白色小正方形；第1个图形中有（1×4）个黑色小正方形，第2个图形中有（2×4）个黑色小正方形，第3个图形中有（3×4）个黑色小正方形，第4个图形中有（4×4）个黑色小正方形……以此类推，那么第80个图形中有（80×4）个黑色小正方形，最后化简求出第80个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数比，据此解答。 【规范解答】白色小正方形的个数∶黑色小正方形的个数 ＝（80×80）∶（80×4） ＝（80×80÷80）∶（80×4÷80） ＝80∶4 ＝（80÷4）∶（4÷4） ＝20∶1 所以，第80个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数比是20∶1。 7．（2025五年级上·北京·专题练习）亮亮用小棒按照如图所示的规律摆图形，图6需要( )根小棒，图n需要( )根小棒。 【答案】 21 3n＋3 【思路引导】先数出前三个图形的小棒数量，图1有6根，图2有9根，图3有12根；再算相邻两个图形的小棒数差，9－6＝3，12－9＝3，得出规律：后一个图形总是比前一个多3根小棒。根据这个规律推导第n个图形的小棒数，第1个图形是6根，第n个图形和第1个图形相比，中间多了（n－1）个间隔，每个间隔都要增加3根小棒，所以增加的小棒总数就是3×（n－1）根，那么第n个图形的小棒数就可以写成基础数量6根加上增加的数量，也就是6＋3×（n－1），化简得出第n个图形的小棒数可以用3n＋3来表示；最后计算图6的小棒数，把n＝6代入式子，得出结果。 【规范解答】图1小棒数：6根 图2小棒数：9根 图3小棒数：12根 相邻数量差：9－6＝3，12－9＝3，得出每增加1个图形，小棒数增加3根。 第n个图形比图1多了（n－1）个3根，因此： 小棒数＝6＋3（n－1） ＝6＋3n－3 ＝（3n＋3）根 将n＝6代入： 3×6＋3 ＝18＋3 ＝21（根） 所以图6需要21根小棒，图n需要（3n＋3）根小棒。 8．（24-25六年级上·山东菏泽·期末）仔细观察下图的排列规律。 第10个图形有( )个顶点。 【答案】31 【思路引导】由图可知，第1个图形有4个顶点，第2个图形有（4＋3）个顶点，第3个图形有（4＋3×2）个顶点，第4个图形有（4＋3×3）个顶点……以此类推，每次增加3个顶点，那么第n个图形有[4＋3（n－1）]个顶点，最后求出n＝10时含有字母式子的值，据此解答。 【规范解答】4＋3（n－1） ＝4＋3n－1×3 ＝4＋3n－3 ＝3n＋4－3 ＝（3n＋1）个 当n＝10时，3n＋1 ＝3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 所以，第10个图形有31个顶点。 9．（24-25六年级下·河北邢台·期末）将黑、白棋子按一层白、一层黑、一层白、一层黑……排成正三角形的形状，如图：当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排了( )层，排成这个正三角形一共用了( )颗棋子。 【答案】 10 55 【思路引导】①根据图中可知，有两层时黑色棋子比白色棋子多1颗棋子；有三层时黑色棋子比白色棋子少；有四层时黑色棋子比白色棋子多2颗棋子；有五层时黑色棋子比白色棋子少；有六层时黑色棋子比白色棋子多3颗棋子；根据这样的规律可知： 当有偶数层时，黑色棋子比白色棋子多（层数÷2）颗棋子；当有奇数层时，黑色棋子比白色棋子少，据此规律解答； ②棋子的总数＝1＋2＋3＋……＋层数即可求解。 【规范解答】①（层），即正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排10层； ② （颗） 则这个正三角形一共用了55颗棋子。 10．（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (1)观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有( )个小圆片。 【答案】(1) 4 5 (2) 11 n（n＋1） 【思路引导】序号1：2，1个偶数； 序号2：2＋4，2个偶数； 序号3：2＋4＋6，3个偶数； …… 序号几就是几个连续偶数相加。 2＝1×2， 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 …… 结果＝序号几就用几×（几＋1）。 因此，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。 【规范解答】（1）2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）132＝11×12 若按此规律继续摆，则序号为11的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）将正方形和圆按照如图的方式摆放，第1个图形摆1个正方形和6个圆；第2个图形摆2个正方形和10个圆；第3个图形摆3个正方形和14个圆……照这样的规律摆下去，第20个图形摆20个正方形和( )个圆。 【答案】82 【思路引导】第1个图形摆1个正方形和6个圆，6＝1×4＋2；第2个图形摆2个正方形和10个圆，10＝2×4＋2；第3个图形摆3个正方形和14个圆，14＝3×4＋2……由此可知，圆的个数＝第几个图形就用几×4＋2，据此分析。 【规范解答】20×4＋2 ＝80＋2 ＝82（个） 第20个图形摆20个正方形和82个圆。 2．（2025六年级上·广东·专题练习）如图每个三角形图都是由若干个小三角形组成，如果小三角形的边长为1，请你在括号里填上对应的数据。 【答案】 4 9 6 9 【思路引导】看图可知，第1个图形有1个小三角形，1＝1×1；第2个图形有4个小三角形，4＝2×2；第3个图形有9个小三角形，9＝3×3，由此可知，小三角形的个数＝第几个图形就用几×几；看图可知，第1个等边三角形的边长是1，第2个等边三角形的边长是2，第3个等边三角形的边长是3，由此可知，第几个图形就是边长是几的等边三角形，根据等边三角形的周长＝边长×3，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可得： 第1个图形小三角形的个数为1×1＝1，周长为1×3＝3； 第2个图形小三角形的个数为2×2＝4，周长为2×3＝6； 第3个图形小三角形的个数为3×3＝9，周长为3×3＝9； 所以， 3．（24-25六年级上·湖南株洲·期末）仔细观察图中正方形和直角三角形的个数有什么关系，再填空。 图形序号 ① ② ③ … 正方形个数 2 3 4 … 直角三角形个数 4 8 12 … 当正方形有10个时，三角形有( )个。第n个图形时，正方形有( )个，三角形有( )个。 【答案】 36 n＋1/1＋n 4n 【思路引导】观察可知，第1个图形有2个正方形，第2个图形有3个正方形，第3个图形有4个正方形……那么第n个图形有（n＋1）个正方形；第1个图形有4个直角三角形，第2个图形有（4×2）个直角三角形，第3个图形有（4×3）个直角三角形……那么第n个图形有4n个直角三角形，先根据正方形的个数求出n的值，再把n的值代入4n求出直角三角形的个数，据此解答。 【规范解答】当正方形有10个时。 n＋1＝10 解：n＋1－1＝10－1 n＝9 4n＝4×9＝36（个） 分析可知，当正方形有10个时，三角形有36个。第n个图形时，正方形有（n＋1）个，三角形有4n个。 4．（24-25六年级上·湖南怀化·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 【答案】 【思路引导】因为正方形的边长是1，所以正方形的面积也是1，正方形的面积减去未贴彩色纸片的面积就是已贴彩色纸片的面积。 【规范解答】。 5．（24-25六年级上·四川绵阳·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。这是我国著名数学家华罗庚的名言。数和形是数学中最主要的两个研究对象，数形结合是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形，思考并回答问题： (1)由图形 可以证明公式：成立； (2)由图形 可以证明公式：成立； (3)由图形 可以证明公式：成立。 【答案】(1)A (2)C (3)B 【思路引导】（1）图A是边长为（a＋b）的正方形，其面积为（a＋b）2。同时，图A可看作由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和两个长为a、宽为b的长方形组成，面积为a2＋2ab＋b2。所以由图形A可以证明公式成立。 （2）图C中，大正方形边长为a，小正方形边长为b，大正方形面积减去小正方形面积为a2－b2。把图C中剩余部分拼接，可得到一个长为（a＋b）、宽为（a－b）的长方形，其面积为（a＋b）（a－b）。所以由图形C可以证明公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）成立。 （3）图B中，大正方形边长为（a＋b），面积为（a＋b）2；内部小正方形边长为（b－a），面积为（b－a）2。大正方形面积减去小正方形面积，剩余部分可看作4个长为a、宽为b的长方形，面积为4ab。所以由图形B可以证明公式（a＋b）2－（b－a）2＝4ab成立。 【规范解答】（1）图形A正方形面积：（a＋b）2 也为：a2＋2ab＋b2 所以由图形A可以证明公式成立。 （2）图C大正方形面积减去小正方形面积：a2－b2。 图C中剩余部分面积：（a＋b）（a－b） 所以由图形C可以证明公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）成立。 （3）图B大正方形面积：（a＋b）2 内部小正方形面积：（b－a）2 剩余部分面积：4ab 所以由图形B可以证明公式（a＋b）2－（b－a）2＝4ab成立。 6．（24-25六年级上·四川乐山·期末）观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（    ），在方框里写出你的思考过程。 【答案】；减去的数无限接近，差就无限接近 【思路引导】根据减法性质，把原式化为：1－（＋＋＋＋…）；观察图形可知，＋＋＋…的和接近，＋＋＋＋…的和接近，所以1减去接近的数，差就越接近，据此解答。 【规范解答】1－－－－－…的结果会无限接近。 减去的数无限接近，差就无限接近。 7．（25-26六年级上·全国·单元测试）如下图，用完全一样的火柴棍按照一定的规律拼图形。 （1）拼第4个图形需要 根火柴棍；拼第n个图形需要 根火柴棍。 （2）拼第几个图形时，需要2026根火柴棍？ 【答案】（1）34；8n＋2 （2）253个 【思路引导】（1）根据已知的三个图形，第一个图形有8×1＋2＝10根火柴棍，第二个图形有8×2＋2＝18根火柴棍，第三个图形有8×3＋2＝26根火柴棍，据此可发现规律：第n个图形需要（8n＋2）根火柴棍，代入数据n＝4进行计算，即可得出答案。 （2）根据火柴棍的规律建立方程，解出n的值即可。 【规范解答】（1）8×4＋2 ＝32＋2 ＝34（根） 所以，拼第4个图形需要34根火柴棍；拼第n个图形需要（8n＋2）根火柴棍。 （2）解：设拼第n个图形时，需要2026根火柴棍。 8n＋2＝2026   8n＋2－2＝2026－2 8n＝2024 8n÷8＝2024÷8 n＝253 答：拼第253个图形时，需要2026根火柴棍。 8．（23-24六年级上·全国·单元测试）观察下图，按要求完成下列各题。 (1)这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。 (2)按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？ (3)仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。 (4)根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。 【答案】（1）1个；3个；6个；10个； （2）21个；45个； （3）见详解；（1＋2＋3＋4＋…＋n）个； （4）55个 【思路引导】从图中可知： （1）有1个三角形； 有2个小三角形和1个大三角形，一共是2＋1＝3（个）三角形； 有3个小三角形，相邻2个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有3＋2＋1＝6（个）三角形； 有4个小三角形，相邻2个小三角形组成3个三角形，相邻3个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有4＋3＋2＋1＝10（个）三角形； （2）按照这种规律画下去， 第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） （3）由此得出规律：若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）数出单个小三角形的个数，再按规律计算即可。 【规范解答】（1）1个 2＋1＝3（个） 3＋2＋1＝6（个） 4＋3＋2＋1＝10（个） 答：第1个图形有1个三角形；第2个图形有3个三角形；第3个图形有6个三角形；第4个图形有10个三角形。 （2）第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） 答：第6个图形有21个三角形；第9个图形有45个三角形； （3）答：我发现图中有几个小三角形就从1开始依次加到n。若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个） 答：图中一共有55个三角形。 9．（23-24六年级上·全国·单元测试）一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。 （1）3张桌子拼在一起可坐（    ）人，5张桌子拼在一起可坐（    ）人。 （2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？ 【答案】（1）10；14 （2）（2n＋4）人 【思路引导】1张长方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2张桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。据此解答即可。 【规范解答】（1）2×3＋4 ＝6＋4 ＝10（人） 2×5＋4 ＝10＋4 ＝14（人） 则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。 （2）n×2＋4＝（2n＋4）人 答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。 10．（2024·湖南株洲·小升初真题）小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 【答案】（1）62.5 （2）55.6 （3）不支持；理由见详解 【思路引导】（1）前四行中，黑色小三角形共有10个，白色小三角形共有6个。求黑色小三角形所占的比例用黑色小三角形个数除以黑、白三角总个数，结果用百分数表示。 （2）根据三角形的排列规律可知，第几行就有几个黑色三角形，白色三角形个数比黑色三角形个数少1，据此规律可知第五行中黑色三角形有5个，白色三角形有4个，两种三角形共有9个，据此解答。 （3）根据三角形的排列规律可知，第行有黑色三角形个，有白色三角形个，那么整个大三角形中黑色三角形总共是个，白色三角形总共是个，据此计算出黑色小三角形占所有三角形个数的百分比，再与50%比较，据此解答。 【规范解答】（1）10÷（10＋6）×100% ＝10÷16×100% ＝0.625×100% ＝62.5% 故前四行中黑色小三角形所占的比例是62.5%。 （2）5÷（5＋4）×100% ＝5÷9×100% ≈0.556×100% ＝55.6% 故第五行中黑色小三角形所占的比例是55.6%。 （3）黑色三角形： 黑、白三角形： 黑色三角形在整个三角形中的占比： 因为，分子上加上1，那么无论取什么值，都大于（50%）。所以无论画多少行，整个大三角形中黑色小三角形所占的比例都大于50%，故不支持小明的说法。 【考点剖析】本题考查了图形中三角形的排列规律及百分比的计算方法，难点是含有字母算式的计算及化简。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数学广角-数与形（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 等差数列相关： 掌握等差数列求第n项公式（第n项 = 首项 +（n−1）×公差），能依据末项求项数，结合方程解题。 牢记等差数列公式，熟练运用其求项数和第n项，准确结合方程解决相关问题。 多以填空、选择、解答题形式出现，是重点考察内容，常结合实际情境出题。 图形规律与数字结合： 观察图形的个数、形状等变化，找出规律并用数或算式表示第n个图形的数量，还能预测后续图形或画出图形；也能根据数列或算式规律用图形解释验证。 学会观察图形和数列规律，能用数式表示图形规律，用图形解释数式规律。 以填空、解答题为主，常给出图形或数列，要求找规律并计算或画图。 特定数列规律及图形表示： 理解从1开始的连续奇数相加和为个数的平方（1+3+5+…+(2n−1)=n²，掌握正方形数、三角形数规律等，能用图形表示这些规律。 牢记特定数列规律，能准确用图形表示规律，理解规律的本质。 常以选择、解答题呈现，考查对规律的理解和运用，可能涉及规律推导。 多边形内角和推理： 掌握多边形内角和公式（多边形内角和 = (n−2×180°）并能推导运用。 理解多边形内角和公式推导过程，能准确运用公式计算内角和。 以填空、解答题为主，要求计算多边形内角和或根据内角和求边数。 周期规律： 找出周期规律，用总数除以一个周期里的个数，根据余数解决问题。 准确找出周期，运用除法运算，结合余数判断结果。 以填空、选择、解答题出现，常与生活现象结合考查。 知识点01：数与形找规律的步骤 1、寻找数量关系； 2、用代数式表示规律； 3、验证规律。 知识点02：寻找数与形规律的方法 1、算式的规律 （1）把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容。在探索“式”的规律时，要从组成“式的要素中去探索。 （2）在数学算式中探索规律，应仔细观察算式的特点和结果的特点，进而根据规律找出这一类算式的结果。 2、数字排列的规律 （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。 （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。 （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律。 （4）相邻两数的关系中隐含着规律。 3、图形的变化规律 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题。 重点是能够发现图形之间的数量关系，以及增长的规律。 题型一 特定数列规律及图形表示 【例1】（24-25六年级上·广东东莞·期末）赵芳是个勤于观察，善于思考的好孩子，她通过数形结合（下图），发现了“求两个连续自然数的平方的差”的规律。 请你根据赵芳发现的规律，直接写出下面算式的结果： ； 。 【变式1】（24-25五年级下·重庆万州·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作是两个相邻“三角形数”之和。下列等式中符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．25＝10＋15 【变式2】（24-25六年级下·湖南株洲·期末）探究规律：观察下面的图形和算式，你发现什么规律？完成填空。 (1)1＝( )2；1＋3＝( )2；1＋3＋5＝( )2。 (2)1＋3＋5＋7＋9＋11＝( )2。 (3)＝( )。 【变式3】（23-24六年级下·贵州六盘水·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 (1)( )。 (2)( )。 (3)( )。 题型二 图形规律与数字结合 【例2】（24-25六年级上·河南安阳·期末）如图，一张桌子坐6人，照这样6张桌子连在一起可以坐( )人。要坐42人，最少需要( )张桌子连在一起。 【变式1】（2025·浙江宁波·小升初真题）生活中，人们经常会把同样大小的圆柱形物体捆成一排（横截面如下图）。如果每个圆柱的直径是6cm，粘贴处的胶带长度不计，捆3个需要胶带( )cm，捆n个需要( )cm。（取3） 【变式2】（24-25六年级下·广东东莞·期末）用小棒搭成下面的图形。按以下方式，搭第n个图形需要（    ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n D．6n＋1 【变式3】（2025·云南西双版纳·小升初模拟）用小棒摆成一组有规律的图案如下图所示，第1个图案需要4根小棒，第2个图案需要10根小棒……按此规律摆下去，第7个图案需要( )根小棒，第n个图案需要( )根小棒。 题型三 计算 【例3】．（2025·河北石家庄·小升初真题）简便运算。                      【变式1】（23-24六年级上·全国·课后作业）计算。 【变式2】（2024六年级·全国·竞赛）＋4.21＋＋5.79 1－－－－……－ 【变式3】（2024·重庆云阳·小升初真题）观察5*2＝5＋55＝60，7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638，求9*5。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·新疆吐鲁番·期末）观察下面的图形，按照这样的规律，第8个图形中共有（    ）个●。 A．28 B．32 C．36 2．（24-25六年级下·广东东莞·期末）晓东用“□”按下面的规律拼图形，第6个图形中，“□”的数量为（    ）个。 A．40 B．35 C．27 D．20 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2025个图案中涂有阴影的小正方形有（    ）个。 A．8101 B．8103 C．4051 D．4053 4．（24-25六年级下·山东济宁·期末）在运河文化展厅展示了房屋模型，乐乐对此十分好奇，搭建3间这样的房屋模型一共使用了13根木棒。他想知道，如果按照同样的搭建规律，要搭建10间这样的房屋模型，一共需要用到（    ）根木棒。 A．40 B．41 C．42 D．53 5．（24-25六年级下·吉林·期末）如图，4个杯子叠起来高20厘米，6个杯子叠起来高26厘米，杯子的高度是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．8 D．11 6．（24-25六年级上·江西新余·期末）如图，照这样画下去，第80个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数比是 。 …… 7．（2025五年级上·北京·专题练习）亮亮用小棒按照如图所示的规律摆图形，图6需要( )根小棒，图n需要( )根小棒。 8．（24-25六年级上·山东菏泽·期末）仔细观察下图的排列规律。 第10个图形有( )个顶点。 9．（24-25六年级下·河北邢台·期末）将黑、白棋子按一层白、一层黑、一层白、一层黑……排成正三角形的形状，如图：当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子多5颗时，这个正三角形一共排了( )层，排成这个正三角形一共用了( )颗棋子。 10．（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (1)观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有( )个小圆片。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）将正方形和圆按照如图的方式摆放，第1个图形摆1个正方形和6个圆；第2个图形摆2个正方形和10个圆；第3个图形摆3个正方形和14个圆……照这样的规律摆下去，第20个图形摆20个正方形和( )个圆。 2．（2025六年级上·广东·专题练习）如图每个三角形图都是由若干个小三角形组成，如果小三角形的边长为1，请你在括号里填上对应的数据。 3．（24-25六年级上·湖南株洲·期末）仔细观察图中正方形和直角三角形的个数有什么关系，再填空。 图形序号 ① ② ③ … 正方形个数 2 3 4 … 直角三角形个数 4 8 12 … 当正方形有10个时，三角形有( )个。第n个图形时，正方形有( )个，三角形有( )个。 4．（24-25六年级上·湖南怀化·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 5．（24-25六年级上·四川绵阳·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。这是我国著名数学家华罗庚的名言。数和形是数学中最主要的两个研究对象，数形结合是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形，思考并回答问题： (1)由图形 可以证明公式：成立； (2)由图形 可以证明公式：成立； (3)由图形 可以证明公式：成立。 6．（24-25六年级上·四川乐山·期末）观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（    ），在方框里写出你的思考过程。 7．（25-26六年级上·全国·单元测试）如下图，用完全一样的火柴棍按照一定的规律拼图形。 （1）拼第4个图形需要 根火柴棍；拼第n个图形需要 根火柴棍。 （2）拼第几个图形时，需要2026根火柴棍？ 8．（23-24六年级上·全国·单元测试）观察下图，按要求完成下列各题。 (1)这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。 (2)按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？ (3)仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。 (4)根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。 9．（23-24六年级上·全国·单元测试）一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。 （1）3张桌子拼在一起可坐（    ）人，5张桌子拼在一起可坐（    ）人。 （2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？ 10．（2024·湖南株洲·小升初真题）小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $