专题03 圆（必备知识+十五大题型+分层训练）（期末复习讲义）六年级数学上学期人教版

该小学数学“圆”单元复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分层呈现圆的认识、周长、面积等知识点，结合易错点提示构建知识脉络，清晰展现概念、公式及内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于题型设计覆盖基础到拓展，如“外方内圆”面积计算培养模型意识，组合图形周长求解提升推理能力。分层练习支持不同学生，易错点提示助力精准突破，帮助教师实施分层教学，提升学生数学思维与应用能力。

专题03 圆（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质： 理解圆的定义，掌握圆心、半径、直径的概念及关系（d=2r），明确圆是轴对称图形且有无数条对称轴。 精准把握圆的基本概念和性质，清晰理解各要素关系，能准确判断相关问题。 多以填空、选择、判断形式出现，考查对基础概念的记忆和理解。 圆的周长： 理解圆周长公式C=2πr或C=πd的推导过程，能运用公式计算圆的周长，会根据周长求半径或直径。 熟练掌握圆周长公式，灵活运用公式解决周长计算及相关逆向问题。 以计算、应用题型为主，结合实际场景考查公式运用能力。 圆的面积： 理解圆面积公式S=πr²的推导过程，能运用公式计算圆的面积、环形面积等，会根据面积求半径。 深刻理解面积公式推导，准确运用公式计算不同情况下圆的面积及解决相关问题。 常出现在解答题中，难度稍大，考查综合运用知识和解决问题的能力。 圆在实际问题中的应用： 运用圆的知识解决生活中的实际问题，如车轮滚动、圆形场地面积规划等。 提高运用圆知识解决实际问题的能力，能准确建立数学模型求解。 以应用题形式呈现，结合生活场景，考查知识的应用能力和数学思维。 知识点01：圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点02：用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 知识点03：圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 知识点04：圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 知识点05：扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 知识点06：圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 知识点07：易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 题型一 与圆相关的轴对称图形 【例1】（24-25六年级上·江西九江·期末）圆可以帮我们设计出美丽的图案，请你根据对称轴画出轴对称图形的另一半。 【答案】见详解 【思路引导】补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 本题除了找出关键点的对称点，还要确定圆心位置，半径长度，根据画圆的方法进行作图。 【规范解答】 【变式】（24-25六年级上·青海西宁·期末）下面方格图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求作图。 （1）画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形，并在图中标出长和宽的数据。 （2）画一个正方形，让它和图中已有圆形组成一个轴对称图形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）分析题目，先用周长除以2求出长方形的长宽之和，再根据比的意义把长宽之和看作单位“1”，则长占其中的，据此用乘法求出长，再用长宽之和减去长即可得到宽，据此画出长方形即可； （2）如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，则这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴；圆有无数条对称轴，正方形只有4条对称轴，据此可以在圆的外部画一个以圆的直径为边长的正方形即可。 【规范解答】（1）20÷2＝10（厘米） 长：10×＝6（厘米） 宽：10－6＝4（厘米） （1）（2）作图如下： （正方形画法不唯一） 题型二 圆的周长 【例2】（24-25六年级上·云南红河·期末）2016年12月29日通车的北盘江大桥，连接贵州与云南两省，有着“世界最高桥”之称。王叔叔骑摩托车穿过北盘江大桥大约需要4分钟。北盘江大桥大约长多少米？（π取3.14） （1）选择方框里的条件（    ）可以解决上述问题。（填序号） （2）根据你选的条件，解答上述问题。 【答案】（1）①③ （2）1256米 【思路引导】（1） 要计算北盘江大桥的长度，需要知道摩托车的速度，根据摩托车车轮外直径可计算车轮周长，再结合车轮每分钟转的圈数能得出摩托车速度，进而结合过桥时间求出桥长。而王叔叔走路速度与骑摩托车过桥无关，据此解答； （2） 首先将车轮直径d＝50厘米换算为0.5米。根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14），可得车轮周长，已知摩托车车轮每分钟转200圈，那么摩托车每分钟行驶的距离为车轮周长乘以每分钟转的圈数，再由大桥长度＝每分钟行驶的距离×时间由此解答； 【规范解答】根据分析： （1）选择条件①③能解决问题。 （2）d＝50厘米＝0.5米 车轮周长：3.14×0.5＝1.57（米） 每分钟行驶：1.57×200＝314（米） 大桥长度：314×4＝1256（米） 答：北盘江大桥大约长1256米。 【变式】．（24-25六年级上·云南红河·期末）先画一个长4cm、宽2cm的长方形，在长方形里画一个最大的半圆，并求出半圆的周长。 【答案】图见详解；10.28cm 【思路引导】长方形长4cm、宽2cm，那么能画的最大的半圆刚好就是以直径为4cm的圆的一半，取长方形一条长的中点2cm处，标为点O，圆规针尖对准点O绕长方形长的一个端点到另一个端点即可得最大的半圆（画图不唯一）。半圆的周长是指围绕半圆一周的长度，它由两部分组成：一部分是圆周长的一半（即半圆的圆弧部分），另一部分是半圆的直径。根据圆的周长＝πd（d为圆的直径）先求出圆的周长，再用圆的周长除以2，即可求出半圆的圆弧部分；最后用半圆圆弧部分加上直径部分，即可求出半圆的周长。 【规范解答】4÷2＝2（cm），即所画半圆的半径为2cm。 在长4cm、宽2cm的长方形里画一个最大的半圆，如下图所示（画图不唯一）： 3.14×4÷2＋4 ＝12.56÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 所以半圆的周长为10.28cm。 题型三 半圆的周长 【例3】（24-25六年级上·天津河西·期末）瓦当是中国古建筑的重要构件。现有一块半圆形的瓦当（如图），它的直径是14cm，这块瓦当的周长是( )cm。 【答案】35.98 【思路引导】先用直径÷2求出半径，再根据半圆的周长＝πr＋2r，代入数据即可解答。 【规范解答】14÷2＝7（cm） 3.14×7＋2×7 ＝21.98＋14 ＝35.98（cm） 所以这块瓦当的周长是35.98cm。 【变式】（24-25六年级上·湖北随州·期末）学习了圆的周长知识后，同学们用直径8厘米的半圆和其它更小的半圆设计了一些新图形，准备深入探究与这些新图形的周长有关的问题。 （1）笑笑设计的新图形如图。你同意她的说法吗？说明理由。（写出计算过程） （2）还有同学还设计出了下面两个新图形，想一想：这两个新图形的周长分别与直径8厘米的圆的周长有什么关系？ （3）根据以上探究，关于“新图形的周长”问题你有什么发现？ 【答案】（1）同意；理由见详解     （2）相等 （3）见详解 【思路引导】（1）圆的周长：C＝πd，圆的周长除以2等于半圆弧的长度，先计算出三个半圆弧的长度，然后相加，再与直径8厘米的圆的周长进行比较即可解答。 （2）根据（1）可知，这两个新图形的周长分别与直径8厘米的圆的周长相等。 （3）根据（1）（2）得出合理的结论即可。 【规范解答】（1）我同意她的说法。理由如下： 新图形的周长：（4＋4）π÷2＋4π÷2＋4π÷2 ＝4π＋2π＋2π ＝8π 直径是8厘米的圆的周长：8π 8π＝8π，两个图形的周长相等。     （2）根据（1）可知，这两个新图形的周长分别与直径8厘米的圆的周长相等。 （3）我的发现：把半圆的直径分成若干小段，以每小段为直径画半圆，则所有半圆弧的长度和等于以最大半圆直径为直径的圆的周长。 题型四 圆的周长的应用 【例4】（24-25六年级上·江西新余·期末）一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块地毯边缘行进一周（如图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是，它的圆心走过路线的长度是 dm。 【答案】76.82 【思路引导】从图中可知，扫地机器人的圆心走过路线为两个半圆和长方形的两条长。两个半圆可以组成一个圆，这个圆的半径是（5＋1.5）dm，根据圆的周长公式C＝2πr，求出这个圆的周长，再加上2个18dm即可。 【规范解答】2×3.14×（5＋1.5）＋18×2 ＝6.28×6.5＋36 ＝40.82＋36 ＝76.82（dm） 所以它的圆心走过路线的长度是76.82dm。 【变式】（24-25六年级上·江西九江·期末）关于圆的认识，下面说法正确的有（    ）。 ①圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ②圆的周长是这个圆半径的2π倍。 ③如图，在正方形内画最大的圆，这个正方形的周长是这个圆的直径的4倍。 ④如图，如果正方形的边长与圆的直径相等，那么这个正方形和圆的周长也相等。 A．①② B．①②③ C．②③④ 【答案】B 【思路引导】①圆的位置是由圆心决定的，圆的大小是由半径决定的。 ②根据圆的周长公式C＝2πr得出圆的周长和半径的关系。 ③在正方形内画最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长；根据正方形的周长＝边长×4，求出正方形的周长，再用正方形的周长除以圆的直径，得出正方形的周长是这个圆的直径的几倍。 ④根据正方形的周长＝边长×4，圆的周长公式C＝πd，分别求出正方形和圆的周长，再比较即可。 【规范解答】①圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，原说法正确。 ②根据圆的周长公式C＝2πr，可知C÷r＝2π，即圆的周长是这个圆半径的2π倍，原说法正确。 ③设圆的直径是d，则正方形的边长也是d； 正方形的周长是：d×4＝4d 4d÷d＝4 这个正方形的周长是这个圆的直径的4倍，原说法正确。 ④设圆的直径是d，则正方形的边长是d； 正方形的周长是：d×4＝4d 圆的周长是：3.14×d＝3.14d 4d≠3.14d 所以，这个正方形和圆的周长不相等，原说法错误。 综上所述，说法正确的是①②③。 故答案为：B 题型五 含圆的组合图形的周长 【例5】（24-25六年级上·江西赣州·期末）如图，学校运动场两端是半圆形，中间是长方形。足球社团的学生每日的体能训练是绕操场跑2圈，足球社团的同学每天体能训练要跑多少米？ 【答案】801.92米 【思路引导】两端是半圆形合起来就是一个整圆，直径是64米，圆周长＝πd，再加上中间的直道可算出这个跑道的周长，2圈则是用周长乘2即可。 【规范解答】（3.14×64＋100×2）×2 ＝（200.96＋200）×2 ＝400.96×2 ＝801.92（米） 答：足球社团的同学每天体能训练要跑801.92米。 【变式】（24-25六年级上·山东济宁·期末）计算下面图形涂色部分的周长。（单位：cm） 【答案】102.8cm2 【思路引导】涂色部分的周长由两个半圆的弧长（合起来是一个圆的周长）和上下两条线段组成，上下两条线段均等于圆的直径，先利用圆的周长公式C＝2πr（π取3.14）求出圆的周长，再加上两条直径的长度来计算。 【规范解答】2×3.14×10＋2×10×2 ＝6.28×10＋20×2 ＝62.8＋40 ＝102.8（cm2） 所以涂色部分的周长是102.8cm2。 题型六 圆的面积 【例6】（24-25六年级上·重庆大足·期末）看图计算。求出阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】129cm2 【思路引导】根据题意分析：长方形的长等于3个圆的半径，那么圆的半径＝30÷3＝10（cm），长方形的宽＝圆的直径，那么长方形的宽＝10×2＝20（cm）。阴影部分面积＝长方形面积－圆的面积－半圆的面积。根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2。据此列式解答即可。 【规范解答】30÷3＝10（cm） 30×（10×2）－3.14×102－3.14×102÷2 ＝30×20－3.14×100－3.14×100÷2 ＝600－314－157 ＝129（cm2） 所以阴影部分的面积是129cm2。 【变式】（24-25六年级上·河南安阳·期末）求涂色部分的面积。（单位：厘米）（π取3.14） 【答案】5.495平方厘米 【思路引导】涂色部分面积＝半径为（3＋1）厘米的圆的面积的－半径为3厘米圆的面积的，圆的面积S＝πr2，代入数据即可解答。 【规范解答】3＋1＝4（厘米） （平方厘米） 涂色部分的面积是5.495平方厘米。 题型七 圆的面积的应用 【例7】（24-25六年级上·吉林·期末）文体中心有一个圆形表演台，周长是43.96m。现在把舞台的半径增加1m，现在表演台的面积是多少平方米？ 【答案】200.96 【思路引导】已知这个圆的周长是43.96米，根据圆的周长：C＝πd，d＝2r，先求出增加前圆的半径r；再根据圆的面积：S＝π，求出现在表演台的面积，据此解答。 【规范解答】表演台增加前的半径是： 43.96÷3.14÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 现在表演台的半径是：7＋1＝8（米） 现在表演台的面积是： ×3.14 ＝8×8×3.14 ＝64×3.14 ＝200.96（平方米） 答：现在表演台的面积是200.96平方米。 【变式】（24-25六年级上·江西九江·期末）屏风始于商周，它起到了分隔、美化、挡风协调的作用，体现出手艺人的智慧和巧夺天工的技术。某设计师准备制作一块边长为2米的正方形屏风，并在屏风上划出一块最大的圆形区域用来雕刻大理石山水画，其他区域用黄花梨木雕刻龙形花纹。 （1）用来雕刻山水画的大理石面积是多少平方米？ （2）使用黄花梨木的面积是多少平方米？ 【答案】（1）3.14平方米 （2）0.86平方米 【思路引导】（1）正方形里最大的圆的直径＝正方形边长，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可； （2）使用黄花梨木的面积＝正方形面积－圆的面积，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答。 【规范解答】（1）3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 答：用来雕刻山水画的大理石面积是3.14平方米。 （2）2×2－3.14 ＝4－3.14 ＝0.86（平方米） 答：使用黄花梨木的面积是0.86平方米。 题型八 圆环的面积 【例8】（24-25六年级上·江西宜春·期末）公园内有一个半径为4米的圆形水池，现在要沿着水池的外边缘用地砖铺一条1米宽的小路，如果每平方米地砖40元，那么买地砖至少要多少钱？ 【答案】1130.4元 【思路引导】根据圆环的面积公式：S＝（－），用圆形水池的半径加上小路的宽求出外圆的半径，代入数据即可求出小路的面积，再根据单价×数量＝总价，用小路的面积乘40即可求出地砖的总价。 【规范解答】（米） 3.14×（－） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 40×28.26＝1130.4（元） 答：买地砖至少要1130.4元。 【变式】．（24-25六年级上·河北石家庄·期末）土楼是福建、广东等地区的一种建筑形式，其外形有圆形、方形、椭圆形等。一个底面是圆环形的土楼外直径为26米，内直径为14米。这个土楼的房屋占地面积是( )平方米。 【答案】376.8 【思路引导】根据圆的面积公式等于（r是圆的半径），圆环形的土楼的房屋占地面积等于大圆面积减小圆面积即可，取值3.14进行计算。 【规范解答】26÷2＝13（米） 14÷2＝7（米） （平方米） 所以这个土楼的房屋占地面积是376.8平方米。 题型九 求最大面积 【例9】（22-23六年级上·云南曲靖·期末）用四根长为6.28米的篱笆分别围成长方形、正方形、平行四边形和圆，其中面积最大的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．圆 【答案】D 【思路引导】由题意可知，长方形、正方形和圆的周长都是篱笆的长度，所以四个图形周长相等。根据题意可知，图形的周长为6.28米，根据圆的周长公式和正方形的周长公式，分别求出圆的半径和正方形的边长，然后根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出圆的面积和正方形的面积，再比较。周长相等的正方形的面积大于长方形的面积。因为要使积大，两个乘数的差就小。当长方形和平行四边形的周长相等时，长方形的宽大于平行四边形的高，所以长方形的面积大于平行四边形的面积。据此解答。 【规范解答】篱笆的长为6.28米， 6.28÷3.14＝2（米） 圆的面积：3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 6.28÷4＝1.57（米） 正方形的面积：1.57×1.57＝2.4649（平方米） 3.14＞2.4649 根据分析可知，周长相等的正方形的面积大于长方形的面积，周长相等的长方形面积大于平行四边形的面积，所以用四根长为6.28米的篱笆分别围成长方形、正方形、平行四边形和圆，其中面积最大的是圆。 故答案为：D 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握长方形、平行四边形、圆、正方形的特征，明确两个数相差越小积就越大的规律及平面图形的周长、面积公式是解决本题的关键。 【变式】（20-21六年级上·河南驻马店·期末）用31.4米长的绳子，分别围成圆形、长方形或者正方形，面积最大的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 【答案】C 【思路引导】由题意可知，圆形、长方形和正方形的周长相等；根据“r＝c÷π÷2”求出圆的半径，再根据“s＝πr²”求出圆的面积即可；利用周长除以2即可求出长方形中长与宽的和，假设出长，进而求出宽和面积即可；用周长除以4即可求出正方形的边长，再根据“正方形的面积＝边长×边长”求出面积，将三者的面积相比较解答。 【规范解答】圆：31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米）； 3.14×5²＝78.5（平方米）； 长方形：31.4÷2＝15.7（米）； 假设长方形的长为7.86米，宽为7.84米； 7.86×7.84＝61.6224（平方米）； 正方形：31.4÷4＝7.85（米）； 7.85×7.85＝61.6225（平方米）； 78.5＞61.6225＞61.6224； 圆的面积最大； 故答案为：C。 【考点剖析】熟记周长相等的情况下，圆的面积最大。 题型十 含圆的组合图形的面积 【例10】（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）计算下面图形中涂色部分的面积。 【答案】38.88dm2 【思路引导】由图可知，正方形的边长是8dm，根据“正方形面积＝边长×边长”求出正方形的面积；圆的直径为8dm，求出半径为8÷2＝4dm，根据圆的面积公式求出圆的面积，再除以2求出半圆的面积；最后用正方形的面积减去半圆的面积即可求出涂色部分的面积。 【规范解答】8×8＝64（dm2） 8÷2＝4（dm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（dm2） 64－25.12＝38.88（dm2） 所以涂色部分的面积是38.88dm2。 【变式】（24-25六年级上·广东东莞·期末）下面三个正方形的边长均为4cm，比较三幅图中阴影部分的面积，说法正确的是（    ）。 图1：    图2：     图3： A．图3阴影部分面积最大 B．图2阴影部分面积最大 C．图1阴影部分面积最大 D．三幅图阴影部分面积一样大 【答案】D 【思路引导】图1：阴影部分是一个圆，圆的直径为4cm，半径为4÷2＝2（cm），图2：阴影部分由4个相同的四分之一圆组成，4个相同的四分之一圆可以拼成一个半径为4÷2＝2（cm）的圆；图3：阴影部分是一个半径为4cm的四分之一圆；圆的面积：S＝πr2，据此求出各个图形中阴影部分的面积，然后进行比较即可解答。 【规范解答】图1：4÷2＝2（cm），3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2） 图2：4÷2＝2（cm），3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2） 图3：3.14×42÷4＝3.14×16÷4＝12.56（cm2） 所以，三幅图阴影部分面积一样大。 故答案为：D 题型十一 方中圆和圆中方的面积问题 【例11】（24-25六年级上·河北保定·期末）如图所示，在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形这个圆的半径是( )cm，正方形的面积是( )cm2。 【答案】 4 64 【思路引导】根据d＝C÷π，求出圆的直径， 直径再除以2就得到半径，圆内直径等于正方形的边长，正方形的面积＝边长×边长，据此解答。 【规范解答】25.12÷3.14＝8（cm） 8÷2＝4（cm） 8×8＝64（cm2） 在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形这个圆的半径是4cm，正方形的面积是64cm2。 【变式】（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下面四幅图中，正方形的边长都是10cm。关于四幅图中阴影面积的大小，说法（    ）是正确的。 A．四幅图的阴影部分面积都相等 B．甲、丙的阴影部分面积相等，但与乙、丁的阴影部分面积不相等 C．丁的阴影部分面积最小 D．乙的阴影部分面积最大 【答案】A 【思路引导】图甲，圆的直径等于正方形的边长10cm，甲的阴影面积＝正方形的面积－圆的面积； 图乙，2个圆的直径之和等于正方形的边长10cm，据此得出1个圆的半径是10÷2÷2＝2.5cm；乙的阴影面积＝正方形的面积－4个圆的面积； 图丙，半圆的直径等于正方形的边长10cm，丙的阴影面积＝正方形的面积－2个半圆的面积； 图丁，圆的半径等于正方形的边长10cm，丁的阴影面积＝正方形的面积－圆的面积的； 根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出四幅图阴影部分的面积，再比较大小，得出结论。 【规范解答】甲的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝10×10－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 乙的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2÷2）2×4 ＝10×10－3.14×2.52×4 ＝10×10－3.14×6.25×4 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 丙的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2）2÷2×2 ＝10×10－3.14×52÷2×2 ＝10×10－3.14×25÷2×2 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 丁的阴影面积： 10×10－3.14×102× ＝10×10－3.14×100× ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 综上所述，四幅图的阴影部分面积都相等。 故答案为：A 题型十二 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例12】（24-25六年级上·湖北孝感·期末）如下图，求阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】14.13 cm2 【思路引导】阴影部分是3个扇形，每个扇形的半径都是3cm，且这3个扇形的圆心角之和等于三角形的内角和180°，因此3个扇形可以拼成一个半圆。根据半圆面积公式：面积＝πr2÷2（π取3.14）求出阴影部分的面积。 【规范解答】3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 所以阴影部分的面积为14.13 cm2。 【变式】（24-25六年级上·天津滨海新·期末）“转化”是解决数学问题的一个重要思想方法。运用“转化”可以把未知的知识转化成已知的知识，把复杂的问题转化成简单的问题，把不规则的图形转化成规则的图形。请你运用“转化”的方法，求出下图的面积。 【答案】39.25cm2 【思路引导】通过观察图形可知，凸出来的小半圆与凹进去的小半圆直径相等，可以把凸出来的小半圆割补到凹进去的小半圆的位置，则这个不规则图形的面积就等于半径为5cm的大半圆的面积，最后根据圆的面积公式“”代入数据计算即可。 【规范解答】3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（cm2） 答：图形的面积是39.25cm2。 题型十三 弧、圆心角、扇形的认识 【例13】（24-25六年级上·北京大兴·期末）下面的说法正确的是（    ）。 A．圆周率π就是3.14 B．大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积也是小圆面积的2倍。 C．两个圆的直径相等，它们的半径也一定相等。 D．用4个圆心角是90°的扇形，一定可以拼成一个圆。 【答案】C 【思路引导】圆周率π是一个无限不循环小数；半径是2倍的关系，根据圆的面积＝πr2，面积是4倍的关系；直径＝半径×2，直径相等，则半径也相等；要用扇形拼成一个圆，圆心角之和是360°且半径要相等；据此解答。 【规范解答】A．圆周率π是一个无限不循环小数，取近似值是3.14，原题说法错误； B．大圆半径是小圆半径的2倍，设小圆半径为r，则大圆半径为2r，根据面积＝πr2，小圆的面积是πr2，大圆的面积是4πr2，则大圆面积是小圆面积的4倍，原题说法错误； C．两个圆的直径相等，根据d＝2r，则半径也相等，原题说法正确； D．用几个扇形拼成一个圆，要求圆心角度数之和是360°且半径相等，原题说法错误； 故答案为：C 【变式】（24-25六年级上·河北保定·期末）王丽用一张圆形彩纸连续对折两次（下图），打开后会形成( )个小扇形，每个扇形圆心角的度数是( )°。 【答案】 4 90 【思路引导】根据题意：把一张圆形纸对折一次，平均分成2份，形成二个半圆，所对的圆心角是360°除以2，对折二次，平均分成4份，形成4个扇形，所对的圆心角是360°除以4，据此解答。 【规范解答】圆形纸片的总圆心角为360°。每次对折将扇形数量翻倍：第一次对折：分成2份，每份圆心角为360°÷2＝180°；第二次对折：分成4份，形成4个扇形，每份圆心角为360°÷4＝90°； 所以圆形彩纸连续对折两次，打开后会形成4个小扇形，每个扇形圆心角的度数是90°。 题型十四 画扇形 【例14】（24-25六年级上·安徽芜湖·期末）画一个周长是9.42厘米的圆，再在圆中画一个与圆的半径相等，圆心角为的扇形。 【答案】见详解 【思路引导】根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆的半径；画圆的时候，圆规两脚之间是半径的长度，一端固定，转动圆规一周即可，进而画出圆；先画出一条半径，再用量角器量出120°，从而画出扇形即可（画法不唯一）。 【规范解答】9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（厘米） 如下图： 【变式】（24-25六年级上·湖北孝感·期末）古代哲学家说：哪里有数学，哪里就有美！ （1）请利用圆规和直尺，在右边空白处画一个与下图一样的图案。（圆的直径为4厘米）。 （2）根据相关数据，算出图中阴影部分的面积。 【答案】（1）画图见详解 （2）6.28平方厘米 【思路引导】（1）由题意知圆的直径为4厘米，则圆的半径为4÷2＝2（厘米），用圆规把两脚张开到2厘米处，定住一脚旋转画出半径为2厘米的圆，并用直尺画出水平的一条4厘米的直径。找到这条直径的两个四等分点，即为小圆的圆心，分别以这两个四等分点为圆心，2÷2＝1（厘米）长为半径，左边画上半圆，右边画下半圆，即可画出所要图形。 （2）将右边的小半圆移至左边的小半圆，求阴影部分的面积即为求大圆的面积除以2即可。再根据圆的面积＝πr2，代入大圆的半径，即可求得图中阴影部分的面积。 【规范解答】（1）4÷2＝2（厘米） 2÷2＝1（厘米） 作图如下： （2）3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积为6.28平方厘米。 题型十五 扇形的周长和面积 【例15】（24-25六年级上·天津南开·期末）下图中，甲、乙、丙三个人用边长4厘米的正方形卡纸剪图形，剩下的卡纸（    ）。 A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多 【答案】D 【思路引导】根据要比较三人剩下的卡纸的面积可知，先比较三个人用去卡纸的面积，据此判断剩下面积的大小。正方形卡纸的边长是4厘米，甲中圆的半径是4÷2＝2厘米，乙中圆的半径是4÷2÷2＝2÷2＝1（厘米），丙中扇形的半径是4厘米，根据圆的面积＝，分别求出三个人用去卡纸的面积，再进行比较即可解答。 【规范解答】甲：4÷2＝2（厘米） 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 乙：4÷2÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3.14××4 ＝3.14×1×4 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 丙：3.14×× ＝3.14×16× ＝50.24× ＝12.56（平方厘米） 所以用去的卡纸一样多，则剩下的卡纸也一样多。 故答案为：D 【变式】（24-25六年级上·河南安阳·期末）孟子曰：“不以规矩，不能成方圆”。“规”指圆规，是画圆的工具。“矩”指曲尺，是画方的工具。请你用自己的作图工具，在下面长方形内画一个最大的圆，再在此圆内画一个圆心角是90°的扇形，这个扇形的面积是（    ）平方厘米。 【答案】图见详解；3.14 【思路引导】在长方形内画一个最大的圆，则这个圆的直径等于长方形的宽；在圆内画一个圆心角是90°的扇形，扇形的面积计算公式：，代入数据计算即可。 【规范解答】圆的半径：4÷2＝2（厘米） 扇形的面积： ＝1×3.14 ＝3.14（平方厘米） 在长方形内画一个最大的圆，如上图所示；在此圆内画一个圆心角是90°的扇形，这个扇形的面积是3.14平方厘米。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）已知一个圆的半径为2cm，将圆的半径扩大到原来的2倍，扩大后的圆的面积是（    ）。 A．50.24 B．25.12 C．12.56 D．6.28 【答案】A 【思路引导】用2乘2计算出扩大后的半径为4cm；再根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”代入数值计算即可。 【规范解答】3.14×（2×2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（） 已知一个圆的半径为2cm，将圆的半径扩大到原来的2倍，扩大后的圆的面积是50.24。 故答案为：A 2．（24-25六年级上·江西九江·期末）关于圆的认识，以下说法正确的是（    ）。 ①两端都在圆上的线段是圆的直径。 ②圆的周长除以直径的商叫做圆周率，圆周率＝3.14 ③在同一个圆内，圆的半径是直径的。 ④圆的直径所在的直线是圆的对称轴。 A．①③④ B．③④ C．①②③ 【答案】B 【思路引导】①通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径； ②圆周率3.14； ③在同圆或等圆中，圆的直径是半径的2倍； ④圆的对称轴是圆的直径所在的直线。 【规范解答】①根据直径的含义可知：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径，原题说法错误； ②圆的周长除以直径的商叫做圆周率，圆周率≈3.14，原题说法错误； ③在同一个圆内，圆的半径是直径的，原题说法正确； ④圆的直径所在的直线是圆的对称轴，原题说法正确。 因此，说法正确的是③④。 故答案为：B 3．（24-25六年级上·新疆吐鲁番·期末）用圆规画圆时，如果圆规两脚之间的距离是2cm，那么画出的圆的周长是（    ）cm。 A．12.56 B．6.28 C．3.14 【答案】A 【思路引导】圆规两脚之间的距离就是圆的半径，根据圆的周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（cm） 用圆规画圆时，如果圆规两脚之间的距离是2cm，那么画出的圆的周长是12.56cm。 故答案为：A 4．（24-25六年级上·重庆大足·期末）数学课上，小红从一个半径是3厘米的圆形纸片上剪去一个半径是3厘米的扇形，恰好占这个圆的面积的，这个扇形的圆心角是 °，这个扇形的面积是 平方厘米。 【答案】 60 4.71/ 【思路引导】根据圆面积，扇形面积占圆面积的，则其圆心角也占圆的度数的，半径绕着圆心转一圈对应的度数是360°，圆的半径是3厘米，从而可以求出圆的面积，也就能求出扇形的圆心角以及扇形的面积。 【规范解答】 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） （平方厘米） 则这个扇形的圆心角是60°，这个扇形的面积是4.71平方厘米。 5．（24-25六年级上·江西南昌·期末）科学课上，同学们做实验，观察地球不同地区迎来黎明的时间是否相同，他们从一张边长是6分米的正方形纸上剪下一个最大的圆来代替太阳。这个圆的半径是( )分米，圆的面积是( )平方分米。 【答案】 3 28.26 【思路引导】从正方形中剪下最大的圆时，圆的直径等于正方形的边长。已知正方形边长为6分米，因此圆的直径为6分米，半径是直径的一半；根据圆的面积＝，代入数据计算即可求出圆的面积。 【规范解答】6÷2＝3（分米） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 所以这个圆的半径是3分米，圆的面积是28.26平方分米。 6．（24-25六年级上·重庆合川·期末）一个水池外面有条小路（如图），外圆半径是5m，内圆半径是4m，这条小路的面积是( )m2。 【答案】28.26 【思路引导】根据图可知，小路面积＝大圆面积－小圆面积；圆的面积＝πr2，代入数据，求出大圆面积和小圆面积，再用大圆面积－小圆面积，即可解答。 【规范解答】3.14×52－3.14×42 ＝3.14×25－3.14×16 ＝78.5－50.24 ＝28.26（m2） 这条小路的面积是28.26m2。 7．（24-25六年级下·四川凉山·期末）计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】21.5平方厘米 【思路引导】由图可知，整个图形是一个边长为10厘米的正方形。空白部分是一个直径为10厘米，半径为10÷2＝5厘米圆的面积。阴影部分面积是由正方形面积减去圆的面积。根据正方形面积公式：S＝a×a（a为边长），圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14，r为半径），把数据代入公式计算后，再用正方形面积减圆的面积即可。 【规范解答】10×10＝100（平方厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 100－78.5＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积是21.5平方厘米。 8．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）向平静的湖水中投入一块小石子，水面会荡起圈圈涟漪。如图是湖面上其中两圈涟漪的示意图，内圈涟漪的直径为2米，外圈涟漪的直径为6米。两圈涟漪之间形成的圆环的面积是多少平方米？ 【答案】25.12平方米 【思路引导】直径÷2＝半径，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式解答即可。 【规范解答】2÷2＝1（米） 6÷2＝3（米） 3.14×（－） ＝3.14×（9－1） ＝3.14×8 ＝25.12（平方米） 答：两圈涟漪之间形成的圆环的面积是25.12平方米。 9．（24-25六年级上·甘肃兰州·期末）星光小区里有一个圆形花坛，测得它的周长是31.4米。物业要在花坛的中心安装一个正好可以覆盖整个花坛喷水的自动旋转灌溉装置，装完后可以灌溉多大的一块地？ 【答案】78.5平方米 【思路引导】求灌溉面积，就是求这个圆形花坛的面积；根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出这个圆形花坛的半径，再根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【规范解答】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 答：装完后可以灌溉78.5平方米的地。 10．（24-25六年级上·山东济宁·期末）北京天坛是世界上最大的古代祭天建筑群，是著名的“世界文化遗产”之一。其主要建筑祈谷坛的形状是一个圆形，它的周长约是628米。祈谷坛的面积约是多少平方米？ 【答案】31400平方米 【思路引导】已知祈谷坛的周长约是628米，根据圆的周长公式“”先求出半径，再根据圆的面积公式“”代入数据计算，即可求出祈谷坛的面积。 【规范解答】628÷2÷3.14＝100（米） 3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：祈谷坛的面积约是31400平方米。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·重庆大渡口·期末）伐木工人经常将圆木并排捆扎成一排，然后利用水的浮力顺流而下节约运输成本，如果将10根直径约为0.5m的圆木用铁丝紧紧并排捆扎在一起（如图所示），捆一圈大约要用（    ）m铁丝。（接头处不算） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】从图中可知，将10根圆木用铁丝紧紧并排捆扎一圈，最左边和最右边各有一个半圆，可以组成一个圆，根据圆的周长公式求出最左边和最右边铁丝的长度；上、下面的铁丝长度都等于（10－1）个直径的长度之和，再加上圆的周长，即是捆一圈至少要用铁丝的长度。 【规范解答】3.14×0.5＝1.57（m） （10－1）×0.5×2 ＝9×0.5×2 ＝4.5×2 ＝9（m） 1.57＋9＝10.57（m） 捆一圈大约要用10.57m铁丝。 故答案为：C 2．（24-25六年级上·山西忻州·期末）“化曲为直”是我们在圆的面积推导过程中常用的方法，下面的方法中，（    ）不能推导出圆的面积公式。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】圆的面积S＝πr2，圆的周长C＝2πr，逐步分析各个选项将圆转换成的各个图形，根据各个图形的面积公式，判断是否与圆的面积相等。 【规范解答】A．把圆分割成若干个小扇形，拼成近似的长方形。长方形的长相当于圆周长的一半（πr），宽相当于圆的半径（r），长方形的面积＝长×宽＝πr×r＝πr2，此时，长方形面积＝圆的面积，可以利用“化曲为直”的思想，推导出圆的面积公式； B．把圆沿虚线剪开，展开成近似的三角形。三角形的底相当于圆的周长（2πr），高相当于圆的半径（r），三角形的面积＝底×高÷2＝2πr×r÷2＝πr2， 此时，三角形面积＝圆的面积，可以利用“化曲为直”的思想，推导出圆的面积公式； C．用方格纸通过数出方格的数量估算出圆的面积，并非通过 “化曲为直” 转化为规则图形（如长方形、三角形）来推导公式。 故答案为：C 3．（24-25六年级上·新疆阿克苏·期末）如图，涂色扇形的面积是（    ）。 A．113.04 B．56.52 C．37.68 D．28.26 【答案】D 【思路引导】涂色扇形的面积是整个圆面积的，又根据圆的面积公式＝πr2，代入圆的半径为6cm的数据得出答案。 【规范解答】3.14×62× ＝3.14×36× ＝113.04× ＝28.26（cm2） 涂色扇形的面积是28.26cm2。 故答案为：D 4．（24-25六年级上·江西宜春·期末）在一个长10厘米，宽8厘米的长方形纸上剪出一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4 50.24 【思路引导】根据题意，在长方形纸上剪出一个最大的圆，圆的直径等于长方形宽的长度。同一圆内，直径是半径的2倍，所以用8除以2算出圆的半径长度。再根据圆的面积S＝πr2，代入计算即可。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 所以，这个圆的半径是4厘米，面积是50.24平方厘米。 5．（24-25六年级上·重庆合川·期末）如图，阴影部分面积是( )。 【答案】4.56 【思路引导】观察图形可知，阴影部分面积等于半径是（8÷2）cm半圆的面积的减去底等于圆的半径，高等于圆的半径的三角形面积，根据圆的面积＝π×半径2，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×（8÷2）2÷2×－（8÷2）×（8÷2）÷2 ＝3.14×42÷2×－4×4÷2 ＝3.14×16÷2×－16÷2 ＝50.24÷2×－8 ＝25.12×－8 ＝12.56－8 ＝4.56（cm2） 阴影部分面积是4.56cm2。 6．（24-25六年级上·山西忻州·期末）乐乐测量发现客厅里的圆形钟表中的分针长20厘米，时针长15厘米，从6：00到12：00，分针针尖走了( )厘米；时针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 753.6 353.25 【思路引导】钟面是一个圆形共有12个大格，分针转一圈走的距离等于圆的周长，分针从6：00到12：00共走了6圈，根据圆的周长公式C＝2πr代入数据进行计算； 时针从6：00到12：00走了半圈，扫过的面积是圆的面积的一半，根据圆的面积公式S＝πr2代入数据进行计算。 【规范解答】分针的长度是20厘米，半径r取值20厘米。 3.14×20×2×6 ＝62.8×2×6 ＝125.6×6 ＝753.6（厘米） 时针的长度是15厘米，半径r取值15厘米。 3.14×152÷2 ＝3.14×225÷2 ＝706.5÷2 ＝353.25（平方厘米） 所以，分针针尖走了（753.6）厘米；时针扫过的面积是（353.25）平方厘米。 7．（24-25六年级上·江西宜春·期末）求阴影部分的面积。 【答案】9.12cm2；3.87cm2 【思路引导】 （1）如图：用直径为4cm的半圆的面积减去三角形的面积（底相当于圆的直径，高相当于圆的半径）即可求出1瓣阴影部分的面积，再乘4即可； （2）观察图形可知，阴影部分的面积＝长方形的面积－半圆形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【规范解答】（1）（cm） 3.14×22÷2－4×2÷2 ＝3.14×4÷2－4×2÷2 ＝6.28－4 ＝2.28（cm2） 2.28×4＝9.12（cm2） （2）6÷2＝3（cm） （cm2） 8．（24-25六年级上·重庆大渡口·期末）某小区的圆形喷水池直径是20米，现要在周围铺设一条宽10米的环形石子路。 （1）这条石子路的面积是多少平方米？ （2）如果要沿着石子路的外边上每隔31.4米设置一个供游人休息的椅子，一共需要设置多少个？ 【答案】（1）942平方米 （2）4个 【思路引导】（1）根据题意可知，内圆的直径为20米，半径为20÷2＝10（米），外圆的半径为10＋10＝20（米），外圆的面积减去内圆的面积即等于石子路的面积； （2）根据圆的周长公式：C＝2πr，用2×3.14×20求出石子路的外边的长是125.6米。在一条首尾相接的封闭曲线上植树问题的规律：棵数＝间隔数＝总距离÷株距。据此用石子路的外边的长除以两个椅子间的长度，可求出需要设置的椅子的个数，列式为125.6÷31.4。 【规范解答】（1）20÷2＝10（米） 10＋10＝20（米） 3.14×202－3.14×102 ＝3.14×400－3.14×100 ＝3.14×（400－100） ＝3.14×300 ＝942（平方米） 答：这条石子路的面积是942平方米。 （2）2×3.14×20 ＝6.28×20 ＝125.6（米） 125.6÷31.4＝4（个） 答：共需要设置4个。 9．（24-25六年级上·重庆大足·期末）重庆火锅享誉世界，下图是一个圆形火锅桌，桌面的直径是1.8米，中间放置圆形火锅部分的直径是60厘米，制作这样一个桌面至少需要多少平方米的石材板呢？（得数保留两位小数） 【答案】2.26平方米 【思路引导】分析题目，先根据1米＝100厘米把60厘米换算成米，桌面的面积等于一个直径是1.8米的大圆的面积减去一个直径是60厘米的小圆的面积，根据圆的面积＝π（d÷2）2列式计算即可，注意：结果根据“四舍五入”法保留两位小数。 【规范解答】60厘米＝0.6米 3.14×（1.8÷2）2－3.14×（0.6÷2）2 ＝3.14×0.92－3.14×0.32 ＝3.14×0.81－3.14×0.09 ＝2.5434－0.2826 ≈2.26（平方米） 答：制作这样一个桌面至少需要2.26平方米的石材板。 10．（24-25六年级上·广东东莞·期末）为了更好地关爱留守儿童，“小红帽”志愿者组织留守儿童开展了一系列的关爱活动，在幸福课堂上开展了一场趣味运动会。 （1）这个活动场地的面积是多少平方米？ （2）小明沿这个活动场地的四周跑了3圈，他一共跑了多少米？ 【答案】（1）413.04平方米 （2）263.04米 【思路引导】（1）活动场地由一个长方形和两个半圆（可合成一个圆）组成，圆的直径为12米，先计算出半径再根据圆的面积＝πr²计算出两个半圆的面积。长方形的长为25米，宽为12米，根据长方形面积＝长×宽计算出长方形的面积，最后加上两个半圆的面积即计算出整个场地的面积。 （2）场地周长由圆的周长和长方形两条长组成，根据圆的周长＝πd，计算圆的周长，加上长方形的两条长，可计算出整个场地的周长，再乘3即可计算出跑3圈的长度。 【规范解答】（1）25×12＋3.14× ＝25×12＋3.14× ＝300＋3.14×36 ＝300＋113.04 ＝413.04（平方米） 答：这个活动场地的面积是413.04平方米。 （2）3.14×12＋25×2 ＝37.68＋50 ＝87.68（米） 87.68×3＝263.04（米） 答：他一共跑了263.04米。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·重庆大足·期末）在下面的图中，有两枚硬币A和B，硬币A的半径是硬币B半径的2倍，将硬币A固定在桌面上不动，硬币B绕硬币A的周长滚动一次，那么硬币B转动的圈数是（    ）。 A．1圈 B．1.5圈 C．2圈 D．3圈 【答案】D 【思路引导】根据题意分析，硬币A的半径是硬币B半径的2倍，设硬币B半径为r，那么硬币A的半径是2r。硬币B绕硬币A滚动，它所转动的长度是以A为圆心，硬币A的半径加硬币B的半径为半径即3r圆的周长。根据圆周长计算公式C＝2πr，分别求出硬币B绕硬币A的周长滚动一次的长和硬币B的周长再相除即可解答。 【规范解答】解：设硬币B半径的为r，那么硬币A的半径是2r，点A到点B的距离是3r。 2π3r÷2πr＝3（圈） 所以将硬币A固定在桌面上不动，硬币B绕硬币A的周长滚动一次，那么硬币B转动的圈数是3。 故答案为：D 【考点剖析】本题关键点在于判断硬币B滚动一周的长度是圆心B轨迹的长度，而硬币B绕硬币A的周长滚动一次，是以A为圆心，以A到B的距离为半径圆的周长而不硬币A的周长。 2．（24-25六年级上·天津河西·期末）淘气和笑笑在推导圆的面积时，将同一种由草绳编织成的圆形茶杯垫片分别用各自的方法剪开（如下图），展开后淘气得到了一个近似的三角形，笑笑则得到了一个近似的平行四边形。下面说法中正确的有（    ）个。 ①淘气和笑笑展开后得到的图形面积都与原来圆的面积相等。 ②淘气得到的三角形的底相当于圆的周长。 ③笑笑得到的平行四边形的底相当于半圆的周长。 ④笑笑得到的平行四边形的高相当于圆的半径。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】通过观察图形可知，将一个圆形杯垫片沿半径剪开，得到一个近似的三角形，三角形的底等于圆的外围的一圈，即圆的周长；将一个圆形杯垫片沿半径剪开，得到一个近似的平行四边形，平行四边形的底等于圆周长的一半，平行四边形的高等于圆的半径；两种剪法所形成的图形面积都与原来圆的面积相等。据此解答。 【规范解答】由分析可得： ①淘气和笑笑展开后得到的图形面积都与原来圆的面积相等，说法正确； ②淘气得到的三角形的底相当于圆的周长，说法正确； ③笑笑得到的平行四边形的底相当于半圆的周长，说法错误，半圆的周长是圆周长的一半再加上一条直径； ④笑笑得到的平行四边形的高相当于圆的半径，说法正确。 所以下面说法中正确的有①②④，共3个。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查转化的思想，解题关键在于理解剪开后形成的图形和圆之间的关系。 3．（24-25六年级上·河南信阳·期末）如图，一张可折叠的圆桌，直径是1.2m，折叠后成了一张方桌。折叠部分的面积是( )。 【答案】0.4104 【思路引导】已知圆的直径是1.2m，则半径是1.2÷2＝0.6（m），根据圆的面积＝πr2，代入数值，可以求出圆的面积。 把正方形沿对角线分成两个完全一样的等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径1.2m，高是圆的半径0.6m，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数值，可求出三角形的面积。 圆的面积减去正方形的面积就是折叠部分的面积。 【规范解答】1.2÷2＝0.6（m） 3.14×0.62 ＝3.14×0.36 ＝1.1304（m2） 1.2×0.6÷2×2 ＝0.72÷2×2 ＝0.36×2 ＝0.72（m2） 1.1304－0.72＝0.4104（m2） 折叠部分的面积是0.4104m2。 【考点剖析】求不规则的折叠部分面积，采用“整体减部分”的转化策略——将折叠部分面积转化为圆的面积与正方形面积的差，把未知问题转化为已知的规则图形的面积计算，这是解决不规则图形面积的常用方法。 4．（24-25六年级上·河南安阳·期末）一个圆的直径是2cm，如果以该圆的直径为三角形的底，三角形的顶点在圆上运动，那么这个三角形的面积最大是( )cm2。 【答案】1 【思路引导】根据三角形面积＝底×高÷2，三角形以圆的直径为底，三角形的顶点在圆上运动，当三角形的高最大时三角形面积最大，当三角形的高等于圆的半径时，三角形的面积最大。据此解答。 【规范解答】2÷2＝1（cm） 2×1÷2 ＝2÷2 ＝1（cm2） 则这个三角形的面积最大是1cm2。 【考点剖析】三角形以圆的直径为底，三角形的顶点在圆上运动，当三角形的高最大时三角形面积最大，当三角形的高等于圆的半径时，三角形的面积最大。 5．（24-25六年级上·浙江台州·期末）如图，每条跑道宽1.5米，从内到外依次是第1道，第2道……第一道半径是15米，绕第一道跑一圈正好是200米，则绕第2道跑一圈是( )米。 【答案】209.42 【思路引导】跑道周长的构成跑道是由两个直道段和两个半圆形弯道段组成的（两个半圆合起来是一个完整的圆）。因此，跑道周长＝直道段总长度＋圆的周长。 第2道与第1道的周长相差每条跑道宽1.5米，因此：第1道的弯道半径为米，弯道周长（圆的周长）为；第2道的弯道半径米弯道周长为。直道段的长度不随跑道宽度变化，因此第2道与第1道的周长差，仅来自弯道部分的周长差：周长差＝。最后计算第2道的周长代入即可求解。 【规范解答】（米） （米） （米） 所以绕第2道跑一圈是209.42米。 【考点剖析】相邻跑道周长差只和跑道宽度有关，直道长度不变，用原周长加宽度对应的弯道差即可。 6．（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）杂技团小红骑的自行车，前轮滚动4周，则后轮要滚动5周，前轮与后轮的直径的比是5∶4。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】自行车行驶时，前后轮所行路程相同。前轮滚动4周，行驶路程为：前轮周长×4，即×4；后轮滚动5周，行驶的路程为：后轮周长×5，即×5，根据路程相等关系，可得：×4＝×5；两边同时除以，得到×4＝×5，根据比的基本性质，将等式转化为前轮直径和后轮直径的比即可。 【规范解答】根据路程相等： ×4＝×5 4＝5 ∶＝5∶4 因此，杂技团小红骑的自行车，前轮滚动4周，则后轮要滚动5周，前轮与后轮的直径的比是5∶4，说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】这道题的难点在于没有注意到前后轮滚动的总距离一样这个隐藏信息，同时从4＝5转换成直径比时，也容易出错。 7．（24-25六年级上·云南大理·期末）下图小圆半径是大圆半径的一半，请你求出阴影部分的面积。 【答案】9.42cm2 【思路引导】圆的面积公式：S＝πr² 分别求出大圆面积的四分之一和小圆面积的四分之一，再用大圆面积的四分之一减去小圆面积的四分之一，即可得到阴影部分的面积。 【规范解答】已知大圆半径为4cm 大圆的面积：3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（cm²） 大圆面积的四分之一：50.24÷4＝12.56（cm²） 小圆半径是大圆半径的一半，所以小圆的半径为4÷2＝2（cm） 小圆的面积：3.14×2² ＝3.14×4 ＝12.56（cm²） 小圆面积的四分之一：12.56÷4＝3.14（cm²） 阴影部分的面积为大圆面积的四分之一减去小圆面积的四分之一： 12.56－3.14＝9.42（cm²） 阴影部分的面积为9.42cm²。 【考点剖析】本题关键是识别阴影部分的构成和圆的面积公式的应用。 8．（24-25六年级上·湖南张家界·期末）如下图，在直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝16厘米，阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积多5平方厘米，求BC的长。     【答案】11.935厘米 【思路引导】由图可知，圆的面积＝即可求出半圆的面积，扇形的面积＋甲的面积＝半圆的面积，又因为甲的面积－乙的面积＝5，则用半圆的面积减去5平方厘米即可得到三角形的面积，再根据三角形的面积＝底×高÷2，用三角形的面积乘2再除以AB的长即可求出BC的长。 【规范解答】16÷2＝8（厘米） 3.14×82÷2 ＝3.14×64÷2 ＝200.96÷2 ＝100.48（平方厘米） 100.48－5＝95.48（平方厘米） 95.48×2÷16＝11.935（厘米） 答：BC的长为11.935厘米。 【考点剖析】面积的转化是解题的关键，由题意可知三角形的面积为半圆的面积减去5平方厘米，由此即可解答。 9．（21-22六年级上·浙江·期末）如图，空地上有一座长方形羊圈。这座长方形羊圈的长是6米，宽是4米，在羊圈的墙角上栓着一只小羊。 （1）栓羊的绳长是4米，小羊在空地上的活动范围是多少平方米？ （2）如果栓羊的绳长是6米，那么小羊的活动范围增加了多少平方米？ 【答案】（1）37.68平方米 （2）50.24平方米 【思路引导】（1）栓羊的绳长是4米，那么羊在空地上的活动范围是一个以4米为半径的圆；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 （2）栓羊的绳长是6米，那么羊在空地上的活动范围是由两部分组成，一个以6米为半径的圆和一个以（6－4）米为半径的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出这两部分的面积，再减去上一题的面积，即是小羊的活动范围增加的面积。 【规范解答】（1）3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×12 ＝37.68（平方米） 答：小羊在空地上的活动范围是37.68平方米。 （2）3.14×62×＋3.14×（6－4）2× ＝3.14×36×＋3.14×4× ＝84.78＋3.14 ＝87.92（平方米） 87.92－37.68＝50.24（平方米） 答：小羊的活动范围增加了50.24平方米。 【考点剖析】本题考查圆的面积公式的运用，弄清羊的活动范围是由哪几部分组成的是解题的关键。 10．（21-22六年级下·河南郑州·期末）将一个边长为3厘米的等边三角形沿水平线滚动，B点从位置①到位置③所经过的路线总长度是多少厘米？ 【答案】12.56厘米 【思路引导】等边三角形的三个内角都是60°，由图可知，等边三角形从位置①到位置②B点经过的路线长度是半径为3厘米，圆心角为120°扇形的弧长，从位置②到位置③B点经过的路线长度等于从位置①到位置②B点经过的路线长度，圆心角为120°扇形的弧长等于整个圆周长的，利用“”求出B点经过的路线总长度，据此解答。 【规范解答】60°×2＝120° 120°÷360°＝ 2×3.14×3××2 ＝3.14×2×2×3× ＝3.14×（2×2）×（3×） ＝3.14×4×1 ＝12.56（厘米） 答：B点从位置①到位置③所经过的路线总长度是12.56厘米。 【考点剖析】本题主要考查圆的周长公式的应用，理解B点经过的路线长度的一半是整个圆周长的是解答题目的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 圆的基本概念与性质： 理解圆的定义，掌握圆心、半径、直径的概念及关系（d=2r），明确圆是轴对称图形且有无数条对称轴。 精准把握圆的基本概念和性质，清晰理解各要素关系，能准确判断相关问题。 多以填空、选择、判断形式出现，考查对基础概念的记忆和理解。 圆的周长： 理解圆周长公式C=2πr或C=πd的推导过程，能运用公式计算圆的周长，会根据周长求半径或直径。 熟练掌握圆周长公式，灵活运用公式解决周长计算及相关逆向问题。 以计算、应用题型为主，结合实际场景考查公式运用能力。 圆的面积： 理解圆面积公式S=πr²的推导过程，能运用公式计算圆的面积、环形面积等，会根据面积求半径。 深刻理解面积公式推导，准确运用公式计算不同情况下圆的面积及解决相关问题。 常出现在解答题中，难度稍大，考查综合运用知识和解决问题的能力。 圆在实际问题中的应用： 运用圆的知识解决生活中的实际问题，如车轮滚动、圆形场地面积规划等。 提高运用圆知识解决实际问题的能力，能准确建立数学模型求解。 以应用题形式呈现，结合生活场景，考查知识的应用能力和数学思维。 知识点01：圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点02：用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 知识点03：圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 知识点04：圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 知识点05：扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 知识点06：圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 知识点07：易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 题型一 与圆相关的轴对称图形 【例1】（24-25六年级上·江西九江·期末）圆可以帮我们设计出美丽的图案，请你根据对称轴画出轴对称图形的另一半。 【变式】（24-25六年级上·青海西宁·期末）下面方格图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求作图。 （1）画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形，并在图中标出长和宽的数据。 （2）画一个正方形，让它和图中已有圆形组成一个轴对称图形。 题型二 圆的周长 【例2】（24-25六年级上·云南红河·期末）2016年12月29日通车的北盘江大桥，连接贵州与云南两省，有着“世界最高桥”之称。王叔叔骑摩托车穿过北盘江大桥大约需要4分钟。北盘江大桥大约长多少米？（π取3.14） （1）选择方框里的条件（    ）可以解决上述问题。（填序号） （2）根据你选的条件，解答上述问题。 【变式】．（24-25六年级上·云南红河·期末）先画一个长4cm、宽2cm的长方形，在长方形里画一个最大的半圆，并求出半圆的周长。 题型三 半圆的周长 【例3】（24-25六年级上·天津河西·期末）瓦当是中国古建筑的重要构件。现有一块半圆形的瓦当（如图），它的直径是14cm，这块瓦当的周长是( )cm。 【变式】（24-25六年级上·湖北随州·期末）学习了圆的周长知识后，同学们用直径8厘米的半圆和其它更小的半圆设计了一些新图形，准备深入探究与这些新图形的周长有关的问题。 （1）笑笑设计的新图形如图。你同意她的说法吗？说明理由。（写出计算过程） （2）还有同学还设计出了下面两个新图形，想一想：这两个新图形的周长分别与直径8厘米的圆的周长有什么关系？ （3）根据以上探究，关于“新图形的周长”问题你有什么发现？ 题型四 圆的周长的应用 【例4】（24-25六年级上·江西新余·期末）一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块地毯边缘行进一周（如图）。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形。扫地机器人圆形底面的半径是，它的圆心走过路线的长度是 dm。 【变式】（24-25六年级上·江西九江·期末）关于圆的认识，下面说法正确的有（    ）。 ①圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ②圆的周长是这个圆半径的2π倍。 ③如图，在正方形内画最大的圆，这个正方形的周长是这个圆的直径的4倍。 ④如图，如果正方形的边长与圆的直径相等，那么这个正方形和圆的周长也相等。 A．①② B．①②③ C．②③④ 题型五 含圆的组合图形的周长 【例5】（24-25六年级上·江西赣州·期末）如图，学校运动场两端是半圆形，中间是长方形。足球社团的学生每日的体能训练是绕操场跑2圈，足球社团的同学每天体能训练要跑多少米？ 【变式】（24-25六年级上·山东济宁·期末）计算下面图形涂色部分的周长。（单位：cm） 题型六 圆的面积 【例6】（24-25六年级上·重庆大足·期末）看图计算。求出阴影部分的面积。（单位：cm） 【变式】（24-25六年级上·河南安阳·期末）求涂色部分的面积。（单位：厘米）（π取3.14） 题型七 圆的面积的应用 【例7】（24-25六年级上·吉林·期末）文体中心有一个圆形表演台，周长是43.96m。现在把舞台的半径增加1m，现在表演台的面积是多少平方米？ 【变式】（24-25六年级上·江西九江·期末）屏风始于商周，它起到了分隔、美化、挡风协调的作用，体现出手艺人的智慧和巧夺天工的技术。某设计师准备制作一块边长为2米的正方形屏风，并在屏风上划出一块最大的圆形区域用来雕刻大理石山水画，其他区域用黄花梨木雕刻龙形花纹。 （1）用来雕刻山水画的大理石面积是多少平方米？ （2）使用黄花梨木的面积是多少平方米？ 题型八 圆环的面积 【例8】（24-25六年级上·江西宜春·期末）公园内有一个半径为4米的圆形水池，现在要沿着水池的外边缘用地砖铺一条1米宽的小路，如果每平方米地砖40元，那么买地砖至少要多少钱？ 【变式】．（24-25六年级上·河北石家庄·期末）土楼是福建、广东等地区的一种建筑形式，其外形有圆形、方形、椭圆形等。一个底面是圆环形的土楼外直径为26米，内直径为14米。这个土楼的房屋占地面积是( )平方米。 题型九 求最大面积 【例9】（22-23六年级上·云南曲靖·期末）用四根长为6.28米的篱笆分别围成长方形、正方形、平行四边形和圆，其中面积最大的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．圆 【变式】（20-21六年级上·河南驻马店·期末）用31.4米长的绳子，分别围成圆形、长方形或者正方形，面积最大的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 题型十 含圆的组合图形的面积 【例10】（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）计算下面图形中涂色部分的面积。 【变式】（24-25六年级上·广东东莞·期末）下面三个正方形的边长均为4cm，比较三幅图中阴影部分的面积，说法正确的是（    ）。 图1：    图2：     图3： A．图3阴影部分面积最大 B．图2阴影部分面积最大 C．图1阴影部分面积最大 D．三幅图阴影部分面积一样大 题型十一 方中圆和圆中方的面积问题 【例11】（24-25六年级上·河北保定·期末）如图所示，在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形这个圆的半径是( )cm，正方形的面积是( )cm2。 【变式】（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下面四幅图中，正方形的边长都是10cm。关于四幅图中阴影面积的大小，说法（    ）是正确的。 A．四幅图的阴影部分面积都相等 B．甲、丙的阴影部分面积相等，但与乙、丁的阴影部分面积不相等 C．丁的阴影部分面积最小 D．乙的阴影部分面积最大 题型十二 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【例12】（24-25六年级上·湖北孝感·期末）如下图，求阴影部分的面积（单位：cm）。 【变式】（24-25六年级上·天津滨海新·期末）“转化”是解决数学问题的一个重要思想方法。运用“转化”可以把未知的知识转化成已知的知识，把复杂的问题转化成简单的问题，把不规则的图形转化成规则的图形。请你运用“转化”的方法，求出下图的面积。 题型十三 弧、圆心角、扇形的认识 【例13】（24-25六年级上·北京大兴·期末）下面的说法正确的是（    ）。 A．圆周率π就是3.14 B．大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积也是小圆面积的2倍。 C．两个圆的直径相等，它们的半径也一定相等。 D．用4个圆心角是90°的扇形，一定可以拼成一个圆。 【变式】（24-25六年级上·河北保定·期末）王丽用一张圆形彩纸连续对折两次（下图），打开后会形成( )个小扇形，每个扇形圆心角的度数是( )°。 题型十四 画扇形 【例14】（24-25六年级上·安徽芜湖·期末）画一个周长是9.42厘米的圆，再在圆中画一个与圆的半径相等，圆心角为的扇形。 【变式】（24-25六年级上·湖北孝感·期末）古代哲学家说：哪里有数学，哪里就有美！ （1）请利用圆规和直尺，在右边空白处画一个与下图一样的图案。（圆的直径为4厘米）。 （2）根据相关数据，算出图中阴影部分的面积。 题型十五 扇形的周长和面积 【例15】（24-25六年级上·天津南开·期末）下图中，甲、乙、丙三个人用边长4厘米的正方形卡纸剪图形，剩下的卡纸（    ）。 A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多 【变式】（24-25六年级上·河南安阳·期末）孟子曰：“不以规矩，不能成方圆”。“规”指圆规，是画圆的工具。“矩”指曲尺，是画方的工具。请你用自己的作图工具，在下面长方形内画一个最大的圆，再在此圆内画一个圆心角是90°的扇形，这个扇形的面积是（    ）平方厘米。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）已知一个圆的半径为2cm，将圆的半径扩大到原来的2倍，扩大后的圆的面积是（    ）。 A．50.24 B．25.12 C．12.56 D．6.28 2．（24-25六年级上·江西九江·期末）关于圆的认识，以下说法正确的是（    ）。 ①两端都在圆上的线段是圆的直径。 ②圆的周长除以直径的商叫做圆周率，圆周率＝3.14 ③在同一个圆内，圆的半径是直径的。 ④圆的直径所在的直线是圆的对称轴。 A．①③④ B．③④ C．①②③ 3．（24-25六年级上·新疆吐鲁番·期末）用圆规画圆时，如果圆规两脚之间的距离是2cm，那么画出的圆的周长是（    ）cm。 A．12.56 B．6.28 C．3.14 4．（24-25六年级上·重庆大足·期末）数学课上，小红从一个半径是3厘米的圆形纸片上剪去一个半径是3厘米的扇形，恰好占这个圆的面积的，这个扇形的圆心角是 °，这个扇形的面积是 平方厘米。 5．（24-25六年级上·江西南昌·期末）科学课上，同学们做实验，观察地球不同地区迎来黎明的时间是否相同，他们从一张边长是6分米的正方形纸上剪下一个最大的圆来代替太阳。这个圆的半径是( )分米，圆的面积是( )平方分米。 6．（24-25六年级上·重庆合川·期末）一个水池外面有条小路（如图），外圆半径是5m，内圆半径是4m，这条小路的面积是( )m2。 7．（24-25六年级下·四川凉山·期末）计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 8．（24-25六年级上·新疆巴音郭楞·期末）向平静的湖水中投入一块小石子，水面会荡起圈圈涟漪。如图是湖面上其中两圈涟漪的示意图，内圈涟漪的直径为2米，外圈涟漪的直径为6米。两圈涟漪之间形成的圆环的面积是多少平方米？ 9．（24-25六年级上·甘肃兰州·期末）星光小区里有一个圆形花坛，测得它的周长是31.4米。物业要在花坛的中心安装一个正好可以覆盖整个花坛喷水的自动旋转灌溉装置，装完后可以灌溉多大的一块地？ 10．（24-25六年级上·山东济宁·期末）北京天坛是世界上最大的古代祭天建筑群，是著名的“世界文化遗产”之一。其主要建筑祈谷坛的形状是一个圆形，它的周长约是628米。祈谷坛的面积约是多少平方米？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·重庆大渡口·期末）伐木工人经常将圆木并排捆扎成一排，然后利用水的浮力顺流而下节约运输成本，如果将10根直径约为0.5m的圆木用铁丝紧紧并排捆扎在一起（如图所示），捆一圈大约要用（    ）m铁丝。（接头处不算） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·山西忻州·期末）“化曲为直”是我们在圆的面积推导过程中常用的方法，下面的方法中，（    ）不能推导出圆的面积公式。 A． B． C． 3．（24-25六年级上·新疆阿克苏·期末）如图，涂色扇形的面积是（    ）。 A．113.04 B．56.52 C．37.68 D．28.26 4．（24-25六年级上·江西宜春·期末）在一个长10厘米，宽8厘米的长方形纸上剪出一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 5．（24-25六年级上·重庆合川·期末）如图，阴影部分面积是( )。 6．（24-25六年级上·山西忻州·期末）乐乐测量发现客厅里的圆形钟表中的分针长20厘米，时针长15厘米，从6：00到12：00，分针针尖走了( )厘米；时针扫过的面积是( )平方厘米。 7．（24-25六年级上·江西宜春·期末）求阴影部分的面积。 8．（24-25六年级上·重庆大渡口·期末）某小区的圆形喷水池直径是20米，现要在周围铺设一条宽10米的环形石子路。 （1）这条石子路的面积是多少平方米？ （2）如果要沿着石子路的外边上每隔31.4米设置一个供游人休息的椅子，一共需要设置多少个？ 9．（24-25六年级上·重庆大足·期末）重庆火锅享誉世界，下图是一个圆形火锅桌，桌面的直径是1.8米，中间放置圆形火锅部分的直径是60厘米，制作这样一个桌面至少需要多少平方米的石材板呢？（得数保留两位小数） 10．（24-25六年级上·广东东莞·期末）为了更好地关爱留守儿童，“小红帽”志愿者组织留守儿童开展了一系列的关爱活动，在幸福课堂上开展了一场趣味运动会。 （1）这个活动场地的面积是多少平方米？ （2）小明沿这个活动场地的四周跑了3圈，他一共跑了多少米？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·重庆大足·期末）在下面的图中，有两枚硬币A和B，硬币A的半径是硬币B半径的2倍，将硬币A固定在桌面上不动，硬币B绕硬币A的周长滚动一次，那么硬币B转动的圈数是（    ）。 A．1圈 B．1.5圈 C．2圈 D．3圈 2．（24-25六年级上·天津河西·期末）淘气和笑笑在推导圆的面积时，将同一种由草绳编织成的圆形茶杯垫片分别用各自的方法剪开（如下图），展开后淘气得到了一个近似的三角形，笑笑则得到了一个近似的平行四边形。下面说法中正确的有（    ）个。 ①淘气和笑笑展开后得到的图形面积都与原来圆的面积相等。 ②淘气得到的三角形的底相当于圆的周长。 ③笑笑得到的平行四边形的底相当于半圆的周长。 ④笑笑得到的平行四边形的高相当于圆的半径。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25六年级上·河南信阳·期末）如图，一张可折叠的圆桌，直径是1.2m，折叠后成了一张方桌。折叠部分的面积是( )。 4．（24-25六年级上·河南安阳·期末）一个圆的直径是2cm，如果以该圆的直径为三角形的底，三角形的顶点在圆上运动，那么这个三角形的面积最大是( )cm2。 5．（24-25六年级上·浙江台州·期末）如图，每条跑道宽1.5米，从内到外依次是第1道，第2道……第一道半径是15米，绕第一道跑一圈正好是200米，则绕第2道跑一圈是( )米。 6．（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）杂技团小红骑的自行车，前轮滚动4周，则后轮要滚动5周，前轮与后轮的直径的比是5∶4。( )（判断对错） 7．（24-25六年级上·云南大理·期末）下图小圆半径是大圆半径的一半，请你求出阴影部分的面积。 8．（24-25六年级上·湖南张家界·期末）如下图，在直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝16厘米，阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积多5平方厘米，求BC的长。     9．（21-22六年级上·浙江·期末）如图，空地上有一座长方形羊圈。这座长方形羊圈的长是6米，宽是4米，在羊圈的墙角上栓着一只小羊。 （1）栓羊的绳长是4米，小羊在空地上的活动范围是多少平方米？ （2）如果栓羊的绳长是6米，那么小羊的活动范围增加了多少平方米？ 10．（21-22六年级下·河南郑州·期末）将一个边长为3厘米的等边三角形沿水平线滚动，B点从位置①到位置③所经过的路线总长度是多少厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $