学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（哈尔滨专用，人教版九年级21～26+28+29章）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级第二十一章~第二十六章，第二十八章，第二十九章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程中，两实数根的和等于3的方程是（    ） A． B． C． D．. 3．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，某兴趣小组测量小河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则河岸的长表示为（   ） A． B． C． D． ( 第4题图 第5题图 ) 5．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图及相关数据（单位：）如图所示，则所需铁皮的面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 6．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象位于二、四象限 D．的值随值的增大而减小 7．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点，连接，则下列结论一定正确的是（    ） ( 第8题图 第9题图 第10题图 第8题图 )A． B． C． D． 9．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 12．抛物线上三点分别为，则的大小关系为 （用“>”号连接）． 13．如图，把绕点C顺时针旋转得到，此时于点D，已知，则的度数是 ． ( 第13题图 第14题图 第16题图 ) 14．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是 ． 15．一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个． 16．如图，在中，．若，，则 ． 17．如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为 ． ( 第17题图 第18题图 第20题图 ) 18．在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ． 19．已知中，，将绕点旋转到的位置，连接，则的长为 ． 20．如图，正方形，E、G分别为、上的点，连接、，，垂足为点，若为对角线的中点，连接并延长交正方形一边于点N，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填序号） 三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21．（8分）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（8分）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 23．（8分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 24． （8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 25．（8分）在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； (2)若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； (3)组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 26．（10分）是的内接三角形，是的直径，是弦，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点，延长到，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长． 27． （10分）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，拋物线与x轴交于，两点（在左），与y轴交于点，． (1)如图1，求拋物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，连接，过点作，垂足为，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段的延长线上，连接，，，延长交于点，点在上，连接，若，，求点的坐标． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 4 5 6 8 10 C B B ◇ C D B 第二部分（非选择题共0分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.1 12.为>为>方 13.39 14.60m+48 15.12 5 16.3 17.2W3 18.2≤m≤14 19.2+2√5或2√5-2 20.①②③ 三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21.(8分) x2-2x-4=0 【解析】(1) x2-2x+1=4+1 (x-102=5 x-1=±V5 :x=1+5,x=1-V5 (2分) (2)x(x-5到=2.r-10 x(x-5)=2(x-5) （x-5)(x-2)=0 x-5=0或x-2=0 1/12 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 =25=5 ；(2分) (3)x2-4x=0 xx-4)=0 ∴.x=0或x-4=0 =0,5=4 :(2分) (4)x+1)=1 x2+x-1=0 a=1,b=1,c=-1, :.△=b-4ac=1+4=5>0 :-生你4：1性5 2a 2, 2.(2分) 22.(8分) 【解析】(1)在 RaD1E中，ZDME=56,E=16 米， 'tan∠DAE=DE AE' DE=AE-an∠DAB≈16x1.5=24m），(2分) 答：综合楼的高度DE约为24.00m;(3分) (2)如图，过点B作BF⊥CE于F,BG⊥EA,交EA的延长线于G, 2/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D A人56 E 则四边形BGEF为矩形， BG=EF,BF=GE,(4分) 由题意得∠BAG=45°，而AB=8米， AG=BG=AB×sin∠BAG= ∴.在Rt△ABG中， 5AB=42(m), :GB=4G+AE=42+16m,(5分) ∠CBF=45°，BF⊥CE, :CF=BF=GE=42+16m,(6分) :CD=CF+EF-DE=42+16+4W2-24≈3.28(m，(7分) 答：宣传牌的高度CD约为3.28m.(8分) 23.(8分) 【解析】(1)设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,由题意得： 3x+12=5.07,(2分) 1=0.3,x2=-2.3 解得： (舍去)，(3分) 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%.(4分) (2)设下调后每辆汽车的售价为y万元，由题意得： 6,5分) =9 整理得：广-44y+483=0 3/12 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 解得： y=21,2=23 ,(6分) 要尽量让利于顾客， .y=21;(7分) 答：下调后每辆汽车的售价为21万元.(8分) 24.(8分) 【解析】(1：一次函数y=+b与反比例函数y=的图象交于点A-1,4, :4=顶 -1 .∴.m=-4:(1分) :一次函数y=+b与反比例函数y=x的图象交于点A-1,4),且与x轴交于点B(3,0), [-a+b=4 .3a+b=0, .a=-1,b=3, 六y=-x+3,y=4 ;(2分) (2)由(1)得一次函数解析式为y=-x+3,反比例函数解析式为y=-4 y=-x+3 4 x=4x=-1 联立y=- ,解得y=-1或y=4，(3分) 小一次函数)=-+3与反比例函数y= 元的另一个交点坐标为(4，-1)，(4分) ∴由函数图象可知，不等式”m+6的解集为1<X<0或之4：《5分) (3)在少=*3 中，当=0时，=3， C0,3) 4-1,4 4/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 c343 S。40c=2 Sow=25oc=3 :(6分) B3,0) ∴.OB=3, SwoB方3l=3,(3分) 2 4 在y=- 中，当=4=2时，x=2当y=2时，3 ∴点P的坐标为 -2,2或2-2.8分y 25.(8分) 【详解】(1)22÷55%=40（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学；(1分) D组的扇形圆心角的度数为：0×360°=18”；(2分) 2 C组人数为：40-4-22-2=12（名）. 补全条形统计图如下： 人数 24 22 20 6 12 12 (3分) 4 4 OL AB C D组别 故答案为：40,18°. 12+2×800=280(名)， (2)解：40 所以，该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生有280名.(5分) (3)解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 5/12 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 开始 B D BCD AC D AB D ABC 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种，(6分) 所以拍到1名男生和1名女生的概率是：音-号。《8分) 26.(10分) 【解析】(I)证明：：2∠CDB=∠ACD, 设∠CDB=a, 则∠ACD=2a, AD=AD ∴.∠ACD=∠ABD=2a, :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠BAD+∠ABD=90°，∠ADC+∠CDB=90°，(1分) ∴.∠ADC=90°-a,∠BAD=90°-2a .BC=BC ∴.∠BDC=∠BAC=a ∴.∠CAD=90°-2a+a=90°-a, ∴.∠ADC=∠CAD .AC=DC.(2分) (2)证明：连接BC. D B A C .ADBC为圆内接四边形， 6/12 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠NBC=∠DAC, 由(1)得.AC=DC, .∠DAC=∠ADC,(3分) AC=Ac .∠ABC=∠ADC, ∴.∠NBC=∠ABC, BN=BH,BC=BC, ∴.△BNC≌△BHC,(4分) ∴.∠BNC=∠BHC, .CH⊥AB,即∠BHC=90°， .∠BNC=90°，即CN L BD.(5分) (3)解：连接BC,交AN于点P,设CD与AN交于点M, D B H ☑O R AB是直径， .∠ADB=90°， ∴.∠ADC+∠CDN=90°， .AN⊥CD,交CD于M .∠DMN=90°， ∴.∠MND+∠MDN=90°， .∠MND=∠ADC,(6分) 由(2)得∠NBP=∠ADC, ∴.∠PNB=∠NBP, .PB=PN, 7/12 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠BWC=90°， ∴.∠PNB+∠PNC=90°，∠NBC+∠NCB=90°， .∠PNC=∠PCN, .PN=PC. .PB=PN=PC,(7分) 延长PC到R使PC=CR,连接AR, .∠ACB=90°， ∴.∠R=∠APR, .∠BNP+∠NBP+∠NPB=180°，∠PNB=∠NBP=∠PBA, .'∠R+∠BAR+∠RBA=180°， ∴.∠RAB=∠RBA, .AR=BR=3CR,(8分) 在Ra1CR中，AC=CD=22 CR+AC=AR 即CR2+22=3CR2, .CR=1,AR=3, .BC=2,(9分) 在Rt△ABC中， AB=AC2+BC2=23 CH-CBC2xC2 2 :Ch-2x2226 2√33.(10分) 27.(10分) 【解析】(1)令x=0,则y=3, .C0,3), .0C=3, .:OB=OC, 8/12 愈学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴OB=3, .B(3,0) ,(1分) .9a+ 3=0, 2 1 .a=2 1x2+x+3;(2分) 1 抛物线的解析式为y=一 22 (2)由(1)知：OB=OC=3, ∴.∠OCB=∠OBC=45°， y=kx+b 设直线BC的解析式为 3k+b=0 b=3, 「k=-1 BC =-x+3 ∴直线的解析式为 .(3分) 过点P作PM⊥OB于点M,交BC于点N,如图， D A ·设点P的横坐标为t, 6+* N(L,-t+3), PM=-2 1 +)t+3,MN=-t*3, 9/12 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3 EPN=PM-MN=-+),(4分 2 PM⊥OB,∠OBC=45°， .∴∠OMN=45°， .∠PND=∠OMN=45°， :PD⊥BC, d=pn=2pw-2+35, 2 4 4.(5分) (3)延长BC,交AE于点K,在EA上截取ER=AG,连接DR,如图， K D R B ·∠AGC-∠AEC=45°， .∠AGC=∠AEC+45°， :∠KCE=∠OCB=45°，∠AKB=∠AEC+∠KCE, .∠AKB=∠AEC+45°， .∠AKB=∠AGC, .AK=AG ..AK=ER. .AR=EK, ∠AFD=∠EAG,∠AFD=∠AED+∠EAF, ∠EAG=∠EAF+∠CAG. ∠AED=∠CAG,(6分) 在△ERD和△AGC中， 10/12 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级第二十一章~第二十六章，第二十八章，第二十九章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 1．【答案】A 【解析】A、是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．下列关于x的方程中，两实数根的和等于3的方程是（    ） A． B． C． D．. 2．【答案】C 【解析】A、方程 ，判别式，无实数根，故不符合题意， B、方程，判别式，有实数根，，故不符合题意， C、方程，判别式，有实数根，，故符合题意， D、方程，判别式，有实数根，，故不符合题意， 故选：C． 3．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 3．【答案】A 【解析】每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是， 故选：A． 4．如图，某兴趣小组测量小河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则河岸的长表示为（   ） A． B． C． D． 4．【答案】B 【解析】根据题意，得， 又， 故， 故， 故选：B． 5．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图及相关数据（单位：）如图所示，则所需铁皮的面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 5．【答案】B 【解析】由三视图中可知，该圆锥的底面半径为，圆锥母线长为， ∴圆锥侧面积． 故选：B． 6．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象位于二、四象限 D．的值随值的增大而减小 6．【答案】B 【解析】当时，，故A错误； 反比例函数的图象均关于原点中心对称，故B正确； ，则图象位于第一、三象限，故C错误； ，则 在每个象限内y随x的增大而减小，故D错误． 故选 B． 7．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 7．【答案】C 【解析】设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，根据题意可知， ， 即， 故选：C． 8．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∵和不一定相等 ∴和不一定相等， ∴与不一定相等，故A错误； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵和不一定相等 ∴和不一定相等，即不一定等于 ∴不一定等于 ∴和不一定相等， ∴和不一定平行，故B错误； ∵不一定等于， ∴不一定等于，故C错误； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴，即，故D正确； 故选：D． 9．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 9．【答案】B 【解析】如图，作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则则， ，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 故选B． 10．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 10．【答案】C 【解析】∵抛物线的对称轴是 ∴， 即． 所以①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴是， ∴； ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴， 所以②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 即， 所以③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 所以时，，即， 所以④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴⑥不正确． 所以正确的有4个． 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 11．【答案】1 【解析】根据题意可知关于的方程的判别式，即 ． 变形，得 ． 移项，得 化简，得 将代入，得 原式． 故答案为： 12．抛物线上三点分别为，则的大小关系为 （用“>”号连接）． 12．【答案】 【解析】由抛物线解析式可得， 当时，； 当时，； 当时，． 由于为常数，故，即． 故答案为． 13．如图，把绕点C顺时针旋转得到，此时于点D，已知，则的度数是 ． 13．【答案】 【解析】∵绕点C顺时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是 14．【答案】 【解析】由三视图知，该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的方向切掉一个圆的几何体， 所以其表面积为 ， 故答案为：． 15．一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个． 15．【答案】12 【解析】设白球有x个，则总球数为个． 根据题意得：． ， 即， 移项得， 即， 解得． 检验：当时，分母，方程成立． 故答案为12． 16．如图，在中，．若，，则 ． 16．【答案】 【解析】取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 不妨设， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17．如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为 ． 17．【答案】 【解析】如图，连接， 是的直径， ， 又，， ， ， 是的切线， ， 又， ， ． 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ． 18．【答案】 【解析】如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C， ∵直线和直线垂直 ∴根据题意得，如图所示，当直线在双曲线下面时， 当时，直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连” 由图象得，是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ 联立得， 解得或 ∴ ∴ ∴将代入直线得， 解得； 如图所示，当直线在双曲线上面时， 当时，直线与双曲线恰好有且只有3个点的“正相连”， 同理可得， ∴将代入直线得， 解得； ∴m的取值范围是． 故答案为：． 19．已知中，，将绕点旋转到的位置，连接，则的长为 ． 19．【答案】或 【解析】情形①，当将绕点顺时针旋转时，如图，连接，延长交于点M， 由题意得，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理可求：， ∴； 情形②：当将绕点逆时针旋转时，如图，连接，交于D， 中，∵， ∴， ∵绕点A逆时针旋转到的位置， ∴，，， ∴垂直平分，为等边三角形， ∴， ∴． 综上，的长为或． 故答案为：或． 20．如图，正方形，E、G分别为、上的点，连接、，，垂足为点，若为对角线的中点，连接并延长交正方形一边于点N，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填序号） 20．【答案】①②③ 【解析】∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确；， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， ∵正方形，为对角线BD的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴，故③正确； 不一定等于，， ∴不一定等于，故④错误； ∴综上，正确结论有①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21．（8分）解方程 (1)； (2)； (3)； (4) 21．（8分） 【解析】（1） ∴； （2） 或 ∴； （3） ∴或 ∴； （4） ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（8分）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 22．（8分） 【解析】（1）在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 23．（8分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 23．（8分） 【解析】（1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 24．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 24．（8分） 【解析】（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，； （2）由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 25．（8分）在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； (2)若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； (3)组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 25．（8分） 【详解】（1）（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学； D组的扇形圆心角的度数为：； C组人数为：（名）． 补全条形统计图如下： 故答案为：40，． （2）解：（名）， 所以，该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生有280名． （3）解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种， 所以抽到1名男生和1名女生的概率是：． 26．（10分）是的内接三角形，是的直径，是弦，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点，延长到，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长． 26．（10分） 【解析】（1）证明：∵， 设， 则， ∵ ∴ ． ∵ 是的直径 ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴ ． ∴ ， ∴， ∴ ． （2）证明：连接． ∴为圆内接四边形， ∴， 由（1）得．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵，即 ， ∴ ，即 ． （3）解：连接，交于点P，设与交于点M， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，交于M ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 延长到使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴，， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴． 27．（10分）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，拋物线与x轴交于，两点（在左），与y轴交于点，．    (1)如图1，求拋物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，连接，过点作，垂足为，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段的延长线上，连接，，，延长交于点，点在上，连接，若，，求点的坐标． 27．（10分） 【解析】（1）令，则， ， ， ， ， ， ， ， ∴．抛物线的解析式为； （2）由（1）知：， ， 设直线BC的解析式为， ， ∴直线的解析式为． 过点作于点，交BC于点，如图，    设点的横坐标为t， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）延长，交于点，在上截取，连接，如图，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 连接， 在中， ， ， ， 令， ， ， ， ， ， 过点作于点，则， 设，则， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线PD的解析式为， ∵， ∵点为第一象限内抛物线上一点， ． 27 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 12. 13. 14. 15 17 19. 20 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21.(8分) 22.(8分) C D 45 人56 A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) 个人数 2420 22 12 8 4 55% D 0 A A B 组别 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) D B 图1 D B N C图2 D B A C 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) C B宝 图1) D 图(2) G 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级第二十一章~第二十六章，第二十八章，第二十九章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程中，两实数根的和等于3的方程是（    ） A． B． C． D．. 3．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，某兴趣小组测量小河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则河岸的长表示为（   ） ( 第4题图 第5题图 )A． B． C． D． 5．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图及相关数据（单位：）如图所示，则所需铁皮的面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 6．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象位于二、四象限 D．的值随值的增大而减小 7．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点，连接，则下列结论一定正确的是（    ） ( 第8题图 第9题图 第10题图 第8题图 )A． B． C． D． 9．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 12．抛物线上三点分别为，则的大小关系为 （用“>”号连接）． ( 第13题图 第14题图 第16题图 )13．如图，把绕点C顺时针旋转得到，此时于点D，已知，则的度数是 ． 14．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，计算这个几何体的表面积是 15．一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个． 16．如图，在中，．若，，则 ． 17．如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为 ． ( 第17题图 第18题图 第20题图 ) 18．在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ． 19．已知中，，将绕点旋转到的位置，连接，则的长为 ． 20．如图，正方形，E、G分别为、上的点，连接、，，垂足为点，若为对角线的中点，连接并延长交正方形一边于点N，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填序号） 三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21．（8分）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（8分）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 23．（8分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 24． （8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 25．（8分）在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； (2)若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； (3)组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 26．（10分）是的内接三角形，是的直径，是弦，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点，延长到，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长． 27．（10分）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，拋物线与x轴交于，两点（在左），与y轴交于点，． (1)如图1，求拋物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，连接，过点作，垂足为，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段的延长线上，连接，，，延长交于点，点在上，连接，若，，求点的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 ◆ 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 12 13. 15 16 17. 19. 20. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21.(8分) 22.(8分) C D B 45. 人56 A E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(8分) 22------------ 16 B 8 4 55% 4 ------2- A 0 A BCD组别 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) D B A 图1 D B C 图2 D B H A C图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) C 0 B 图) C D 图(2) D 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！