专题 4.4 相似三角形的性质及其应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲练（浙教版）

专题 4.4 相似三角形的性质及其应用 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】三角形重心及其性质 1 【知识点二】相似三角形周长和面积性质 1 【知识点三】相似三角形的实际应用 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】重心的性质 2 【★题型2】相似三角形周长和面积 4 【★题型3】相似三角形的应用 6 【★题型4】相似三角形性质与判定简单综合 8 （二）培优篇 11 【★★题型5】三角形重心性质与四边形综合 11 【★★题型6】三角形相似的性质与判定综合 14 【★★题型7】三角形相似与动点问题 18 【★★★题型8】三角形相似与图形变换问题 23 二．同步练习​ 27 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 28 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 39 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】三角形重心及其性质 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段. 【知识点二】相似三角形周长和面积性质 相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 【知识点三】相似三角形的实际应用 相似三角形实际应用的核心是借助平行判定型、两角判定型、两边成比例且夹角相等判定型这三类常用判定定理确定三角形相似，再利用相似三角形性质，将实际问题转化为几何模型求解，解题需遵循审题建模、寻找相似、列比例式、求解验证的步骤，同时要规避对应边混淆、投影类型混淆、忽略直角条件、单位不统一等易错点，拓展题型还常与四边形动点问题结合考查。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】重心的性质 【例题1】（浙教版九上142页作业题第2题改编）（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的一条中线，为的重心，，交，于点，，交于点，求与的比． 【答案】 【分析】根据重心的性质得到，再根据相似三角形的判定和性质解答即可． 解：∵点为的重心， ∴， ∴， ∵为的一条中线， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即与的比为． 【点评】本题考查三角形的重心，三角形的中线，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍． 【变式1】（24-25九年级上·河北邢台·月考）如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键． 根据重心的概念得到点D为中点，求出的长，再根据平行证明，结合点E是中点，得到，从而求出． 解：∵经过的重心， ∴点D是中点， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵点E是中点， ∴，即， 解得： 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）正方形四个顶点的坐标分别为，，，，则此正方形的重心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质．根据正方形的重心是其对角线的交点，即可求解． 解：∵正方形四个顶点的坐标分别为，，，， ∴此正方形的重心坐标为，即． 故答案为： 【小结归纳】 此类题考查了重心性质，解题思路均围绕三角形重心的性质 展开；例题 1 和变式 1 先利用重心性质确定线段比例关系，结合平行线判定相似三角形的定理，借助相似三角形对应边成比例的性质建立等式，进而求解线段长度或线段比值；变式 2 则根据正方形的对称性，明确其重心为对角线的交点，再运用坐标中点公式直接计算出重心坐标。 【★题型2】相似三角形周长和面积 【例题2】（浙教版九上146页课内练习第2题改编）（23-24九年级上·山东菏泽·期中）已知，，的周长为，的面积是，求： （1）的周长； （2）的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为， ∴， 即的周长为； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积是， ∴， 即的面积为． 【点拨】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答的关键． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，相似比为，则对应周长的比和对应面积的比分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可． 解：∵，相似比为， ∴对应周长的比为，对应面积的比为． 故选：B． 【变式2】（2025·江苏泰州·三模）如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了相似图形的性质， 根据这两个三角形的面积比求出相似比，再根据相似比等于周长比可得答案． 解：因为两个相似三角形的面积比为， 所以两个相似三角形的相似比为， 所以两个三角形的周长比等于． 因为较小的三角形的周长是， 所以另一个三角形的周长为． 故答案为：150． 【小结归纳】 相似三角形周长和面积的题型，解题思路均紧扣相似三角形的核心性质展开：先根据题目给出的相似比或面积比，利用 “相似三角形的面积比等于相似比的平方” 求出相似比（或由相似比直接推导面积比），再依据 “相似三角形的周长比等于相似比” 这一性质，建立周长或面积的比例关系式，代入已知数据计算，即可求得待求的周长或面积值。 【★题型3】相似三角形的应用 【例题3】（浙教版九上149页课内练习第6题改编）（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米． （1）在计算过程中、之间的距离应是________米； （2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定； （1）、之间的距离应是测量者的眼睛距地面的高度 （2）证，得，即可求解； 解：（1）解：∵测量者的眼睛距地面的高度为米． ∴、之间的距离应是米． （2）解：由题意得：， ∴， ∴，即，解得； ∴学校旗杆的高度为米； 【变式1】（25-26九年级上·山西临汾·期中）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明，得到，即可求解． 解：，， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，根据题意可构造简图，利用相似三角形的判定及性质即可求得答案． 解：根据题意，可得简图如下，可知，，，，求的长度． ∵，， ∴，． ∴ ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【小结归纳】 相似三角形实际应用题型，解题思路均为先结合实际场景的几何特征，利用两角分别相等的三角形相似 判定定理证得目标三角形相似，再依据相似三角形对应边成比例的核心性质，代入已知线段长度建立比例式，进而计算出待求的高度、长度等未知量。 【★题型4】相似三角形性质与判定简单综合 【例题4】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2）且，求的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用两组对角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据，得，再把数值代入计算，即可作答． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， 则， ∵且， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质， （1）根据平行四边形的性质得，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”得出答案； （2）先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）解：， . 四边形是平行四边形， ， . ， . . 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，D为边上一点，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． （1）根据相似三角形的判定即可求出答案； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度． 解：（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小结归纳】利用公共角或平行线性质推导的等角，结合已知角相等，通过两角分别相等的三角形相似判定目标三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的核心性质，代入题目给出的线段长度，建立比例式并计算，即可求出待求线段的长度。 （二）培优篇 【★★题型5】三角形重心性质与四边形综合 【例题5】（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，点P是的重心，过P作的平行线，分别交于点D，E，作，交于点F，若的面积为．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，连接并延长交于G．由重心的性质得，．由，根据平行线分线段成比例定理可得，于是，．再由，得出，，根据相似三角形的性质得出，，求出，，进而求出四边形的面积． 解：连接并延长交于G．由重心的性质得：． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 【变式1】（24-25九年级下·福建福州·月考）已知，点D是的重心，过顶点A作一条直线l平行于，连接并延长，交于点E，交直线l于点F，连接并延长交于点G，则的面积与四边形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据重心的定义得点E是的中点，点G是的中点，可知是的中位线，再结合平行线的性质得，可得，进而得出，连接，可知，根据中位线的性质及相似三角形的性质得，可知，则，所以，即可得出答案． 解：根据题意可知点E是的中点，点G是的中点，连接， ∴是的中位线． ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点G是的中点， ∴． ∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了重心，全等三角形的性质和判定，中位线的定义和性质，相似三角形的判定和性质，弄清各三角形面积之间的关系是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在 中，D、E、F分别为边的中点，相交于点 O， ．试求出线段的长．（结果保留根号）    【答案】3； 【分析】由，可知是直角三角形，且，由题意知，为的中位线， ，则，由勾股定理得，，由题意知，O是的重心，则，求解作答即可． 解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵D、E、F分别为边的中点， ∴为的中位线， ， ∴， 由勾股定理得，， 由题意知，O是的重心， ∴． 【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，中位线，重心的性质等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，中位线，重心的性质是解题的关键． 【★★题型6】三角形相似的性质与判定综合 【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，点在的延长线上，连接交于点． （1）求证：； （2）若的面积为9，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查平行四边形基本性质，相似三角形的证明及性质，熟练掌握相似三角形的证明是解题关键； （1）通过平行四边形的基本性质得到，进而得证，从而可证得相似； （2）先证明，然后再通过比例性质得到相似比，最后可求解． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． （1）若，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解； （2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知 ，，则，则题目可证． 解：（1）解：， 设，，则， ， ， ， ， 则，且， ， ， ， ，， ， ， 的长为． （2）证明：连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，锐角三角形内接于，平分，交于点，交于点，连接并延长交于点，连接． （1）若，请直接写出，的大小． （2）若平分 ①求证：． ②若，，求的长． 【答案】（1），；（2）①证明见分析；② 【分析】（1）结合角平分线定义、圆周角定理、三角形内角和定理解题即可； （2）①由（1）得，结合角平分线定义得，由外角性质、等角对等边即可得证； ②证明，由相似三角形性质可求出，再结合即可求解． 解：（1）解：， ， 平分， ，， 连接， ， ， ， 中，； （2）①证：由（1）得，， 平分， ， ， 即， ； ②解：，， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查的知识点是角平分线定义、圆周角定理、三角形内角和定理、外角性质、等角对等边、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【★★题型7】三角形相似与动点问题 【例题7】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． （1）当秒时，S的值是多少？ （2）若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）；（2），或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的分类讨论是解题的关键． （1）当时，先计算各点移动的距离得到相关线段长度，再用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求出的面积． （2）点在上时，先表示出、、、的长度，分“”和“”两种相似情况，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 解：（1）解：当时, ，，， ，， 矩形面积：， ， ， ， ； （2）解：点在上， ，即， 此时，，，， 情况1：当时， ， ， 即， 解得， 情况2：当时， ， ，即 解得， 综上，或时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似． 【变式1】（25-26九年级上·江西萍乡·期中）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）当t为多少时，平分面积； （2）当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】（1）当时；（2）当时 【分析】本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可求的面积，用含t的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性． （2）分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． 解：（1）解：根据题意，，， ，， ，点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， 即， 则， ， ，（舍）， 故当时，平分面积； （2）解：∵， 则以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时， ， ， ； 情况二：当时， ， ， ， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【变式2】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，已知直线的表达式为，且直线与坐标轴分别相交于两点，动点从点开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时动点从点开始在线段上以每秒5个单位长度的速度向点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）点的坐标为______，的坐标为______； （2）当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ （3）当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1），；（2）1或；（3）当时，的面积最大，最大面积为6 【分析】此题考查了相似三角形综合题，主要考查了一次函数图象与坐标轴交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练掌握一次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键，要注意分类讨论思想的应用． （1）令，，分别求解即可． （2）先求出，得出，确定，然后分两种情况分析求解即可； （3）过Q作于H，根据相似三角形的判定和性质得出，，然后求三角形面积确定二次函数解析式，化为顶点式即可求解． 解：（1）解：， 当时，， 当时，， 则点的坐标为：，点的坐标为：， 故答案为：，． （2）解：在中， ， 由勾股定理得：， 根据题意可得． ∴， 第一种情况：当时，， 即， 解得：； 第二种情况：当时，， 即， 解得：． 故当为1或时，以点、、为顶点的三角形与相似． （3）过Q作于H， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 解得：， 故的面积为： ∴当时，的面积最大，最大面积为6． 【★★★题型8】三角形相似与图形变换问题 【例题8】（24-25九年级上·云南文山·期中）已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题： （1）_______，_______，_______，_______． （2）当t为何值时，． （3）设的面积为y（），求y与t之间的函数关系式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形的综合运用，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由勾股定理计算，结合题意即可得解； （2）先证，得到，得到，求解即可； （3）作于点D，交的延长线于点，易得，，得，结合三角形面积公式即可得到关于t之间的函数关系式 解：（1），， ， 由题得：，，，. （2）如图所示，∵， ∴ ∴， ∵，，. ∴， 即， 解得 （3）如图所示，作于点D，交的延长线于点， ∵， 则四边形为矩形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴的面积为：， ∴ 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 【变式2】（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（）由矩形的性质得，由折叠的性质得，再根据余角性质可得，进而即可求证； （）由相似三角形的性质可得，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 由折叠得，， ∴． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）若两个相似三角形的对应高的比为，则这两个相似三角形的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应高的比等于相似比，周长比也等于相似比，据此作答即可． 解：∵两个相似三角形的对应高的比为， ∴相似比为， 又∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴周长比为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北邯郸 ·月考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：B． 4．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，，，则的长为（    ） A．25 B．20 C．35 D．30 【答案】A 【分析】主要考查相似三角形的判定和性质的应用．首先可求出，得出相似比，再根据已知条件求出的长． 解：∵， ∴，， ∴， 又，，， ， ∵ ∴，解得，， 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，B、F、C三点共线，与相交于点E，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由，证明，则，即可作答． 解：∵AC与BD相交于点E， ∴ ∴， ∵ ∴， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，已知，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的性质，平方根，掌握知识点是解题的关键． 由，得到，即，求出的值即可． 解：∵，，， ∴， 即 解得或（不符合题意，舍去）． 故答案为：6． 8．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 9．（2022·陕西西安·一模）如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 【答案】2或12或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 分两种情况：与若，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 解：若， ∴，即， 解得或12； ②若， ∴，即， 解得． ∴或12或． 故答案为：2或12或． 10．（2018·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点D在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为 ． 【答案】－12 【分析】先设D（a，b），得出CO=-a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=12，最后根据AB∥OE，得出，即BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可． 解：设D（a，b），则CO=-a，CD=AB=b， ∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y= （x＜0）的图象上， ∴k=ab， ∵△BCE的面积是6， ∴×BC×OE=6，即BC×OE=12， ∵ABOE， ∴，即BC•EO=AB•CO， ∴12=b×（-a），即ab=-12， ∴k=-12， 故答案为：-12． 【点拨】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法． 11．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考），于点D，，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查相似三角形的性质以及相似比的应用．利用互余关系证明：，可证，然后利用相似比，就可求出的值． 解：∵，， ， ∴， ∴， ∴， 解得∶， 故答案为：16． 12．如图，矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′，若B，D，C′三点在同一直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接BC′，根据旋转的性质和相似三角形的性质即可得到结论． 解：连接BC′， ∵矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′， ∴B′C′＝BC＝AD，AB′＝AB，B′C′∥AB， ∵B，D，C′三点在同一直线上， ∴△DB′C′∽△DAB， ∴， ∴， ∴AD2＝AB2﹣AB•AD， ∴AD＝AB（负值舍去） ∴的值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质、相似的性质，辅助线的连接，对应边长成比例是本题的难点 三、解答题 13．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，四边形的对角线与相交于点，已知，，，． （1）求证：． （2）若的面积为3，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）12 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明，根据相似三角形的性质得到，据此可证明结论； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 解：（1）证明：∵，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为12． 14．（23-24九年级上·河北廊坊·月考）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． （1）求证：； （2）若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 解：（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 15．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 【答案】6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案． 解： 过点作交于点，交于点，如图， ∵， ∴米，米，， ∴（米）， （米）， 根据题意，得， ∴， ∴，即，解得（米）， ∴米， ∴石碑与实验楼之间的距离为6米． 16．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，和矩形的底边，重合，点，分别在边上，过点作于点，交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）已知点是边上的中点，连接，若的周长为8，求的周长． 【答案】（1）见分析；（2）16 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质： （1）根据矩形的判定定理解答即可； （2）证明，再根据相似三角形的性质解答即可． 解：（1）证明：四边形为矩形， ． ， ， 四边形为矩形． （2）解：，四边形为矩形， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 的周长为8， 的周长为16． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，，且，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．先证，然后根据相似三角形周长比等于相似比即可求解． 解：，即 ， ， ． 故选：C． 2．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可． 解：∵， ∴， ∴，故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 3．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上， ∴，， ∵CE⊥x轴， ∴，， ∵在矩形OABC中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设点A坐标为，则点C坐标为， 连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点A坐标为， 故选A． 【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，树在路灯的照射下形成影子，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，点在同一水平线上，则树的高度长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 解：根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）如图，在中，是上一点，连接，交于点，若，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行线的性质得出，，进而可得出，由相似三角形的性质得出，进一步即可得出答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故， 故选B． 6．（25-26九年级上·上海·月考）如图，在中，点、分别在边、上，四边形是正方形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，已知，，则的长为 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边的比相等即可求解． 解：， ， ， ， 故答案为：6． 8．如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 10．（25-26九年级上·上海·月考）如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 根据题意可知高脚杯前后的两个三角形相似，再根据相似三角形的性质求解即可． 解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， 由题意可知， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 12．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）如图，在矩形中，，点在边上，连接，过点作，交于点，已知是的中点，是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】证明，则，即，可求，作，使，连接，作于，则，，证明，则，为的中点，由点是的中点，可得，由勾股定理得，，进而可求． 解：矩形，， ， ∴， 又， ， ，即， 解得，， 如图，作，使，连接，作于，则，， ，，， 在和中， ， ， ，为的中点， 点是的中点， ， 由勾股定理得，， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理是解题的关键． 三、解答题 13．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，延长至点，使得，延长至点，连接，且． （1）求证：； （2）若，求与的周长比． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角可得，再由平角的定义得出，结合即可得证； （2）由相似三角形的性质周长的比等于相似比计算得出结论即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴与的周长比为． 14．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据菱形的性质可得，再由菱形菱形，可得，由此可证； （2）根据菱形的性质可得边长与角度的关系，即可得，根据直角三角形可得，再根据相似三角形边长成比例求解即可． 解：（1）证明：在菱形中， ∴， ∴， ∵菱形菱形， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：在菱形中， ∴，， 在菱形中，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即，解得． 15．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知：如图，等腰中，，于点，点是线段的中点，连接、，过点作交线段的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）的长为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线定理、相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）由得，由直角三角形斜边中线定理得，即可得，由得，由余角性质可得，可证，由相似得边成比例即可证明； （2）用（1）的结论求得，由相似比得，勾股定理求，再由三线合一得． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵点是线段的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴． 16．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知、是正方形的对角线，点E、F分别是、上的点，且，、分别与BD交于点H、G．连接、． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的性质证明相似即可； （2）根据正方形的性质和勾股定理，得到，，证明，得到，由（1）知，，得到，进而得出，即可证明； （3）根据相似三角形的性质，可证明，得到，则是等腰直角三角形，即可求解． 解：（1）证明：∵、是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵、是正方形的对角线， ∴和是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.4 相似三角形的性质及其应用 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】三角形重心及其性质 1 【知识点二】相似三角形周长和面积性质 1 【知识点三】相似三角形的实际应用 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】重心的性质 2 【★题型2】相似三角形周长和面积 3 【★题型3】相似三角形的应用 3 【★题型4】相似三角形性质与判定简单综合 4 （二）培优篇 5 【★★题型5】三角形重心性质与四边形综合 5 【★★题型6】三角形相似的性质与判定综合 6 【★★题型7】三角形相似与动点问题 7 【★★★题型8】三角形相似与图形变换问题 8 二．同步练习 9 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 9 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 13 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】三角形重心及其性质 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段. 【知识点二】相似三角形周长和面积性质 相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 【知识点三】相似三角形的实际应用 相似三角形实际应用的核心是借助平行判定型、两角判定型、两边成比例且夹角相等判定型这三类常用判定定理确定三角形相似，再利用相似三角形性质，将实际问题转化为几何模型求解，解题需遵循审题建模、寻找相似、列比例式、求解验证的步骤，同时要规避对应边混淆、投影类型混淆、忽略直角条件、单位不统一等易错点，拓展题型还常与四边形动点问题结合考查。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】重心的性质 【例题1】（浙教版九上142页作业题第2题改编）（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的一条中线，为的重心，，交，于点，，交于点，求与的比． 【变式1】（24-25九年级上·河北邢台·月考）如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）正方形四个顶点的坐标分别为，，，，则此正方形的重心坐标为 ． 【小结归纳】 此类题考查了重心性质，解题思路均围绕三角形重心的性质 展开；例题 1 和变式 1 先利用重心性质确定线段比例关系，结合平行线判定相似三角形的定理，借助相似三角形对应边成比例的性质建立等式，进而求解线段长度或线段比值；变式 2 则根据正方形的对称性，明确其重心为对角线的交点，再运用坐标中点公式直接计算出重心坐标。 【★题型2】相似三角形周长和面积 【例题2】（浙教版九上146页课内练习第2题改编）（23-24九年级上·山东菏泽·期中）已知，，的周长为，的面积是，求： （1）的周长； （2）的面积． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知，相似比为，则对应周长的比和对应面积的比分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2025·江苏泰州·三模）如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 【小结归纳】 相似三角形周长和面积的题型，解题思路均紧扣相似三角形的核心性质展开：先根据题目给出的相似比或面积比，利用 “相似三角形的面积比等于相似比的平方” 求出相似比（或由相似比直接推导面积比），再依据 “相似三角形的周长比等于相似比” 这一性质，建立周长或面积的比例关系式，代入已知数据计算，即可求得待求的周长或面积值。 【★题型3】相似三角形的应用 【例题3】（浙教版九上149页课内练习第6题改编）（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米． （1）在计算过程中、之间的距离应是________米； （2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 【变式1】（25-26九年级上·山西临汾·期中）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ． 【小结归纳】 相似三角形实际应用题型，解题思路均为先结合实际场景的几何特征，利用两角分别相等的三角形相似 判定定理证得目标三角形相似，再依据相似三角形对应边成比例的核心性质，代入已知线段长度建立比例式，进而计算出待求的高度、长度等未知量。 【★题型4】相似三角形性质与判定简单综合 【例题4】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2）且，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，D为边上一点，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【小结归纳】利用公共角或平行线性质推导的等角，结合已知角相等，通过两角分别相等的三角形相似判定目标三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的核心性质，代入题目给出的线段长度，建立比例式并计算，即可求出待求线段的长度。 （二）培优篇 【★★题型5】三角形重心性质与四边形综合 【例题5】（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，点P是的重心，过P作的平行线，分别交于点D，E，作，交于点F，若的面积为．求四边形的面积． 【变式1】（24-25九年级下·福建福州·月考）已知，点D是的重心，过顶点A作一条直线l平行于，连接并延长，交于点E，交直线l于点F，连接并延长交于点G，则的面积与四边形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在 中，D、E、F分别为边的中点，相交于点 O， ．试求出线段的长．（结果保留根号）    【★★题型6】三角形相似的性质与判定综合 【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，点在的延长线上，连接交于点． （1）求证：； （2）若的面积为9，，求的面积． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． （1）若，，求的长；（2）求证：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，锐角三角形内接于，平分，交于点，交于点，连接并延长交于点，连接． （1）若，请直接写出，的大小． （2）若平分 ①求证：．②若，，求的长． 【★★题型7】三角形相似与动点问题 【例题7】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． （1）当秒时，S的值是多少？ （2）若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·江西萍乡·期中）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）当t为多少时，平分面积； （2）当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【变式2】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，已知直线的表达式为，且直线与坐标轴分别相交于两点，动点从点开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时动点从点开始在线段上以每秒5个单位长度的速度向点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）点的坐标为______，的坐标为______； （2）当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ （3）当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【★★★题型8】三角形相似与图形变换问题 【例题8】（24-25九年级上·云南文山·期中）已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题： （1）_______，_______，_______，_______． （2）当t为何值时，． （3）设的面积为y（），求y与t之间的函数关系式． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为 ． 【变式2】（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）若两个相似三角形的对应高的比为，则这两个相似三角形的周长比为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邯郸 ·月考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 4．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，，，则的长为（    ） A．25 B．20 C．35 D．30 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，B、F、C三点共线，与相交于点E，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，已知，若，，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    9．（2022·陕西西安·一模）如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 10．如图，正方形ABCD的顶点D在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为 ． 11．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考），于点D，，，则 ． 12．如图，矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′，若B，D，C′三点在同一直线上，则的值为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，四边形的对角线与相交于点，已知，，，． （1）求证：． （2）若的面积为3，求的面积． 14．（23-24九年级上·河北廊坊·月考）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． （1）求证：； （2）若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 15．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 16．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，和矩形的底边，重合，点，分别在边上，过点作于点，交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）已知点是边上的中点，连接，若的周长为8，求的周长． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，，且，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，树在路灯的照射下形成影子，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，点在同一水平线上，则树的高度长是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）如图，在中，是上一点，连接，交于点，若，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 6．（25-26九年级上·上海·月考）如图，在中，点、分别在边、上，四边形是正方形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（   ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，已知，，则的长为 8．如图，在中，若，，，则的长为 .    9．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 10．（25-26九年级上·上海·月考）如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面 ． 11．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是 ． 12．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）如图，在矩形中，，点在边上，连接，过点作，交于点，已知是的中点，是的中点，连接，则的长为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，延长至点，使得，延长至点，连接，且． （1）求证：； （2）若，求与的周长比． 14．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形． （1）求证：； （2）若，，求的长． 15．（25-26九年级上·四川成都·月考）已知：如图，等腰中，，于点，点是线段的中点，连接、，过点作交线段的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 16．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知、是正方形的对角线，点E、F分别是、上的点，且，、分别与BD交于点H、G．连接、． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $