4.5相似三角形的性质及应用 同步练习题 2025-2026学年浙教版（2012）九年级数学上册

2025-2026学年浙教版九年级数学上册《4.5相似三角形的性质及应用》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，已知点E是平行四边形边上一点，、延长线交于点F，下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，中，，点与点在直线的同侧，点是线段延长线上一点，且，当时，线段的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 3．如图，在正方形中，G为的中点，连结并延长，交边的延长线于点E，对角线交于点F，已知，则线段的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，是的直径，点C是圆上一点，连结和，过点C作于点D，且，则的周长是 ． 5．如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 二、填空题 8．如图，在中，，，M是BC的中点，平分，，则的长为 ． 9．如图，在中，，以为半径的圆分别交、于点、，若，，则 ． 10．如图，利用标杆测量楼高，已知，标杆，，，则楼高 ． 11．如图，在中，的垂直平分线交于点D，平分．若，，则的长为 ． 12．如图，小鹏和妹妹小倩先后站在点A处，在路灯G的照射下，他们的影子分别为米，米，已知小鹏的身高米，小倩的身高米，则该路灯的高度为 米． 13．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则 ． 14．如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．已知，且的面积为9，则的值为 ， 三、解答题 15．如图，在中，D、E在边上，G在边上，且，．求证：． 16．如图，的弦，的延长线交于点，连接，．    (1)求证； (2)若，，．求的长． 17．如图，在中，G 是 的延长线上一点，连接，分别交和于点 E、F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 18．如图，点D在以为直径的上，过D作的切线交延长线于点C，于点E，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 19．已知正方形的对角线相交于点O，的平分线分别交、于点E、 F，作，垂足为H，的延长线分别交、于点G、P． (1)求证：； (2)求证：． 20．如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：四边形为平行四边形， ， ，，， A、∵， ∴，该选项说法正确，故不符合题意； B、∵， ∴， ，该选项说法正确，故不符合题意； C、， ， 又， ， ，该选项说法正确，故不符合题意； D、∵ ∴ ∴， ∵， ∴，该选项说法错误，故符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是找出相似三角形的对应边． 因为，所以，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3．B 【分析】根据正方形的性质可得，进而可得出，再根据相似三角形的性质可得，再根据，得出为的中位线，进而即可求出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， G为的中点， ， ， ， ， 为的中位线， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线的性质，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键． 4． 【分析】本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理，勾股定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．先证明，根据勾股定理求出的长，利用相似三角形的性质可得的长，利用周长公式可得结果． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为 故答案为： 5．C 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明出． 先证明，则由可得，设，则，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则，， ∴在中，由勾股定理得， 解得：或（舍）， ∴， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．9 【分析】本题考查了角平分线定义、平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质），解题的关键是过点D作的平行线从而得出，结合M是中点确定与的比例，再由推出上与的比例，进而求出的长． 先由平分，并结合过点D的平行辅助线推得；设、的份数，结合M是中点得的份数，进而得与的比例；因，由平行线分线段成比例定理得 ，代入数值计算． 【详解】解：如图，过点D作的平行线，交于点E，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴ 已知，代入得． 设，则，故， ∵M是的中点， ∴． ∵，由平行线分线段成比例定理：， 代入， 得， 解得．   故答案为：9． 9．176 【分析】本题考查了垂径定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，证明∽，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 则，，， 在中，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， ∴． 故答案为：176 ． 10． 【分析】根据题意过点A作，垂足为M，交于点N，得出，进而求出的长，进而得出答案． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作，垂足为M，交于点N， 则四边形都是矩形， 故， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故． 故答案为：． 11．6 【分析】根据题意，由垂直平分线的性质得到，，再由角平分线得到，结合，证得，进而根据对应边成比例即可求得的长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键． 12． 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，推出，得到，接着证明是等腰直角三角形，得到，然后代入和，解方程即可算得，最后算得． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， （）， 米，米， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （）， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据菱形的性质，翻折的性质得到， ，，根据得到，根据翻折的性质得到，由勾股定理可知，过点E作，设，根据相似三角形的判定和性质求出，进而可知． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折的性质，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数图像与性质，相似三角形的判定和性质，等积变形等，首先过点C作轴，交于M，根据相似得到的面积，然后根据等积变形得到四边形的面积，再根据相似求出的面积，最后根据k的几何意义即可得到结果． 【详解】解：过点C作轴，交于M， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∵，且与的公共部分为， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，先根据，得，则，再由得，进而得，则可证，再由相似得对应角相等，最后根据平行线的判定定理可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明，又因为，从而证得； （2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ． ， ． 又， ； （2）解：， ， ， ． ． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，，证得，得出 ，求出，则，由，得出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据切线的性质，得出，再说明，从而可利用平行线的性质得到，再根据等边对等角，得到，于是可得； （2）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据垂直的意义得到，从而可得，再利用平行线的性质、结合，可说明，列出比例式适当需要即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图，连接． ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了根据平行线判定与性质证明，半圆（直径）所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质综合，等边对等角，切线的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，再由同角的余角相等得出，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由正方形的性质可得，，，证明，得出，由同角的余角相等可得，结合角平分线的定义得出，证明，得出，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)抛物线的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）过点D作轴于点F，和都是等腰直角三角形，可得，即可证得结论； （3）利用勾股定理求得的三边的长，然后分点P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由如下： 过点D作轴于点F， 在中， ∵， ∴， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，理由： 由（2）知，，， ∵，，故当P是原点O时，； 当是直角边时，若与是对应边， 设P的坐标是，则， ∴，即， 解得， 则P的坐标是，不是直角三角形，则不成立； 当是直角边，若与是对应边时， 设P的坐标是，则， 则，即， 解得，故P是时，一定成立； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，此时，两个三角形不相似； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $