第24章 圆(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 江西专版）

第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识梳理 概念 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 圆 图形叫做圆，记作 其固定的端点叫做 ,线段OA叫做 弦 连接圆上任意两点的线段叫做 ,经过圆心的弦叫做 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆孤，简称 针对练 5.如图，在Rt△ABC中， 1.下列说法错误的是 ∠C=90°，AB=10.若 A.直径是圆中最长的弦 以点C为圆心，CB长 B.半径相等的两个半圆是等弧 为半径的圆恰好经过 C.面积相等的两个圆是等圆 AB的中点D,则AC的长为 D.半圆是圆中最长的弧 6.如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的 2.如图，图中的弦共有 延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B, A.1条 B.2条 且AB=OC,连接OB,OE. C.3条 D.4条 (1)求∠AOB的度数； (2)求∠EOD的度数. PO D (第2题图) (第3题图) 3.如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC, ∠AOD=84°，则∠BOC的度数为 4.如图，AB是⊙O的直 径，点C在⊙O上， CD AB,垂足为D.已 D 知CD=4,OD=3,则 AB的长为 ·24· 24.1.2垂直于弦的直径 知识梳理 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条 所在的直线都是圆的对称轴 垂径定理 垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的两条 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 易错警醒 圆中两条平行弦的位置分两弦在圆心同侧和异侧两种情况，注意画图并分情况讨论 典例厚入 2.如图，⊙O的半径为6，OA与弦AB的 【例】（教材Ps2例2变式）往直径为680mm 夹角是30°，则弦AB的长是 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如 图所示.若油面宽AB=600mm,求油的最 大深度 (第2题图) (第3题图) 0. 3.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为 8,P是弦AB上一点，则线段OP长度 的最小值为 4.1 如图是一个隧道的横截面，它的形状是 以点O为圆心的圆的一部分.若M是 ⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O, 交⊙O于点E,且CD=8m,EM=8m, 求⊙O的半径， 针对训练 1.如图，⊙O的弦AB=2√3，M是AB的中 点，且OM=1,则⊙O的半径等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ·25· 24.1.3弧、弦、圆心角 知识梳理 内容 图例 弧、弦、圆心角之间 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所 的关系定理 对的 也相等 弧、弦、圆心角之间 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条孤、两条弦中如果 的关系定理的推论 有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等 典例得入 【例】（教材Ps1例3变式）如图，AB,CD, EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3. D 求证：AC=BE=DF (第2题图) (第3题图) 3.如图，点A,B,C,D在⊙O上，且AB= BC=CD.若∠AOB=80°，则∠AOD的 B 度数为 4.如图，⊙O的半径为2，弦AB=2√3，E 为AB的中点，OE交AB于点F,则OF 的长为 针对训练 1.下列图形所标记的角是圆心角的有 0 (第4题图) (第5题图) 5.如图，已知半圆的直径AB=2,点C,D三 等分半圆弧，则△CBD的面积为 6.如图，AD,BC是⊙O的两条弦，且AD= A.1个 B.2个 BC.求证：AB=CD C.3个 D.4个 2.如图，AB,CD是⊙O的直径，AE= BD.若∠AOE=32°，则∠COE的度数 是 A.32° B.60 C.68° D.64° ·26· 24.1.4 圆周角 知识梳理 圆周角 顶点在 ,并且两边都与圆 的角叫做圆周角 圆周角定理 一 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 (1)同孤或等孤所对的圆周角 圆周角定理 (2)半圆（或直径）所对的圆周角是 D 的推论 90°的圆周角所对的弦是 B (3)圆内接四边形的对角 (1)利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形解题； 解题策略 (2)一条弦所对的圆周角有两种情况：相等或互补 典例得人 ⊕对训练 【例】如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC 1.如图，点A,B,C都在⊙O上.若∠BAC= 为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB. 36°，则∠BOC的度数为 ( (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； A.75°B.72° C.64° D.54° (2)若AB=2√2，AD=2,求CD的长. (第1题图) (第2题图) 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若 ∠BOD=140°，则∠BCD的度数为( A.50°B.130° C.110°D.120° 3.如图，在⊙O中，AD=BC.若∠CEB= 80°，则∠A的度数为 B (第3题图) (第4题图) 4.如图，⊙O的直径AB⊥弦CD,垂足为 E,∠A=22.5°，OC=4,则CD的长为 ·27· 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 知识梳理 设点到圆心的距离为d,圆的半径为r,则 点在圆内台d 点和圆的位置关系 r; 点在圆上台d 点在圆外台d 确定圆的条件 不在同一条直线上的 个点确定一个圆 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶，点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 典例得父 2.如图，AB为△ADC的外 【例】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC 接圆⊙O的直径.若 3cm,BC=4cm,CM是中线.以点C为圆 ∠BAD=50°，则∠ACD 的度数为 ( 心，2.5cm为半径画圆，试判断A,B,M三 A.20°B.40° C.50° D.60° 点与⊙C的位置关系， 3.下列关于确定一个圆的说法中，正确 的是 A.三个点一定能确定一个圆 B.以已知线段为半径能确定一个圆 C.以已知线段为直径能确定一个圆 D.菱形的四个顶点能确定一个圆 4.用反证法证明“一个三角形中最多有一 个内角是钝角”时，应假设： 5.直角三角形的两直角边长分别是6和8， 则它的外接圆的直径是 6.如图，在矩形ABCD中， AB=8,AD=6,以顶点D 针对训练 为圆心作半径为x的圆. 若要求另外三个顶点A, 1.已知⊙O的半径是4，OA=6,则点A与 B,C中至少有一个点在圆内，且至少 ⊙O的位置关系是 ( 有一个点在圆外，则的取值范围是 A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.无法确定 ·28· 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 知识梳理 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点的个数 2 0 圆心到直线的距离d d d 与半径r的关系 图例 当无法确定直线和圆有几个公共，点时，通常将直线与圆的位置关系转化为点 解题策略 与圆的位置关系，即过圆心作直线的垂线，计算垂线段的长度，再与圆的半径 进行比较即可 典例厚入 距离为6，那么直线1与⊙O的公共点的 【例】（教材P练习变式）如图，在Rt△ABC 个数是 A.0 B.1 中，∠C=90°，BC=4,AC=3. C.2 D.无法确定 2.已知⊙O的半径OE=√3，若OF=2,则直 线EF与⊙O的位置关系可能为( (1)斜边AB上的高为 (2)以点C为圆心，r为半径作⊙C B D ①若直线AB与⊙C没有公共点，则 3.已知⊙O的半径为2，P是直线1上的一 的取值范围是 点，OP=2,则直线1与⊙O的位置关 ②若边AB与⊙C有两个公共点，则x 系是 ( 的取值范围是 A.相离 B.相切 ③若边AB与⊙C只有一个公共点，则 C.相交 D.相切或相交 r的取值范围是 4.已知⊙O的半径为3cm,一条直线AB 针对训练 与⊙O相交，则圆心O到直线AB的距 1.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线1的 离d的取值范围是 ·29· 第2课时切线的判定与性质 知识梳理♪ 内容 图例 经过半径的外端并且 于这条半径的 切线的判定定理 直线是圆的切线 切线的性质定理 圆的切线 于过切点的半径 (1)有公共点时，连半径，证垂直； 解题策略 (2)公共点不明确时，作垂直，证半径 典例得入♪ ⊕对训练 【例】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上 1.如图，PA与⊙O相切于点A,∠POA= 的一点，OD⊥AB,交AC于点E,∠D= 70°，则∠P的度数为 2∠A. A.20°AB.35° C.70° D.110° (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)求证：DE=CD; (3)若OD=10,CD=6,则AE的长为 (第1题图) (第2题图) 2.如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长 线上一点，PB=2,PA切⊙O于点A, PA=4,则⊙O的半径为 3.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一 点，过点B作BD⊥CD,垂足为D,连接 BC,BC平分∠ABD. 求证：CD为⊙O的切线。 ·30· 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 知识梳理 内容 图例 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 切线长定理 ,这一点和圆心的连线 两条切 线的夹角 B 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ,内 三角形的内切圆 切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做 三角形的 典例得个 ⊕对训练♪ 【例】（教材P1o例2变式）如图，△ABC的 1.如图，P为⊙O外一点，PA,PB分别切 内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点 ⊙O于A,B两点.若PA=3,则PB的 D,E,F. 长为 ) (1)若∠ABC=50°，∠ACB=75°，求∠BOC A.1 B.2 C.3 D.4 B 的度数； (2)若AB=13,BC=11,AC=10,求AE 的长 (第1题图) (第2题图) 2.如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O 是它的内切圆，点D是其中的一个切 点.已知AD=10cm,小明准备用剪刀 沿着与⊙O相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形（△AMN),则剪下的 △AMN的周长为 ( ) A.20 cm B.15 cm C.10 cm D.随直线MN的变化而变化 3.如图，⊙O内切于△ABC, 切点分别为D,E,F已知 ∠B=40°，∠C=60°，连接 DE,DF,则∠EDF的度B 数为 ·31 24.3正多边形和圆 知识梳理 内容 图例 正多边形 各边 ,各角也 的多边形是正多边形 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 中心角入半径R 外接圆的半径叫做正多边形的 ,正多边形每一边 正多边形和圆 边心距 所对的圆心角叫做正多边形的 ,中心到正多边形 的一边的距离叫做正多边形的 针对训练 6.如图，在网格纸中，O,A都是格点，以点 1.如果正多边形的中心角是30°，那么这个 O为圆心，OA长为半径作圆，用无刻度 正多边形的边数是 的直尺作⊙O的一个内接正八边形 A.12 B.10 C.8 D.6 ABCDEFGH. 2.圆内接正三角形的边长是12cm,则该 圆的半径是 ( A.3√3cm B.4√5cm C.3√2cm D.4√2cm 3.若正方形的外接圆的半径为2，则其内 7.如图，正方形ABCD内接于⊙O,P为 切圆的半径为 BC上一点，连接DP,CP. A.√2 B.2√2 (1)∠CPD的度数为 D.1 (2)若DC=4,CP=2√2，求DP的长. 4.若一个正六边形的周长为24，则该正六 边形的边心距为 5.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接 圆，G为⊙O上一点（不与点C,D重 合)，则∠CGD的度数为 ·32· 24.4弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 知识梳理 弧长公式 (n是圆心角度数，R是半径) 扇形面积 S Rn是圆心角度教，1是孤长，R是丰径) 常见的阴影部分面积的求法： B 解题策略 B (AB∥CD) S阴影=S扇形OAB一S△OAB S阴影=S扇形AB十S△OAB S阴影=S扇形cD 典例厚个 2.如果某扇形的弧长为20πcm,面积为 【例】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥ 240πcm,那么该扇形的半径为( AB,交AB于点E,连接AC,∠CDB= A.6cm B.12 cm C.24 cm D.28 cm 30°，CD=4√3. 3.如图，一扇形纸扇（单面贴纸）完全打开 (1)∠CAB的度数为 后，AB和AC的夹角为120°，AB长为 (2)⊙O的半径长为 25cm,贴纸部分的宽BD为15cm. (3)求C的长； (1)求BC的长； (4)求阴影部分的面积. (2)求纸扇上贴纸部分的面积. 静心 ⊕对训练 1.在半径为1的⊙0中，120°的圆心角所 对的弧长是 ( A. 2 B. C.π D. x ·33·点C旋转得到△EDC,.∴.CE=AC=8..∴.BE=BC+CE= 6+8=14. 第2课时旋转作图 知识梳理 中心 典例导入 【例】解：(1)A(-3,3),B(-5,1),C(-1,0);(2)如图， △A'B'C'即为所求： (3)Sg边形1g=10X6-7X2X2X2-7×4X8X2= 24. 针对训练 1.C2.A3.解：(1)如图，△ABC即为所求：(2)如 图，△A2B2C1即为所求 23.2中心对称 23.2.1中心对称 知识梳理 (1)平分(2)全等 针对训练 1.C2.12 23.2.2 中心对称图形 针对训练 1.C2.③④3.解：(1)①中心轴②4(2)答案不 唯一，如图所示 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 知识梳理 (一x,一y) 针对训练 1.C2.A3.14.(-3,-5)5.-2<m<16.解： (1)(1,-4)(5,-4)(4,-1)(2)如图，△AB1C即 为所求. 41V 7.解：(1)如图，菱 第40页( 形OAB1C即为所求： (2)(-2,-1) B 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识梳理 ⊙O圆心半径弦直径弧 针对训练 1.D2.B3.48°4.105.556.解：(1)AB=OC, OB=OC,∴.AB=OB.∴.∠AOB=∠A=20°：(2).OB= OE,.∠OBE=∠E.:∠OBE=∠A+∠AOB=20°+20 =40°，.∠E=∠OBE=40°..∠EOD=∠A+∠E=20 +40°=60° 24.1.2垂直于弦的直径 知识梳理 直径平分弧弧 典例导入 【例】解：过点O作OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,连接 0B,则BD-号AB=号×600=30(mm.:⊙0的直径 为680mm,÷0B=0C=号×680=340(mm.在 Rt△OBD中，由勾股定理，得OD=√OB-BD= √/340-3002=160(mm),.CD=0C-OD=340-160= 180(mm).答：油的最大深度为180mm. 针对训练 1.B2.6√53.34.解：连接OC.M是弦CD的中 点，EBM1CD,CM=2CD=2×8=4(m.设⊙0的半 径为xm,则OM=EM-OE=(8-x)m.在Rt△COM中， 由勾股定理，得OC=CM+OP,即x2=42+(8-x)2, 解得x=5..⊙O的半径为5m. 24.1.3弧、弦、圆心角 知识梳理 弧弦 典例导入 【例】证明：由题意，得∠1=∠AOC,∠2=∠BOE,∠3= ∠DOF.∠1=∠2=∠3，∴.∠AOC=∠BOE=∠DOF, .'.AC=BE=DF. 针对训练 1.C2D3120°4.15.日6证明：AD=BC, ∴.AD=C,∴.D+B=C+DB,即AB=D,∴.AB= CD. 共42页) 24.1.4圆周角 知识梳理 圆上相交一半相等直角直径互补 典例导入 【例】解：(1)△ABC是等腰直角三角形.理由如下：AC 为⊙O的直径，.∠ADC=∠ABC=90°.∠ADB= ∠CDB,∴.B=C..AB=BC.∴.△ABC是等腰直角三 角形；(2)在Rt△ABC中，AB=BC=2√2，.由勾股定 理，得AC=√AB+BC=√(2√2)2+(2√2)2=4.在 Rt△ADC中，AD=2,AC=4,.由勾股定理，得CD= √AC-AD=√/4-2严=25. 针对训练 1.B2.C3.40°4.42 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 知识梳理 <=>三 典例导入 【例】解：在△ABC中，：∠ACB=90°，AC=3cm,BC= 4cm,∴.由勾股定理，得AB=√JAC+BC=3+4 5(cm)..CM是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴.CM= 7AB=2×5=2.5(m.:AC>2.5cm,∴点A在⊙C 外.BC>2.5cm,.点B在⊙C外.，CM=2.5cm, ∴.点M在⊙C上. 针对训练 1.C2.B3.C4.一个三角形中至少有两个内角是钝角 5.106.6<r<10 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时」 直线和圆的位置关系 知识梳理 1<=> 典例导入 【1号 (200<<号@号<<3⑥r=号或 3<≤4 针对训练 1.A 2.A 3.D 4.0 cmsd<3 cm 第2课时切线的判定与性质 知识梳理 垂直垂直 典例导入 【例】解：(1)连接OC,则∠COB=2∠A.∠D=2∠A, ∴.∠D=∠COB..OD⊥AB,..∠BOD=90°，∴.∠COB十 ∠COD=90°..∠D+∠COD=90°，∴.∠DCO=90°， ∴.OC⊥CD.又，OC是⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线； 第41页( (2)./DCO=90°，.∴./DCE+/ACO=90°.OD AB,.∠AOE=90°，∴.∠AEO+∠A=90°.，OA=OC ∴.∠ACO=∠A..∠AEO=∠DCE.又∠DEC= ∠AEO,.∠DEC=∠DCE.∴.DE=CD:(3)4√5 针对训练 1.A2.33.证明：连接OC.BC平分∠ABD, ∴.∠ABC=∠DBC.IOB=OC,.∠ABC=∠OCB, .∠DBC=∠OCB,∴.BD∥OC.BD⊥CD,∴.OC⊥CD, 又.OC为⊙O的半径，.CD为⊙O的切线. 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 知识梳理 相等平分内切圆角平分线内心 典例导入 【例】解：(1)：⊙O是△ABC的内切圆，∴.BO,CO分别平 分∠ABC,∠ACB,·∠DB0=7∠ABC=号X50= 25,∠D0=7∠ACB=号X75°=37.5.·∠B0C= 180°-（∠DB0+∠DCO)=180°-(25°+37.5）= 117.5°：(2)⊙O是△ABC的内切圆，∴.AE=AF,BD= BF,CD=CE.设AE=AF=x,则CD=CE=AC-AE= 10-x,BF=AB-AF=13-x,BD=BC-CD=11- (10-x)=x十1.BD=BF,.x十1=13-x,解得x=6. AE的长为6. 针对训练 1.C2.A3.50° 24.3正多边形和圆 知识梳理 相等相等中心半径中心角边心距 针对训练 1.A2.B3.A4.2√35.36或144°6.解：如图，正 八边形ABCDEFGH即为所求. 7.解： (1)45°(2)过点C作CH⊥DP于点H..∠PCH=90 -∠CPD=90°-45°=45°，∴.CH=PH.在Rt△CPH中， 由勾股定理，得CP+PH=CP,即2PH=(2√2)2， ∴.PH=2,∴.CH=2.在Rt△CDH中，由勾股定理，得 DH=√CD-C平=√4-2=2√3.∴.DP=PH+DH =2+25. 24.4弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 知识梳理 x迟rR 180360 共42页) 典例导入 【例】解：(1)30°(2)4(3)配的长为0xX4=4红： 180 3 (4)由圆的对称性可知，图形BED的面积与图形BE℃的 面积相等，∴S能=S形r=60X4=8红， 360 3 针对训练 1.B2C3解：1)食的长为12025=号x(m: 180 (2)'.'AB=25 cm,BD=15 cm,.'.AD=AB-BD=25- 15=10(cm.六Ses=S8形度-S形0E=120X25 360 120x×102=175x(cm). 360 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 知识梳理 xrl xr(r+l) 典例导入 【例】(1)3(2)6√2(3)27x(4)36π 针对训练 1.D2.A3.144°4.解：(1)连接BC.∠BAC=90°， .BC为⊙O的直径.∴.BC=2m,OB=OC=1m.在 Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB十AC=BC,又，AB =AC,∴2AB2=22.AB=√2m(负值已舍去)..S阴驰= 505sc=xX1-0X2-受(m):(2)设圆 360 锥的底面圆的半径为rm,则2知一高，解得一早 180 圆维的底面圆的半径为号m 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 25.1.1随机事件 知识梳理 会不会 针对训练 1.A2.不可能3.小于 25.1.2概率 知识梳理 10 n 针对训练 1.D2.A3.15 25.2用列举法求概率 第1课时 用直接列举法或列表法求概率 典例导入 【例】解：(1)4(2)用A,B,C,D代表4种方案，列表如下： 第42页( A C D (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A)(D,B) (D,C)(D,D) 由表可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果 出现的可能性相等.小丽与小敏选择同种方案的结果有4 种，即(A,A),(B,B),(C,C),(D,D),∴.P(小丽与小敏选 择同种方案)壳子 针对训练 1.C234号5 第2课时用画树状图法求概率 典例导入 【例】解：(1)弓 (2)补全树状图如图： 开始 由树状图可以看出，所有 道口A 左 右 下一道口 直左右直左右直左右 结果朝向西南北南东西北西东 可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等. 嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参 观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结 果有2种，∴.嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率最 大，最大概率为号=弓 针对训练 1.D2.9 3解：()号 (2)画树状图如下： 小明 由树状图 第一次 小强 小亮 小武 第二次小明小亮小武小明小强小武小明小强小亮 可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现 的可能性相等.经过两次传球后，球回到小明手上的结果 有3种，即（小明，小强，小明），（小明，小亮，小明），（小明， 小式，小明P(球回到小明手上)=号-子。 25.3 用频率估计概率 知识梳理 6 针对训练 1.A2A302240 5.16.1007.解：(1)2 (2)共有4种等可能的结果：（红，绿，白），（红，绿，白）， (红，白，白)，（绿，白，白），其中有2个球颜色相同的结果 有2种，P小宝获胜)=是=令，P(小郑获胜)=兰- 合“号=合心这个游戏公平 共42页)