专题10 函数图象及应用（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦函数图象及应用，涵盖函数图象的表示方法、基本初等函数图象画法与变换，以及图象在研究性质、方程解、不等式解和实际问题中的应用。课前测通过高考真题引导学生回顾知图选式、知式选图等基础，以问题驱动构建从基本函数到复合函数、从图象识别到变换应用的学习支架。 资料以数形结合思想为核心，高考真题与变式训练结合，培养学生观察图象特征的数学眼光、逻辑推理的数学思维，实际问题应用提升数学语言表达能力。分层习题设计从基础到拓展，助力学生自主学习，有效提升分析和解决函数问题的能力。

专题10 函数图象及应用 【培优目标】 1.在实际情境中，根据不同的需求学会选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数； 2.会画简单的函数图象，并会运用图象研究函数性质，并解决方程解的个数与不等式解的问题； 3. 会应用初等函数的图象、性质解决一些简单的实际问题． 【考向分析】 基本初等函数图象是高考重要考点之一，是研究函数性质的重要工具．高考中常以一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等的图象或其组合或复合为基础来考查，常结合函数性质一并考查，考查方式主要有知式选图、知图选式、图象变换以及灵活地应用图象判断方程解的个数或不等式解等的问题． 【知识结构】 【课前测】（限时10分钟） 1.（2025·天津·高考题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答】D 【分析】先由函数奇偶性排除A、B，再由时函数值正负情况可得解. 【解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 注意：本题是由图象在选项中确定可能的解析式 2.（2024·全国甲卷·高考题）函数在区间的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又，故可排除D. 故选：B. 注意：本案是由解析式选可能的图象（识图） 3.若函数的定义域为，则函数与的图象关于（     ） A.直线对称 B.直线对称 C.直线对称 D.直线对称 【答】C 【解】因为函数的图象是的图象向右平移1个单位得到的， 的图象是的图象也向右平移1个单位得到的； 又因为与的图象是关于轴（直线）对称， 所以函数与的图象关于直线对称. 故选：. 注意：本案是考察函数的图象变换 【探究过程】 问题1.掌握基本初等函数图象的画法及认知其组合、复合的大致图象 【答】基本初等函数图象包括以下：一次函数；二次函数；反比例函数；幂函数；指数函数；对数函数；三角函数等。另外，其组合、复合的重要形式包括：对勾函数；分式（一次、二次）；多项式函数（包括与、等组合）；其它复合函数（包括与二次、指数、对数函数等复合）等。 基本函数的画法：包括直接画与图象变换两个途径 （1）直接画，其步骤： ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横、纵坐标轴的交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． （2）图象变换：包括平移变换、对称变换、伸缩变换（详见问题2） 【探究1】由图象识别可能的解析式和由函数解析式识别大致图象两种基本类型 （1）（2023·天津·高考题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（     ）     A． B． C． D． 【答】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 【思维提升】本题考察由函数图象判断可能的解析式，应从函数整体性质入手，采用筛选法，特值特例等方向进行确认。 （2）已知函数，其图象是下列的（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解】因为函数的定义域为，解得：，故B错误. ，则函数为奇函数，故C，D错误；故选：A. 【针对训练1】（2022·全国乙卷·高考题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（     ） A． B． C． D． 【答】A 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【解】设，则，故排除B; 设，当时，，所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 【针对训练2】（2021·浙江·考题）已知函数，则图象为如图函数的可能是（     ） A． B． C． D． 【答】D 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 【思维提升】 思维方向：①从定义域值域判断图像位置；②从奇偶性判断图像的对称性；③从周期性判断图像循环往复；④从单调性判断大致变化趋势；⑤从特殊点排除错误选项． 【拓展探究】（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（     ） A．B．C．D． 【答】A 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【解】令，则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 【针对训练1】（多选题）函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答】ABD 【解】由题意可知，函数的定义域为，讨论如下： 当时，，函数在上单调递增，故B正确； 当时，，，所以在上单调递增，故D正确； 当时，当时，；当时，； 故A正确；C错误. 故选：ABD. 【针对训练2】（多选题）函数的图象可能为（        ） A． B． C． D． 【答】ABD 【解】①当时，， 当时，是定义在R上的奇函数，当时，，， 函数在上递减，上递增，因此在上递增，在上递减，A可能； 当时，是定义在上的奇函数， 当时，，，函数在上递增， 则在上递增，当时，，同理在上递增，B可能； ②当时，定义域为，，为偶函数， 若时，当时，（注意）， 当时，，则C不可能； 若时，当时，，当时，，则D可能. 故选：ABD 问题2.函数的图象变换包括哪三种基本变换？ 【答】1）平移变换： ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； 综上，函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 2）对称变换：包括函数图象的自身对称和两个函数图象互相对称（简称：自称和互称） ①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于坐标原点对称； 函数与函数的图象关于直线对称．（本条均为互称） ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． 3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 【探究2】函数图象的平移变换与伸缩变换 （1）将函数图象右移个单位，所得图象再关于轴对称，得函数图象，则（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】将函数图象向右平移个单位长度，所得函数为， 则函数的图象再关于轴对称得函数. 故选：D. （2）将对数函数图象上所有点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，得函数的图象，再将图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】因为将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象， 所以，即， 将的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式， 因所得图象恰与图象重合，所以，所以，又且，得，故选：D 【思维提升】仔细阅读题目，然后确定题目要求的是哪种图像变换，如平移、伸缩、对称、翻折等。 解题步骤：①确定变换类型，理解变换规则；②分析函数表达式，绘制草图；③应用变换规则，验证结果。 【拓展探究】已知函数图象的一部分如下左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】 ①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半。故选：C. 【针对训练1】已知函数，则函数的图象关于（     ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．点对称 【答】A 【解】因为，所以，即的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 所以函数的图象关于点对称.故选：A. 【针对训练2】已知函数的图象如图1所示， 则图2所表示的函数是（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】由图知，将的图象关于轴对称后再向下平移个单位即得图2， 又将的图象关于轴对称后可得函数，再向下平移个单位，可得 所以解析式为，故选：C. 问题3.应用函数图象研究其性质 利用函数图象求函数的性质，一般的，对于较为复杂条件，先作出所涉及到的函数图象，根据题目对函数的要求，从图象上寻找取得目标的位置，由图象读出或计算出答案，体现了数形结合的思想． 【探究3】用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是 . 【解】在一个坐标系中画出的图像，从左到右，取横坐标对应的纵坐标小的点构成新的图像，如图： 其中A点，即与的交点，其纵坐标即为所求 联立，解得， 函数的最大值为3 【针对训练】已知函数.若，，则的最小值为 . 【解】画出的图象如下图所示， 令，则，且，则，所以且， 所以，当时，取得最小值为． 【拓展探究1】已知，设函数在区间上的最大值为.若，则正实数的最大值为 . 【答】 【解】画出的图象如下： 故， 由图象可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，， 则①， 故只需要②， 将①代入②得，化简得，解得， 故正实数的最大值为. 【变式训练1】对，，记，则函数最小值为 ． 【解】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值，作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或，故当时，的最小值为． 【拓展探究2】由图象解函数不等式 （1）已知函数，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答】D 【解】令，则或，解得或或. 令，则或，解得或. 画出函数图象的草图（如下图），得满足的的取值范围为. 故选:D. （2）已知函数，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】令，则即为， 当时，，故 无解， 当时，即为， 在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图， 由图可得当且仅当时，， 综上所述，的解为，又，所以， 当时，，故，解得：，所以， 当时，，故，解得：，所以， 综上所述，不等式的解集是.故选：D. 【变式训练2】已知函数，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解】由题知在同一坐标系下画出，图象如下所示： 由图可知的解集为.故选：A. 【思维提升】由函数图象（或草图）研究函数性质，核心在于准确描绘出函数图象，为此，需要函数图象与函数性质可以辩证的交替使用，应根据条件正确选取；另外，尚需考虑在绘制图象前是否需要适当变形以期使问题变得更加突出和明朗，上述探究和变式训练作了很好的诠释，建议深入思考和揣摩。 问题4.函数图象与函数零点、恒成立问题 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数． 【探究4】 （1）已知函数设若关于的不等式在上恒成立，则取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答】B 【解】由题意知，令，函数的图象如图所示， 当函数的图象经过点时，得. 当的图象与的图象相切时， 由，得，结合图形，由得. 若不等式在R上恒成立， 当时，需满足，即， 当时，需满足，即，所以， 所以实数a的取值范围为.故选：B. （2）设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答】B 【解】由题意，设函数，令，即， 所以问题转化为，有3个交点； 在坐标系内，作出函数的图象所示，结合图象可知，，故实数的取值范围为. 故选：B 【针对训练1】已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答】B 【解】当时,,,且时,, 所以; 当时,,; 因为, 当时,,所以; 所以,得, 由此，作出函数图象得: 当时,,解得或, 结合图像得的解为:或, 因为,都有,所以. 故选:B. 【针对训练2】设函数，若有三个不同实数根，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答】C 【解】当时，函数单调递增，函数值集合为， 当时，函数单调递减，函数值集合为， 当时，函数单调递增，函数值集合为， 作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有3个交点， 所以有三个不同的实数根，实数的取值范围是.故选：C 问题5.函数图象的应用 【探究5】（人教A版题改编）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解】当点在上时，， 当点在上时， ， 当点在上时，， 其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确. 【思维提升】 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的特征点，排除不合要求的图象． 【针对训练1】如右图，长方形边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（     ） A．  B．  C．  D．   【答】B 【解】由题得，，故，可排除C、D； 当时点在边上，，， 所以 ，可知时图像不是线段,可排除A，故选B． 【拓展探究】如右图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【解】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得， 设等边的边长为，且，其中， 可得， 又由的面积为，可得， 且， 则的面积为， 令，其中， 可得，所以为单调递增函数， 又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值， 所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快， 结合选项，可得选项C符合题意.故选：C. 【针对训练2】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图象是（     ）． A． B．C．D． 【答】A 【解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段.故选：A． 《专题10 函数图象及应用》 巩固训练（限时90分钟） 1．（2022年新高考天津题）函数的图象为（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】函数的定义域为，且， 函数为奇函数，A选项错误； 又当时，，C选项错误； 当时，函数单调递增，故B选项错误； 故选：D. 2.已知函数，则的图象是（     ） A．   B．  C．   D．   【答】C 【解】设，则，从而排除ABD.故选：C 3.函数的大致图象为（     ） A．    B．   C．    D．    【答】C 【解】由可知，，即，显然该函数定义域关于原点对称， 由可知，函数为奇函数，排除B,  D两项， 又，排除A项，故C项正确.故选：C. 4.函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解】当时，，故排除选项C； 当时，，故排除选项B； 令，则在上恒成立， 函数在区间上是奇函数，其函数图象关于原点对称，故排除选项D。 A选项正确.故选：A. 【思维归纳】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案. 5.已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（      ） A． B． C． D． 【答】A 【解】对于B，当时，，知，， 则，不满足图象，故B错误； 对于C，，定义域为， 又，则的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项A，满足图中性质，故A正确. 故选：A. 6.函数的图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且， 对于A，，为偶函数，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，为奇函数，当时，， 因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确； 对于D，当时，，，所以时，， 单调递增，当时，，单调递减，故D错误， 故选：C. 7（2024年新课标Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答】C 【解】函数的的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C 8.要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答】A 【解】，故先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到. 故选：A 9．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？ 【解析】题图（1）中的曲线表示厂商希望的供应曲线； 题图（2）中的曲线表示客户希望的需求曲线. 从题图（1）观察，随着产品数量的上升，单价越来越高，可见是厂商希望的供应曲线； 而题图（2）恰恰相反，当产品数量逐渐上升时，单价越来越低，由此判断是客户希望的需求曲线. 10.（人教A版题改编）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象. 【解】（1）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则， 又，， （2）当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则， 又， （3）当时， 综上所述 11.图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象. （1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； （2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？ 【解】（1）点A的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）；点B的实际意义为：当乘客量为1.5时，公司收支持平； 射线AB上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将赢利. （2） 题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变. 12.求零点的个数。 【解法一】本题直接求解可考虑函数零点存在定理（此略）； 【解法二】由函数的零点也是方程的根，即方程的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数、,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以零点的个数有三个。 【引申训练】求函数的零点。 【解】考察的特点，直接求解难以入手， 可转化为求的解，构造函数， 观察知为奇函数，且在R上单调递增， 由可化为， 利用单调函数的性质可得，则，所以函数的零点为 【思维提升】对于函数的零点问题，除了要掌握利用函数的零点存在性定理判断外，还要懂得利用函数与方程思想，构造函数，数形结合作出函数图象，优化解题策略，提高学生分析、解决问题的能力。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 函数图象及应用 【培优目标】 1.在实际情境中，根据不同的需求学会选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数； 2.会画简单的函数图象，并会运用图象研究函数性质，并解决方程解的个数与不等式解的问题； 3. 会应用初等函数的图象、性质解决一些简单的实际问题． 【考向分析】 基本初等函数图象是高考重要考点之一，是研究函数性质的重要工具．高考中常以一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等的图象或其组合或复合为基础来考查，常结合函数性质一并考查，考查方式主要有知式选图、知图选式、图象变换以及灵活地应用图象判断方程解的个数或不等式解等的问题． 【知识结构】 【课前测】（限时10分钟） 1.（2025·天津·高考题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 2.（2024·全国甲卷·高考题）函数在区间的图象大致为（     ） A． B． C． D． 3.若函数的定义域为，则函数与的图象关于（     ） A.直线对称 B.直线对称 C.直线对称 D.直线对称 【探究过程】 问题1.基本初等函数图象的画法及对其组合、复合大致图象的认知 【答】基本初等函数图象包括以下：一次函数；二次函数；反比例函数；幂函数；指数函数；对数函数；三角函数等。另外，其组合、复合的重要形式包括：对勾函数；分式（一次、二次）；多项式函数（包括与、等组合）；其它复合函数（包括与二次、指数、对数函数等复合）等。 基本函数的画法：包括直接画与图象变换两个途径 （1）直接画，其步骤： ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横、纵坐标轴的交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． （2）图象变换：包括平移变换、对称变换、伸缩变换（详见问题2） 【探究1】由图象识别可能的解析式和由函数解析式识别大致图象两种基本类型 （1）（2023·天津·高考题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（     ）     A． B． C． D． 【思维提升】本题考察由函数图象判断可能的解析式，应从函数整体性质入手，采用筛选法，特值特例等方向进行确认。 （2）已知函数，其图象是下列的（     ） A． B． C． D． 【针对训练1】（2022·全国乙卷·高考题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（     ） A． B． C． D． 【针对训练2】（2021·浙江·考题）已知函数，则图象为如图函数的可能是（     ） A． B． C． D． 【思维提升】 思维方向：①从定义域值域判断图像位置；②从奇偶性判断图像的对称性；③从周期性判断图像循环往复；④从单调性判断大致变化趋势；⑤从特殊点排除错误选项． 【拓展探究】（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（     ） A．B．C．D． 【针对训练1】（多选题）函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【针对训练2】（多选题）函数的图象可能为（        ） A． B． C． D． 问题2.函数的图象变换包括哪三种基本变换？ 【答】1）平移变换： ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； 综上，函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 2）对称变换：包括函数图象的自身对称和两个函数图象互相对称（简称：自称和互称） ①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于坐标原点对称； 函数与函数的图象关于直线对称．（本条均为互称） ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． 3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 【探究2】函数图象的平移变换与伸缩变换 （1）将函数图象右移个单位，所得图象再关于轴对称，得函数图象，则（     ） A． B． C． D． （2）将对数函数图象上所有点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，得函数的图象，再将图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（     ） A． B． C． D． 【思维提升】仔细阅读题目，然后确定要求的是哪种图像变换，如平移、伸缩、对称、翻折等； 解题步骤：①确定变换类型，理解变换规则；②分析函数表达式，绘制草图；③应用变换规则，验证结果。 【拓展探究】已知函数图象的一部分如下左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【针对训练1】已知函数，则函数的图象关于（     ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．点对称 【针对训练2】已知函数的图象如图1所示， 则图2所表示的函数是（     ） A． B． C． D． 问题3.应用函数图象研究其性质 利用函数图象求函数的性质，一般的，对于较为复杂条件，先作出所涉及到的函数图象，根据题目对函数的要求，从图象上寻找取得目标的位置，由图象读出或计算出答案，体现了数形结合的思想． 【探究3】用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是 . 【针对训练】已知函数.若，，则的最小值为 . 【拓展探究1】已知，设函数在区间上的最大值为.若，则正实数的最大值为 . 【变式训练1】对，，记，则函数最小值为 ． 【拓展探究2】由图象解函数不等式 （1）已知函数，则满足的的取值范围为（     ） A． B． C． D． （2）已知函数，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知函数，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 问题4.函数图象与函数零点、恒成立问题 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数． 【探究4】 （1）函数设若关于不等式在上恒成立，则取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【针对训练1】已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【针对训练2】设函数，若有三个不同的实数根，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 问题5.函数图象的应用 【探究5】（人教A版题改编）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（     ） A．B．C．D． 【思维提升】 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的特征点，排除不合要求的图象． 【针对训练1】如右图，长方形边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（     ） A．  B．  C．  D．   【拓展探究】如右图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【针对训练2】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（     ）． A． B．C．D． 《专题10 函数图象及应用》 巩固训练（限时90分钟） 1．（2022年新高考天津题）函数的图象为（     ） A． B． C． D． 2.已知函数，则的图象是（     ） A．   B．  C．   D．   3.函数的大致图象为（     ） A．    B．   C．    D．    4.函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 【思维归纳】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案. 5.已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（      ） A． B． C． D． 6.函数的图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 7（2024年新课标Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 8.要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 9．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？ 10.（人教A版题改编）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象. 11.图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象. （1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； （2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？ 12.求零点的个数。 【引申训练】求函数的零点。 【思维提示】对于函数的零点问题，除了要掌握利用函数的零点存在性定理判断外，还要懂得利用函数与方程思想，构造函数，通过数形结合作出函数图象，优化解题策略。 1 学科网（北京）股份有限公司 $