专题06 函数值域的典型解法（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦函数值域的典型解法，通过课前自测衔接函数定义与常见函数值域基础，分设一次函数、二次函数、数形结合、含参问题四大探究任务，搭建从方法归纳到综合应用的学习支架。 以探究任务驱动学习，融合高考真题与教材案例，总结观察法、换元法等七种方法，强调数形结合与分类讨论思想，助力学生用数学思维分析问题，提升逻辑推理与创新意识，适合教师开展分层教学与能力培优。

专题06 函数值域的典型解法 【培优目标】 1、学会求常见函数及复合函数值域（最值）的方法； 2、会求含参函数值域或已知函数值域求参数的方法； 3、通过拓广探究，掌握几种求函数值域引申的综合问题。 【核心考点】 高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查仍将以分段函数、定义域、值域及最值（有界性）为主，综合考查不等式与函数的性质． 【知识拓展】 1. 函数值域定义：在函数定义中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合； ②当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 3. 常见函数的值域 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域。 （1）的值域是． （2）的值域是： 当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． （6）正、余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R. 【课前自测】（10分钟） 1．（2022·上海·高考题）已知函数定义域为，且满足，设函数值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 2.（2023·上海·高考题）已知，则的值域是 ； 3.（2015·福建·高考题）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ． 【探究过程】 问题1.一次或变相的一次函数、一次绝对值函数、一次分式函数的值域及最值问题 1、一次函数： 当其定义域为，其值域为； 2、一次函数在区间上的最值，需分别求出，并比较它们的大小即可；若区间形式为或时，需结合函数图像或一次项系数正负来确定函数的值域。 【教材在线】函数的图象如图所示，曲线l与直线m无限接近，但永不相交． （1）函数的定义域、值域各是什么？ （2）r取何值时，只有唯一的值与之对应？ 【解】（1）由图可知，函数的定义域为，值域为； （2）由图可知，当或时，只有唯一的值与之对应，故. 【探究1】求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【思维提示】求一次或变相一次函数、一次绝对值函数、一次分式函数的最值问题，总结有七种基本方法：观察法、定义法、配方法、换元（两种）法、平方法、拆分法、单调性法等； 【针对训练1】 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 问题2.二次函数的值域（最值）解法 二次函数在闭区间上的值域(最值)： 先判定其对称轴与区间的位置关系 （1） 若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者； 当时，是函数的最大值，最大值为中较小者。 （2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。 【思维提升】 ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是等时，要结合图象来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 【教材在线】已知函数，，． （1）在图中画出函数，的图象； （2）定义：，用表示，中的较小者， 记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明） 【探究2】求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； 【思维提示】 常见求二次函数值域的求法主要有以下几种 （1） 观察法：根据基本函数值域（如≥0，）及函数的图像、性质，经过计算、推理，凭观察能直接得到某些简单复合函数的值域； （2） 配方法：形如的值域或复合问题，用配方法，从定义城求出函数的值域； （3）图象法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图象模型； （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等； （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过代数换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域． 对于形如或的函数，当时可利用单调性法． 【针对训练2】求下列函数的值域． （1）； （2）； （3）； （4）（）． 【引申训练】求下列函数的值域： （1） ； （2） ； （3） 问题3.数形结合思想求函数值域的情境特点 【教材在线】画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象. （1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？ （2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？ 【探究3】求下列函数值域 1. ； 2.； 3. . 【针对训练3】 1.求函数的值域. 2.； 3.求函数的值域. 问题4.已知函数值域或方程、不等式，求参数问题 【教材在线】给定数集，方程，① （1）任给，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断是否为函数； （2）任给，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断是否为函数. 【探究4】已知函数的值域为，则实数范围为（      ） A． B． C． D． 【拓展探究】定义若函数，则最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【针对训练4】若函数的值域为，求的值. 【针对训练5】若函数的值域为，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【针对训练6】已知函数若，求实数的取值范围。 【针对训练7】已知函数，则不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【针对训练8】已知函数，则不等式的解集是 . 【课堂限训】（限时10分钟） 1.求函数，的值域． 2.求函数的值域． 3.已知函数的值域为，求实数的取值范围． 【课堂小结】 1. 本专题设置了四个问题，共分两个课时完成，问题一，一次或变相的一次函数、一次绝对值函数、一次分式函数的值域及最值问题；问题二是二次函数的值域（最值）解法；第三个问题是应用数形结合思想求函数值域的情境特点；最后探究已知函数值域或方程、不等式，求参数问题。 2. 通过本专题探究与训练，体验到函数思想引领数学思维方法，数学技能是在数学思维方法下的操作过程与技巧，比如配方是思维方法（通性通法），而换元是技能。所以解题是训练数学思维的必要途径与手段，但是，多思多想，用数学思想占领制高点是决胜数学沙场的法宝。 《专题06 函数值域的典型解法》巩固训练（限时90分钟） 1.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.函数的值域是 . 3.已知，函数的最大值为，则实数的值为 . 4.设，若，求 . 5.求函数的值域. 6.求函数的值域. 7.已知函数，若，求a值。 8.已知函数，求关于x的不等式的解集． 9.已知，且，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数值域的典型解法 【培优目标】 1、学会求常见函数及复合函数值域（最值）的方法； 2、会求含参函数值域或已知函数值域求参数的方法； 3、通过拓广探究，掌握几种求函数值域引申的综合问题。 【核心考点】 高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查仍将以分段函数、定义域、值域及最值（有界性）为主，综合考查不等式与函数的性质． 【知识拓展】 1. 函数值域定义：在函数定义中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合； ②当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 3. 常见函数的值域 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域。 （1）的值域是． （2）的值域是： 当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． （6）正、余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R. 【课前自测】（10分钟） 1．（2022·上海·高考题）已知函数定义域为，且满足，设函数值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 【答】，， 【分析】考察函数概念，一定存在可得或（舍去），由此，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得． 【解】不妨令得，或（舍去）； 当时，，故对任意，都存在，，，故， 故，，， 而当时，， 故当，，时，参数的最小值为，故参数的取值范围为，， 故答案为：，． 2.（2023·上海·高考题）已知，则的值域是 ； 【答】 【分析】分段讨论的范围即可. 【解】当时, 根据指数函数的图象与性质知，当时, . 综上: 的值域为 .故答案为：. 3.（2015·福建·高考题）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ． 【答】 【解】由于函数的值域是， 故当时，满足； 当时，由，所以， 所以，所以实数的取值范围. 【思维收敛】对数函数的性质及函数的值域. 【探究过程】 问题1.一次或变相的一次函数、一次绝对值函数、一次分式函数的值域及最值问题 1、一次函数： 当其定义域为，其值域为； 2、一次函数在区间上的最值，需分别求出，并比较它们的大小即可；若区间形式为或时，需结合函数图像或一次项系数正负来确定函数的值域。 【教材在线】函数的图象如图所示，曲线l与直线m无限接近，但永不相交． （1）函数的定义域、值域各是什么？ （2）r取何值时，只有唯一的值与之对应？ 【解】（1）由图可知，函数的定义域为，值域为； （2）由图可知，当或时，只有唯一的值与之对应，故. 【探究1】求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【解】 （1）解一：（观察法）观察已知函数为的增函数，故值域为； 解二：（配方法）. 当时，y取最小值，所以函数值域是． （2）（t换元法）令，则， 当时，取到最大值5，无最小值，故的值域为； （3）（三角换元）因为，令,故，由于，故， 即函数的值域为； （4）（平方法）由题意得，解得，则， 故，，， 由y的非负性知，，故函数的值域为； （5）（定义法）， 当时，；当时，；当时，，故的值域为； （6） （拆分法）， 因为，故，所以的值域为。 【思维提升】 1.求一次或变相一次函数、一次绝对值函数、一次分式函数的最值问题，总结有七种基本方法：观察法、定义法、配方法、换元（两种）法、平方法、拆分法、单调性法等； 2.形如：的值域（见（6））： （1）若定义域为时，其值域为 （2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。 【针对训练1】 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 【解】（1）（观察法）因为，所以．故值域为； （2） 解法一（t换元法）令，则，且， 所以（）．故值域． 解二：（观察法）函数在（-∝，1/2]单调递增，（下略） （3）（t换元法）令，则，，所以， 所以的值域为. （4）（拆分法），由反比例函数性质可知，在上单调递增， 所以，即，所以的值域为. 【拓展探究】（2021·上海·高考题）函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 【答】D 【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误. 【解】对于A，因为为偶函数，故，而的图像关于直线对称， 故，故，故为周期函数且周期为2，而在必有最大值，故必有最大值，故A错误. 对于B，而的图像关于点对称，故， 故，故，故 故为周期函数且周期为4，而在必有最大值，故必有最大值，故B错误. 对于C，因为为奇函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 所以故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故C错误. 对于D，因为为奇函数，故，而的图像关于点对称，故， 故，设，则，故无最大值， 故选：D 问题2.二次函数的值域（最值）解法 二次函数在闭区间上的值域(最值)： 先判定其对称轴与区间的位置关系 （1） 若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者； 当时，是函数的最大值，最大值为中较小者。 （2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。 【思维提升】 ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是等时，要结合图象来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 【教材在线】已知函数，，． （1）在图中画出函数，的图象； （2）定义：，用表示，中的较小者， 记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明） 【解】（1），的图象如下图所示： （2）当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述：.图象如右图所示： 【探究2】求下列函数的值域： （1）； （2）； （3） 【解】（1）令，则，而，则， 故，即的值域为； （2）因为恒成立，故,则由可得， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且，综上，故的值域为； （3） ，， 故，当且仅当，即等号成立， 故，即函数值域为。 【思维提升】 常见求二次函数值域的求法主要有以下几种 （1） 观察法：根据基本函数值域（如≥0，）及函数的图像、性质，经过计算、推理，凭观察能直接得到某些简单复合函数的值域； （2） 配方法：形如的值域或复合问题，用配方法，从定义城求出函数的值域； （3）图象法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图象模型； （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等； （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过代数换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域． 对于形如或的函数，当时可利用单调性法． 【针对训练2】求下列函数的值域． （1）； （2）； （3）； （4）（）． 【解】（1）（拆分法）因为，且， 所以，所以，故函数的值域为． （2）（上下二次优先考虑约掉公因式，然后拆分法）， 其中，， 当时，． 又因为，所以．故函数的值域为； （3）（判别式法）由函数解析式得. ①当时，①式是关于x的方程有实根．所以，解得. ②当时，存在使解析式成立， 所以函数值域为． （4）（分子次数高，拆分对构型）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8．故函数的值域为． 【引申训练】求下列函数的值域： （1） ； （2） ； （3） 【解】 （1） （拆分化归基本函数-----对钩函数、反比例函数） ∵,令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增，所以， 由反比例函数性质可知，在单调递减， 所以，即的值域为. （2） （观察法--函数单调性） 函数中，令得，观察函数和都是减函数， 故函数在时是递减的，故时，故值域为； （3）（拆分法）函数， 令，则由知，，， 根据对勾函数在递减，在递增, 可知时，，故值域为. 问题3.数形结合思想求函数值域的情境特点 【教材在线】画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象. （1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？ （2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？ 【解】（1）由题意可知：定义域为，且，图（1） 值域为， 图象可以是如下图所示： （2）由题意可知中：线段， 和线段上的点不在图象上如下图所示：图（2） 【探究3】求下列函数值域 1. ； 2.； 3. . 【解】1.（构造法）表示点与点连线的斜率， 的轨迹为圆，表示圆上的点与点连线的斜率， 由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在， 则设过的圆的切线方程为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为， 即的值域为. 2.（函数与方程思想） ，由，解得， 令，即， 将函数值域转化为与有交点时的t的取值范围， 在同一坐标系中作函数与的图象如图所示： 由图象知：当直线与半圆相切时，t最小， 此时，解得，由图象知， 当直线过点时，t最大，此时， 所以，即的值域是，故答案为： 【思维提升】 根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图形模型． 3.（构造法）设函数，令，则点位于一个单位圆在x轴的上半部分， 如图所示．将函数改写为， 则表示定点与点所连直线的斜率． 当直线与上半单位圆相切时，在直角三角形中， ，所以． 又，所以．即函数的值域为． 【针对训练3】 1.求函数的值域. 【解】（构造法）由题设构造， 问题化为求轴上点到与距离差的范围，如图示， 由图知：，即， 当三点共线且在之间时，左侧等号成立； 当三点共线且在之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况； 所以，即，所以函数值域为. 故答案为： 2.； 【解】（构造法）， 即可看作是动点到定点的距离之和， 设关于轴的对称点为，连接交轴于 ， 此时最小，且最小值为， 故函数的值域为， 3.求函数的值域. 【解】（复构造）设，则有（第一构）， （第二钩）， 其几何意义为半圆上一动点到定点的连线的斜率． 如图：,则，设过点A的直线为， 整理为，由点到直线的距离公式可得 ，化简得或（舍）， 所以，故值域为: 问题4.已知函数值域或方程、不等式，求参数问题 【教材在线】给定数集，方程，① （1）任给，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断是否为函数； （2）任给，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断是否为函数. 【解】（1），对于任意，有唯一的与之对应，所以是函数. （2）取，则，即对于，A中有两个数与v对应，所以不是函数. 【探究4】已知函数的值域为，则实数范围为（      ） A． B． C． D． 【答】C 【解】由题意得在，上单调递减，因为函数的值域为，， 所以，， ，，，， （函数思想，化一元，构造，配方法）， ，，结合可得：，， ，．故选：． 【思维提升】值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决. 【拓展探究】定义若函数，则最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答】3、 【解】（数形结合法）当时，解得或， 所以，作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为， 故答案为：；. 【针对训练4】若函数的值域为，求的值. 【解】（判别式法）设，可得， 由题意可知，关于的方程在上有解， 若，可得，则； 若，则，即， 由题意可知，关于的二次方程的两根为、， 由韦达定理可得，解得.综上所述，. 【针对训练5】若函数的值域为，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】（分类讨论法）当时，，即值域为，满足题意； 若，设，则需的值域包含， ，解得：； 综上所述：的取值范围为.故选：C. 【针对训练6】已知函数若，求实数的取值范围。 【解】由， 若，则，即，解得，所以 若，则，即，解得，所以， 综上，不等式的解为. 【针对训练7】已知函数，则不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【答】A 【解】当时，由得，两边取以e为底的对数得：， 当时，由得，解得， 综上或.故选：A. 【思维提升】已知函数值或函数的范围求自变量的值或范围时，应讨论每一段的解析式分别求解， 但要检验所求自变量的值或范围是否符合相应段自变量的范围. 【针对训练8】已知函数，则不等式的解集是 . 【答】 【解】当时，由得，解得，此时，； 当时，由得，即，解得，此时，. 综上所述，不等式的解集是.故答案为：. 【课堂限训】（限时10分钟） 1.求函数，的值域． 【解】（判别式法）因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 2.求函数的值域． 【解】（判别式法）由题知函数的定义域为，将整理得， 所以，当时，； 当时，，解得， 所以，，即函数的值域是 故答案为： 【思维提升】判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用二次方程的判别式求值域， 一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． 3.已知函数的值域为，求实数的取值范围． 【解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 【课堂小结】 1. 本专题设置了四个问题，共分两个课时完成，问题一，一次或变相的一次函数、一次绝对值函数、一次分式函数的值域及最值问题；问题二是二次函数的值域（最值）解法；第三个问题是应用数形结合思想求函数值域的情境特点；最后探究已知函数值域或方程、不等式，求参数问题。 2. 通过本专题探究与训练，体验到函数思想引领数学思维方法，数学技能是在数学思维方法下的操作过程与技巧，比如配方是思维方法（通性通法），而换元是技能。所以解题是训练数学思维的必要途径与手段，但是，多思多想，用数学思想占领制高点是决胜数学沙场的法宝。 《专题06 函数值域的典型解法》巩固训练（限时90分钟） 1.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答】C 【解】依题意且，所以函数的定义域为. 设，，则，，其几何含义表示点与的斜率，为圆弧上一动点， 如图，当为圆弧为右端点时，斜率最小，最小值为， 当与圆弧相切时，直线的斜率存在且最大，设，即， 则圆心到直线的距离，即，如图，显然，所以. 所以函数的值域为.故选：C. 2.函数的值域是 . 【答】 【解】，因为 所以函数的定义域为 令，整理得方程： 当时，方程无解； 当时， 不等式整理得：解得： 所以函数的值域为.故答案为： 3.已知，函数的最大值为，则实数的值为 . 【答】1 【解】，， 两边平方得：，即， 再平方得：， 化简得：， 当，即时，， 此时最大值为，不符题意. 所以.因为方程有解，所以， 即， 化简得：，因为，所以， 又因为的最大值为，所以，所以. 故答案为：. 4.设，若，求 . 【解】因为的定义域为，则，解得， 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得，解得；综上所述：. 所以. 5.求函数的值域. 【解】，可设， 则. 设，则，从而. （其中，），， ，，且..故函数的值域为. 6.求函数的值域. 【解】.令θ∈[0，π]， ∴=，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故点在单位圆的上半部分. 如图，斜率最小为，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，，化简得，由，解得 ， 故切线的斜率为. 所以斜率的取值范围，也即函数的值域为. 7.已知函数，若，求a值。 【解】当时，则，解得：或（舍去） 当时，则，解得：（舍去）综上所述： 8.已知函数，求关于x的不等式的解集． 【解】当时，得， 当时，，得，所以， 综上：的解集为， 9.已知，且，求的取值范围. 【解】因为，所以.看成是关于a的一元二次方程，又因为， 所以，解得.故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $