专题05 柯西不等式及应用（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦柯西不等式及权方和不等式的理解、证明与应用，通过课前自测衔接基础，衔接基本不等式，梳理知识延伸脉络，以多形式呈现（代数、几何、向量等）和六大应用案例为学习支架，帮助学生构建完整知识体系。 资料特色在于分层设计（课前自测、课中探究、课后A/B组训练）与多维度应用（极值、证明、三角函数等），助力突破复杂不等式问题。通过推理证明培养数学思维，结合实际应用强化模型意识，提升用数学语言表达现实问题的能力，适配不同层级学生需求。

画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 专题05柯西不等式及应用 【培优目标】 1、了解柯西不等式和全方和不等式并会证明： 2、学会应用柯西不等式或类柯西不等式解决的六大问题中所含不等式的基本解法； 3、初步学会应用全方和不等式解决的不等式类型。 【考向分析】 高考命题不刻意考查柯西不等式，但学会应用柯西不等式可以解或证明较为复杂的不等式，尤其应 用基本不等式解决不了的问题。 【知识拓展】 1、柯西不等式(Cauchy不等式)经典的四种形式 (1)二元代数形式：对于任意的a,b,c,d∈R,都有(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 推广一般形式：n元柯西不等式：设a,a2,…,an;b,b2,…,bn均为实数，则 (a,b+a,b2+…+anbn)2≤(a2+a+…+a2)b2+b+…+b) 取等充要条件：a,=入b,或b=元a,(i=l,2,…,n). (2)三角不等式（几何形式）：设a,b是实数，则川a-|bsa±b≤a|+|b 当中式是a+b,当a,b同号时，有a+b曰a+b；左边a,b符号相反时，等号成立； 当中式是a-b,当a,b异号时，有|a-b=a+|b|;左边a,b符号相同时，等号成立。 (3)向量形式：设a,b为两个平面向量，则：|a,bSa‖b,当且仅当a,b共线时等号成立。 (4)复数形式：对复数序列z,=a,+b,wi=c,+id,(a,b,c,d∈R,下标i=1,2),则 (zwPs(EIzPXEIw.P) 2、类柯西不等式及应用 设x,y,∈R(i,j=1,2)均为实数，则xx2-yy2)≥x-y)(x号-y), 当且仅当xy2=x2y,时等号成立，并取名为“类柯西不等式” 3、权方和不等式 (1)二维形式的权方和不等式 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对于任意的a,65y>0,都有Q+≥a+b 当且仅当=b时，等号成立. x y x+y x y (2)一般形式的权方和不等式：设0，>0，b,>0,n∈N,m>0,则 紧安+爱爱 b(b+b2+b+…+bn)四 4=0=a=…=a 当且仅当bb,b,b时，等号成立. 4、柯西不等式及全方和不等式的应用：极值求解、不等式证明（比如均值不等式）、几何距离分析等 【课前自测】(10分钟) 1.己知x,y,z∈R*且x+y+z=1则x2+y2+z2的最小值是() A.1 B c. D.2 2.已知a,b,ceR,满足(a+2)2+b2+(c+1)2=12,则a+b+c的最大值为() A.2 B.3 C.4 D.6 【探究过程】 问题1.柯西不等式直接应用型的案例分析 【探究I】柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数"问题时得到的.而后 来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近 乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数a,a2,a和瓦，b2,b,有 (++训欧，然+对到2响+4+a璃广等号成市当且仅当会会营已知+少产+=4，睛 你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是() ◆独家授权侵权必究 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.14 B.12 C.10 D.8 【拓广探究】若a2+a+…+a=8,则a,a2+a2a+aa4+…+an-an+ana,的最小值为() A.25 B.8 C.-8 D.-25 问题2.多种变式下柯西不等式应用案例分析 【探究2】(1)（无理型）柯西不等式(Caulhy--Schwarz Lnequality).是法国数学家柯西与德国数学家 施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用现给出一个二维柯西不等式： (a2+b'川c2+d')≥(ac+bd2,当且仅当=2时等号成立根据柯西不等式可以得知函数 f(x=3V4-3x+V3x-2的最大值为() A.25 B.25 C.12 D.20 （2)(分式型)已知正实数a,b满足a+2h=1,求0+326的最小值。 -+ b a 【拓广探究】柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的流数"问题时得到的一个重要 不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量ā=(x,y),b=(x2,y2),由 a-≤a得到x,+,}≤(++)，当且仅当xy2=y时取等号.现已知a≥0，b≥0，a+b=5, 则√2a+2+√b+3的最大值为() A.18 B.9 C.25 D.35 ·独家授权侵权必究 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【针对训练】(1)已知x>0,y∈R,且x2+xy-x+5y=30,则V2-x+√30-3y的最大值为() A.5 B.√6 C.2√6 D.3√2 问题3.柯西不等式由高次求低次型案例分析 【探究3】设a,b,c为正数，且a2+b2+c2=1,则a(a+b+c)的最大值为( A.3+1 B.2+1 C.3 D. 2 21 2 2 【针对训练】已知实数a(i=1,2,3,4,5)满足(a,-a2)2+(a2-a)2+(a-a4)2+(a4-a)2=1,则 a1-2a2-a,+2a,的最大值是() A.2√2 B.2√5 C.5 D.√1o ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 问题4.柯西不等式由低次求高次型的案例分析 【探究4】已知a,b,c为实数，且a+b+c=√5，求多项式a'+2b2+c2的最小值 【变式探究】若实数a,b,c,d满足ab+bc+cd+da=1,求a2+2b2+3c2+4d2的最小值. 【拓展训练】已知空间向量0-20,0丽=，20,0c-0l》,0丽=01+0丽+0c,且 x+2y+z=2,则OP的最小值为() A.√2 B.5 C.2 D.4 问题5.柯西不等式解含三角函数型问题 【探究5】求函数y=2cosx+3V1-cos2x的最大值。 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【引申探究】若sinx+cosy+sinx+y)=2,则sinx的最小值是() A.0 B.2-V3 C.3-V7 D. 【针对训练】求函数V3+2√5cos0+cos20+V5-2√5cos0+cos20+4sin0的最大值。 问题6.类柯西不等式及应用 类柯西不等式：设x,y,∈R(i,j=1,2)均为实数，则 (2-yy,)≥(x-)(x-),当且仅当x2=x时等号成立，并取名为“类柯西不等式” 【探究6】求(x)=V5x-4-√x-4的最小值 6 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 【拓展探究】当x∈R时，求，2的最小值 2x2+1x2+1 问题7.全方和不等式及应用 【探究7】权方和不等式作为基本不等式的一个变式，在求二元变量最值时其表述如下： 对于任意的实数a.6y>0,都有4丰分之a+b.当且仅当g =二时，等号成立. x y x+y x y 根据权方和不等式，求函数f)=2+,9 (0<x<)的最小值 x1-2x 【针对训练1】已知正数七y,:满+：1，则，十寸的最小位 y+2z z+2x x+2y 7 ·独家授权侵权必究 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 为 【变式探究】（应用三角函数代换）已知正实数xy且满足x+y=山，求文+户的最小值 1.8 【针对训练2】已知0为锐角，则L。+8。的最小值为。 sine cos0 【探究8】（全方不等式的一般形式）设an>0,b。>0,n∈N,m>0,则 家寄袋小 b6+b+b++b当且仅当公公公时，等号成立。一 b. 疆权方和不等式。若x0,,当2+取得最小假时，x的值为( sinx cosx A. B.π D. 6 2 8 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【针对训练】已斑x>0+2-1,则P+少份最小馆是 x y 【课堂限训】(10分钟) 1.已知a、b、ceR,且满足a+2b+3c=1,则上++的最小值为 a 2b 3c 2已知a,b,c为正实数，且满足a+4钻+9c=4,则十+的最小值为 则a+6+i+c+ ◆独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【课堂小结】 本节课总结了柯西（或类柯西）不等式及四种变式，重点介绍了六大问题的柯西解法；全方和不等式 解决的是基本不等式的变形形式，是柯西不等式的有效补充。 【特别说明】由于柯西不等式属于选修教材内容，课外可供参考的资料包括训练题较少，为此，分别 特意安排了A、B两组题，包括《基本能力题》和《拓展提升题》，以保证不同层级学生的需要，老师可 酌情选用。 《专题05柯西不等式及应用》巩固训练 A组基本能力题（满分100分，限时90分钟） 一、选择题(12×5-60) 1.已知x八，2>0且x+y+:=1,a,b,c为常数，则+公+二的最小值为() x y A.a2+b2+c8 B.3a2+b2+c2 C.(a+b+c)3 D.前三个答案都不对 2已知io.b.ceR,且a+b-e后+分君月=3，则e+6+e日+方+司 的最小值是() A.417+240V5 B.417-240V5 C.417 D.以上答案都不对 10 独家授权侵权必究 专题05 柯西不等式及应用 【培优目标】 1、 了解柯西不等式和全方和不等式并会证明； 2、 学会应用柯西不等式或类柯西不等式解决的六大问题中所含不等式的基本解法； 3、 初步学会应用全方和不等式解决的不等式类型。 【考向分析】 高考命题不刻意考查柯西不等式，但学会应用柯西不等式可以解或证明较为复杂的不等式，尤其应用基本不等式解决不了的问题。 【知识拓展】 1、柯西不等式（Cauchy不等式）经典的四种形式 （1）二元代数形式：对于任意的，都有． 推广一般形式：n元柯西不等式：设；均为实数，则 取等充要条件：或（）． （2） 三角不等式（几何形式）：设是实数，则 当中式是，当同号时，有；左边符号相反时，等号成立； 当中式是，当异号时，有；左边符号相同时，等号成立。 （3） 向量形式：设为两个平面向量，则：，当且仅当共线时等号成立。 （4） 复数形式：对复数序列，则 2、类柯西不等式及应用 设均为实数，则， 当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”． 3、权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2） 一般形式的权方和不等式：设，则 当且仅当时，等号成立． 4、柯西不等式及全方和不等式的应用：求极值、不等式证明（比如均值不等式）、几何距离分析等 【课前自测】（5分钟） 1.已知且则的最小值是（     ） A．1 B． C． D．2 【答】B 【解】由柯西不等式可得： ，即，所以， 当且仅当即时取等号，故的最小值为， 2.已知a，b，，满足，则的最大值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答】B 【解】设，，，可得，所以． 因为，所以， 当且仅当，取得最大值6，此时， 所以的最大值为．故选：B. 【探究过程】 问题1.柯西不等式直接应用型的案例分析 【探究1】柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（     ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答】A 【解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 【拓广探究】若，则的最小值为（     ） A．25 B．8 C． D． 【答】C 【解】由柯西不等式，得， ∴，∴， 当且时， 即，且与异号时， ， 则的最小值为. 选：C. 问题2.多种变式下柯西不等式应用案例分析 【探究2】（1）（无理型）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（     ） A． B． C．12 D．20 【答】A 【解】由，解得，所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故选：A. （2）（分式型）已知正实数满足，求的最小值． 【解】由柯西不等式，又 ，所以时等号成立， 【拓广探究】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】因为, 令,又,,, 所以, 当且仅当即时等号成立,即, 故选:D. 【针对训练】（1）已知，，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】由可得，即. 由可知，所以. 由，可得， 由柯西不等式得， 所以，当即时，取等号. 所以的最大值为. 故选：C. 问题3.柯西不等式由高次求低次型案例分析 【探究3】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答】A 【解法一】根据题意，有， 其中，令，解得， 于是， 等号当时取得，因此所求最大值为． 【解法二】 令，其中，则 ， 等号当时取得，因此所求最大值为． 【解法三】 根据题意，有 ， 等号当，且即时取得，因此所求最大值为． 故选：A. 【针对训练】已知实数满足，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答】D 【解】设，则条件为， 所以， 等号当且时取得，因此所求代数式的最大值为． 故选：D 问题4.柯西不等式由低次求高次型的案例分析 【探究4】已知，，为实数，且，求多项式的最小值. 【解】由三维柯西不等式： 当且仅当时取等, 所以 所以，当且仅当时取等,所以的最小值为2 【变式探究】若实数a，b，c，d满足，求的最小值. 【解】根据题意，有， 而，当且仅从时等号成立. 同理，当且仅当式等号成立， 记题中代数式为M，于是， 等号当时取得，因此所求代数式的最小值为2． 【拓展训练】已知空间向量，，且，则的最小值为（     ） A． B． C．2 D．4 【答】B 【解】因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 所以，所以的最小值为. 故选：B 问题5.柯西不等式解含三角函数型问题 【探究5】求函数的最大值。 【解】 当且仅当，即时，函数有最大值. 【变式探究】若，则的最小值是（     ） A．0 B． C． D． 【答】C 【解】由已知整理得， 由柯西不等式得： ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为.选：C． 【针对训练】求函数的最大值。 【解】题中代数式为 ， 等号当时可以取得，因此所求最大值为． 问题6.类柯西不等式及应用 类柯西不等式：设均为实数，则 ，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”． 【探究6】求的最小值． 【解】 当且仅当即时取等号，故的最小值为． 【拓展探究】当时，求的最小值． 【解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，则， 所以，最小值为，此时． 问题7.全方和不等式及应用 【探究7】权方和不等式作为基本不等式的一个变式，在求二元变量最值时其表述如下： 对于任意的实数，都有．当且仅当时，等号成立． 根据权方和不等式，求函数的最小值. 【解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即，所以 ，当且仅当，即时取“=”， 函数的最小值为25. 【针对训练1】已知正数，，满足，则的最小值为 【答】 【解】因为正数，满足，所以， 当且仅当即时取等号.故答案为：. 【变式探究】（应用三角函数代换）已知正实数、且满足，求的最小值 . 【答】 【解】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 【针对训练2】已知为锐角，则的最小值为 . 【答】 【解】 当且仅当即，时取“”. 故答案为： 【探究8】（全方不等式的一般形式）设，则，当且仅当时，等号成立． 根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答】C 【解】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以．故选：C． 【针对训练】已知，则的最小值是 ． 【答】 【解】由题意，根据全方和不等式得，． 当，即时，取得最小值．故答案为： 【课堂限训】（10分钟） 1.已知、、，且满足，则的最小值为 . 【答】 【解】因为、、，且满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：. 2.已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2. 故答案为：2. 【课堂小结】 1. 本节课总结了柯西（或类柯西）不等式及四种变式，重点介绍了六大问题的柯西解法； 2. 全方和不等式解决的是基本不等式的变形形式，是柯西不等式的有效补充。 【特别说明】由于柯西不等式属于选修教材内容，课外可供参考的资料包括训练题较少，为此，分别特意安排了A、B两组题，包括《基本能力题》和《拓展提升题》，以保证不同层级学生的需要，老师可酌情选用。 《专题05 柯西不等式及应用》巩固训练 A组 基本能力题（满分100分,限时90分钟） 一、选择题（12×5=60） 1.已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答】D 【解】根据柯西不等式，有， 等号当时取得，因此所求最小值为．故选：D. 2.已知，且，则的最小值是（     ） A． B． C．417 D．以上答案都不对 【答】A 【解】由可得， 由对称性可设，则条件即即， 从而， 根据柯西不等式， 等号当时取得．因此所求最小值为．故选：A. 3.已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答】D 【解】因为且，，， 因为 所以， 当且仅当时，的最小值为. 故选：D. 4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（     ） A．10 B．4 C．2 D． 【答】D 【解】由柯西不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以，则， 故的最大值为. 故选：D 5．已知，则的取最小值时，为（     ） A． B． C．3 D． 【答】B 【解】由柯西不等式得： 则．则根据等号成立条件知，，， 所以 故选：B 6．已知：，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答】B 【解】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得, ，解得. 故选:B 7．实数x、y满足，则的最小值是（     ） A． B． C．3 D．4 【答】A 【解】实数x、y满足，，， ，当且仅当时取等号，的最小值是. 故选：A. 8．已知a，，，则的最大值为（     ） A．18 B．9 C． D． 【答】C 【解】由题意，，当且仅当时等号成立， 当，时，故的最大值为. 故选：C. 9．若实数，则的最小值为（     ） A．14 B． C．29 D． 【答】B 【解】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 10． 函数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】 根据柯西不等式， 得 当且仅当，即时等号成立. 此时，， 故选：B. 11．若，则的最大值（     ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答】A 【解】根据柯西不等式可得： ，当且仅当， 即时，等号成立. 故选:A. 12．函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 【答】B 【解】利用柯西不等式求解.因为 当且仅当，即时，取等号.故选：B 2、 填空题（3×5=15） 13．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 【答】 【解】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立，则k的最小值为.故答案为： 14．已知x，y，，且，则的最小值为 ． 【答】36 【解】由柯西不等式可得， 所以，即， 当且仅当即也即时取得等号，故答案为:36. 15．设角、均为锐角，则的范围是 ． 【答】 【解】因为角、均为锐角，所以的范围均为， 所以， 所以 因为，所以， ， 当且仅当时取等， 令，，， 所以. 则的范围是：. 故答案为： 3、 解答题（12+13=25） 16．在锐角中，求的最小值． 【解】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：， 于是 ， 等号当时取得，因此所求最小值为 17．求函数的最大值与最小值之积． 【解】函数的定义域为， 一方面，， 等号当时取得； 另一方面，， 当且仅当时等号成立， 于是最大值为，最小值为，所求乘积为． 故答案为：. B组 拓展提升题（满分100，限时120分钟） 一、选择题（6×6=36） 1．已知 ， ，则 的最大值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答】A 【解】利用柯西不等式求解. ， 当且仅当 时取等号.∴ 的最大值是 故选：A 2．函数 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答】A 【解】将化为，利用柯西不等式即可得出答案. 因为 所以 当且仅当时取等号. 故选：A 3．已知，，，且，则的最大值为（ ） A．3 B． C．18 D．9 【答】B 【解】由柯西不等式得： ，所以，当且仅当时，等号成立，故选B. 4．已知x，y均为正数，且，则的最大值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答】C 【解】 当且仅当，即时，等式成立. 故选：C 5．设实数满足关系：，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答】B 【解】根据柯西不等式知：， 当且仅当时等号成立， 所以，即，所以， 解得，即实数的最大值为. 故选：B. 6．设、，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答】B 【解】设，因为，则且， 因为，构造数字式 ， 所以，，故， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值是.故选：B. 二、填空题（4×6=24） 7．同学们可以利用向量工具得到柯西不等式的二维形式：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.已知，，，则的最大值为 . 【答】 【解】令，又，，， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为： 8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为 【答】49 【解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为49． 9.求的最大值为 【答】 【解】根据全方和不等式，得： 当且仅当，即或时取等号。故答案为：. 10.已知a，b，c均大于1，，则的最小值为 . 【答】27 【解】由得， 所以 ， 当且仅当时取等，所以，所以， 即的最小值为27， 三、解答题（满分40分） 11．（12分）已知正实数a，b满足，求的最小值. 【解】由题设，，则， 又， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为. 12．（13分）已知，求的最小值． 【解】令，则， 当时，即时，两个等号同时成立，原式取得最小值8． 故答案为：8 13．（15分）已知x>0，y>0，且，求x+2y的最小值. 【答】 解法一：设，可解得， 从而 当且仅当时取等号. 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $