专题04 均值不等式（2课时）-“三新”背景下《高中数学培优教程》

该高中数学导学案聚焦基本不等式专题，涵盖重要不等式、几何意义、求最值“一正二定三相等”条件及变形应用，通过课前自测巩固基础，结合几何图形（如半圆、直角三角形）探究算术与几何平均数意义，构建从概念到应用的学习支架。 特色在于数形结合与多思维训练，借助几何直观培养数学眼光，通过拼凑、换元、降幂升幂等方法发展推理能力与运算能力，链接高考题强化应用意识，帮助学生深化理解，提升解决综合问题的能力。

专题04 基本不等式 【培优目标】 1、 了解重要不等式是基本不等式的基础，理解两个正数的算术平均数与几何平均数的几何意义； 2、 初步掌握利用均值不等式求最值的三个条件以及证明不等式的基本方法； 3、 了解新高考关于基本不等式的要求并学会最优解（证）法。 【核心考点】 掌握使用均值不等式求最值的三个条件；学会“拼凑”使用均值不等式的几种方法；能够活用均值不等式证明其它综合问题。 【知识结构】 重要不等式：若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,等号当仅当a=b时成立 基本不等式：若a,b∈R+,则,等号当仅当a=b时成立 【知识拓展】 1.基本不等式：若，那么，等号当且仅当时成立．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．其中叫作的算术平均数，叫作的几何平均数． 基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积恒为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．其次，连续使用基本不等式要注意等号的取得是一致的． 2.重要变形不等式 （1）是重要不等式的源头知识； （2）基本不等式特例：（同号）． （3）几个重要的变形不等式（要求会证明，灵活使用）： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④基本不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 3.均值定理：已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）． 即“和为定值，积有最大值”． （2） 如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）． 即“积为定值，和有最小值”． 4.求最值四种类型 类型一：，当且仅当时等号成立. 类型二：， 当且仅当时等号成立． 类型三：，当且仅当时等号成立. 类型四：，当且仅当时等号成立. 【课前自测】（5分钟） 1.（2025·全国Ⅱ卷·高考题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2.给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴； ②∵x，y为正实数，∴； ③∵，，∴； ④∵，，∴． 其中正确的推导为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3.下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【探究过程】 问题1.基本不等式的几何意义是什么呢？ 【探究1】数形结合是证明数学命题的一种重要方式． 现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（   ）． A． B． C． D． 【思维拓展】通过本题，进一步发掘一般情况，如图半圆O中，AB为直径，D为半圆上一点，且DC⟂AB,AC=a，BC=b,则，，由图推出,从而应用几何关系推出基本不等式（等号条件？），认识了算术平均数,几何平均数的几何意义，熟记基本不等式成立的条件，学会合理选择基本不等式的变形公式解题，同时要注意对等号是否成立要进行验证． 【针对训练】与a+b、a2+b2、ab有关问题的最值 （多选题）已知，则（      ） A． B． C． D． 问题2.怎样拼凑“定和”，解决“积”有最大值问题？ 【思维方式】通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的统一形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 【探究2】已知，求函数的最大值。 【思维提示】通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值；这里特别强调均分x+1是为了取等条件，务必重视这一点。 【拓广探究】求函数的最大值。 【思维提示】将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 【针对训练】已知，求函数的最大值。 【思维提示】“平方”拼凑“定和” 【易错解】 问题3.怎样拼凑“定积”，解决“和”有最小值问题？ 【思维方式】通过裂项、分子常数化、有理代换（包括逆代）等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件 【探究3】已知，求代数式的最小值. 【变式训练】已知，且，求的最小值及此时a的值． 【思维提升】 1、通过添项、拆项、变系数、逆代等方法凑成积为定值的形式； 2、注意验证取等条件． 【引申探究】设，求函数的最小值。 【变式训练】已知，求函数的最大值。 问题4.如何使用换元，凑出“积”或“和”为常数解决最值问题？ 【思维方式】基本思维方式是化二元为一元、化分母两项为一项等，特殊情况使用三角换元，总体目标使“和”或“积”转化为常数 【探究4】若正实数满足，求的最小值. 【引申探究1】设为正实数，且，求的最小值. 易错解：把m,n作为独立变量，分别就m,n求最小值，忽视m+n=6这一隐含条件。 【引申探究2】已知非负实数，满足，求的最大值. 【针对训练1】已知实数满足，求的最小值． 【针对训练2】若实数满足，求的最大值. 【针对训练3】已知，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．1 D． 问题5.如何使用“降幂”或“升幂”思维，凑出常数，从而证明不等式？ 【探究5】若，求证：. 【变式探究1】若，求证：。 【引申探究】已知，且，求的最小值。 【针对训练1】若，求的最大值。 【针对训练2】已知，求证：。 问题6.如何使用“轮换对称式”思维，凑出常数，从而证明不等式？ 【探究6】若，求证。 【引申探究】设为互不相等的正整数，求证。 【思维提示】 根据已知不等式结构，给其一端匹配一个与之对偶的式子，然后合并一起参与运算， 创造运用均值不等式的条件。 【链接高考】（2020·全国·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【课堂限训】（10分钟） 1.已知，求函数的最小值。 2.若，且，求证 【课堂小结】 1. 通过本节培优提升，认知了基本不等式引申的六大问题，其中【探究】和【引申探究】涉及到若干种思维方式，解决了较为复杂的基本不等式直接难以解决的问题，应重点掌握直接法、逆代法、配凑法、二元化一元法、降（升）幂法、对称式及对偶式法等，应加深认识和把握，及时完成课外思考问题； 2. 基本不等式高考核心考点仅限于上述思维范畴，尤其注意求最值时需要具备“正、等、常”三个条件，缺一不可。 《专题04 基本不等式》巩固训练（限时90分钟） 1.（2024·北京·高考真题）已知，是函数图象上两个不同的点，则（  ） A． B． C． D． 2.下列不等式证明过程正确的是（     ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 3.（多选题）已知，且，则（     ） A． B．或 C． D．或 4.（2015·福建·高考）若直线过点，则的最小值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5.（2021·全国新Ⅰ卷·高考）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（     ） A．13 B．12 C．9 D．6 6.（2015·陕西·高考）设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ） A． B． C． D． 7.（2015·四川·高考真题）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ） A．16 B．18 C．25 D． 8.若非零实数，满足，则的最大值为 . 9.已知实数，且，则的最小值是 ． 10.已知实数满足，求的最大值及的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 基本不等式 【培优目标】 1、 了解重要不等式是基本不等式的基础，理解两个正数的算术平均数与几何平均数的几何意义； 2、 初步掌握利用均值不等式求最值的三个条件以及证明不等式的基本方法； 3、 了解新高考关于基本不等式的要求并学会最优解（证）法。 【核心考点】 掌握使用均值不等式求最值的三个条件；学会“拼凑”使用均值不等式的几种方法；能够活用均值不等式证明其它综合问题。 【知识结构】 重要不等式：若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,等号当仅当a=b时成立 基本不等式：若a,b∈R+,则,等号当仅当a=b时成立 【知识拓展】 1.基本不等式：若，那么，等号当且仅当时成立．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．其中叫作的算术平均数，叫作的几何平均数． 基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积恒为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．其次，连续使用基本不等式要注意等号的取得是一致的． 2.重要变形不等式 （1）是重要不等式的源头知识； （2）基本不等式特例：（同号）． （3）几个重要的变形不等式（要求会证明，灵活使用）： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④基本不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 3.均值定理：已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）． 即“和为定值，积有最大值”． （2） 如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）． 即“积为定值，和有最小值”． 4.求最值四种类型 类型一：，当且仅当时等号成立. 类型二：， 当且仅当时等号成立． 类型三：，当且仅当时等号成立. 类型四：，当且仅当时等号成立. 【课前自测】（8分钟） 1.（2025·全国Ⅱ卷·高考题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【解】即为即，故解集为，故选：C. 2给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴； ②∵x，y为正实数，∴； ③∵，，∴； ④∵，，∴． 其中正确的推导为（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【解】根据基本不等式的条件判断，①，∴，因此正确； ②时，若，则，不等式错误； ③时，不等式错误； ④，则，，因此不等式正确，从而不等式正确．故选：D． 3.下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答】C 【解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 【探究过程】 问题1.基本不等式的几何意义是什么呢？ 【探究1】数形结合是证明数学命题的一种重要方式． 现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解】由图知：， 在中，，所以，即， 故选：C 【思维拓展】通过本题，进一步发掘一般情况，如图半圆O中，AB为直径，D为半圆上一点，且DC⟂AB,AC=a，BC=b,则，，由图推出,从而应用几何关系推出基本不等式（等号条件？），认识了算术平均数,几何平均数的几何意义，熟记基本不等式成立的条件，学会合理选择基本不等式的变形公式解题，同时要注意对等号是否成立要进行验证． 【针对训练】与a+b、a2+b2、ab有关问题的最值 （多选题）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答】BD 【解】对于A和B，因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，则，当且仅当时，等号成立，故A错误，B正确； 对于C，若，则，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，若，则，所以， 由及，可知，则当， 即时，取得最小值，故D正确． 故选：BD． 问题2.怎样拼凑“定和”，解决“积”有最大值问题？ 【思维方式】通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的统一形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 【探究2】已知，求函数的最大值。 【解】 当且仅当，即时，上式取“=”。故。 【思维提升】通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值；这里特别强调均分x+1是为了取等条件，务必重视这一点。 【拓广加深】求函数的最大值。 【解】 当且仅当，即时，上式取“=”。故。 【思维提升】将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 【针对训练】已知，求函数的最大值。 【解】 。 当且仅当，即时，上式取“=”。 故，又 【思维提升】“平方”是为了拼凑“定和” 【易错解】 【分析】虽然凑出常数，但是等号取不到，此时，不能断然没有最大值，有！但比24小！ 问题3.怎样拼凑“定积”，解决“和”有最小值问题？ 【思维方式】通过裂项、分子常数化、有理代换（包括逆代）等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件 【探究3】已知，求代数式的最小值. 【解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【变式训练】已知，且，求的最小值及此时a的值． 【解】因为，所以， 所以，当且仅当时取到等号， 故的最小值为12， 此时满足，解方程得或，故或1. 【思维提升】 1、通过添项、拆项、变系数、逆代等方法凑成积为定值的形式； 2、注意验证取等条件． 【引申探究】设，求函数的最小值。 【解】 当且仅当时，上式取“=”。故. 【变式训练】已知，求函数的最大值。 【解】， 当且仅当时，上式取“=”。故。 【思维归纳】有关分式的最值问题：若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”；若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”。 问题4.如何使用换元，凑出“积”或“和”为常数解决最值问题？ 【思维方式】基本思维方式是化二元为一元、化分母两项为一项等，特殊情况使用三角换元，总体目标使“和”或“积”转化为常数 【探究4】若正实数满足，求的最小值. 解一:（二元化一元）， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解二:（因式分解）， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 【引申探究1】设为正实数，且，求的最小值. 【解】∵ ,令，∴， ∴， ∴ 又∵ ∴； 当且仅当时，即时取得最小值， ∴的最小值为. 【解题思维】本题换元妙将分母两项化为一项，便于拆分、配凑常数； 易错解：把m,n作为独立变量，分别就m,n求最小值，忽视m+n=6这一隐含条件。 【引申探究2】已知非负实数，满足，求的最大值. 【解】（换元法）由，得，令，， 又，为非负实数， ，，即， 解得，. 故（其中）， 即，，即 又在上单调递增，∴当时，取得最大值， 故当，时，取得最大值，最大值为. 【针对训练1】已知实数满足，求的最小值． 【解】（化一元）由可得：，将其代入，则有： ，因，故有：， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 【针对训练2】若实数满足，求的最大值. 【解】已知条件可化为，设，其中. 则，从而 由此， 记，从而=，不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 【针对训练3】已知，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解】（三角代换）令，，，，因为，所以，可得， 所以 所以， 当且仅当，，， 时取等号，即当且仅当时，的最小值为， 故选：A 【思维提升】 若题目中是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数（两项化一项），转化为这两个参数的不等关系，然后“逆代”破解； 利用三角换元法一是化为二次函数的值域求解最值，二是利用化一变形后三角函数的有界性求最值，注意等号成立的条件. 问题5.如何使用“降幂”或“升幂”思维，凑出常数，从而证明不等式？ 【探究5】若，求证：. 【证明】（降幂思维）。 当且仅当时，上述各式取“=”， 故原不等式得证。 【变式探究1】若，求证：。 【证明】（升幂思维）。 又。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。 【思维方式】基本不等式等号成立的条件具有内在的规律，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁。本题已知与要求证的条件是，为解题提供了证明目标具有传递性的性质，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。 【引申探究】已知，且，求的最小值。 【解】（引入参数拼凑）设，由题意 。当且仅当同时成立时上述不等式取“=”， 即，代入，解得，此时 故的最小值为36 【思维提升】 某些复杂的问题一时难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解出待定系数，可破解难题捷径。 【针对训练1】若，求的最大值。 【解】 当且仅当时，上述各式取“=”，故的最大值为7。 【针对训练2】已知，求证：。 【证明】 ⇒ 又， 。 当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。 问题6.如何使用“轮换对称式”思维，凑出常数，从而证明不等式？ 【探究6】若，求证。 【思维方式】注意观察结构特征：求证的不等式是关于的位置顺次轮换对称式，当时，等式成立，此时，设，解得，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添，经此一添，解题思路明晰。 【证明】。 。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。 【引申探究】设为互不相等的正整数，求证。 【思维方式】 根据已知不等式结构，给其一端匹配一个与之对偶的式子，然后合并一起参与运算， 创造运用均值不等式的条件。 【证明】（对偶式法）记，构造对偶式，则 ， 当且仅当时，等号成立。又因为为互不相等的正整数， 所以，因此 【思维提升】本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式，凑出“常数”。 【链接高考】（2020·全国·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答】B 【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案. 【解】双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故 联立，解得，故 面积为： 双曲线其焦距为 当且仅当取等号曲线的焦距的最小值： 故选：B. 【思维提升】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 【课堂限训】（10分钟） 1.已知，求函数的最小值。 【解】（1的逆代）因为，所以。 所以。 当且仅当时，即，上式取“=”，故。 2.若，且，求证 【分析】已知与求证都是关于的轮换对称式，观察等号成立的条件是， 故应拼凑，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。 【证明】， 。 当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。 【课堂小结】 通过本节培优提升，认知了基本不等式引申的六大问题，其中【探究】和【引申探究】涉及到若干种思维方式，解决了较为复杂的基本不等式直接难以解决的问题，应重点掌握直接法、逆代法、配凑法、二元化一元法、降（升）幂法、对称式及对偶式法等，应加深认识和把握，及时完成课外思考问题； 基本不等式高考核心考点仅限于上述思维范畴，尤其注意求最值时需要具备“正、等、常”三个条件，缺一不可。 《专题04 基本不等式》巩固训练（限时90分钟） 1.（2024·北京·高考真题）已知，是函数图象上两个不同的点，则（  ） A． B． C． D． 【答】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2.下列不等式证明过程正确的是（     ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【答】D 【解】∵可能为负数，如时，，∴A错误； ∵可能为负数，如时，，∴B错误； ∵，如时，，∴C错误； ∵，，，∴，当仅当，即等号成立，∴D正确． 故选：D． 3.（多选题）已知，且，则（     ） A． B．或 C． D．或 【答】BD 【解】对于A，，因为，， 令，得，解得或，即或， 当且仅当或时，等号成立，故A错误； 对于B，，解得或， 当且仅当或时，等号成立，故B正确； 对于C，， 所以， 当且仅当或时，等号成立，故C错误； 对于D，， 由选项B知，或，所以或， 则或，故D正确. 故选：BD. 4.（2015·福建·高考）若直线过点，则的最小值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答】C 【解】试题分析：∵直线（，）过点，∴．则. 5.（2021·全国新Ⅰ卷·高考）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（     ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 6.（2015·陕西·高考）设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答】C 【解】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性． 7.（2015·四川·高考真题）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ） A．16 B．18 C．25 D． 【答】B 【解】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.. 【思维聚焦】核心考点：函数与不等式的综合应用. 8.若非零实数，满足，则的最大值为 . 【答】 【解】令，，则， 所以， 因为，所以, 所以，所以， 从而，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值. 故答案为：. 9.已知实数，且，则的最小值是 ． 【答】24 【解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故答案为： 【思维提升】 1的代换就是指凑出1，把1的等式逆代到原式（原式乘1），使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 10.已知实数满足，求的最大值及的取值范围． 【解】由题意，等号成立当且仅当，即的最大值为1； 由题意， 因为，所以设， 所以， 所以， 所以， 令，，所以， 又， 所以， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $