精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年新高一分班考数学试卷

北京人大附中新高一分班考试 数学 一、选择题（共20小题，每小题5分，共100分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求再与集合进行交集运算即可求解. 【详解】全集，， 则，又，所以. 故选：B 2. 已知，集合，，若有三个元素，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由有三个元素可判断，结合集合的互异性排除不合理数值，再求即可 【详解】因为集合，，若有三个元素，则且，解得.此时，故选C. 【点睛】本题考查根据集合的并集求解参数，进而求解两集合交集问题，解题易错点为忽略集合的互异性 3. 命题“对任意的，”的否定是（ ） A. 不存在， B. 存在， C. 存在， D. 对任意的， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“ ”是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即命题“ ”的否定是“存在”，故选B. 4. 若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先求解出，然后根据集合与的关系判断出对应的是何种条件. 【详解】因为或，所以， 所以，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，其中涉及到根据集合间的关系判断充分、必要条件，难度较易.若有集合，当时，则“”是“”的充分不必要条件；当时，则“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知集合，，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 先分别用列举法表示出，然后根据确定出中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的的个数. 【详解】因为的解为或，所以； 又因为，且，所以中一定含有元素，可能含有元素， 所以的个数即为集合的子集个数：， 故选：B. 【点睛】本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合中一定包含的元素和可能包含的元素，难度一般. 6. 不等式x2≥2x的解集是(　　) A. {x|x≥2} B. {x|x≤2} C. {x|0≤x≤2} D. {x|x≤0或x≥2} 【答案】D 【解析】 【详解】由x2≥2x解得：x(x－2)≥0，所以x≤0或x≥2.选D. 7. 设， ，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作差法判断两式大小. 【详解】，∴. 故选：A. 8. 已知实数，则以下不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法比大小. 【详解】由于实数，则， ，所以， ，所以， 所以. 故选：C 9. “”是“一元二次不等式恒成立”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得一元二次不等式恒成立的充要条件，可得a＞0且△＜0，即可得答案． 【详解】由一元二次不等式恒成立，则且， 反之，时，如：不恒成立， 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式与二次项系数及△的关系，考查充分条件、必要条件的含义，属于基础题． 10. 已知,,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案. 【详解】 当且仅当,取等号,即,结合, 可得时,取得最小值． 故选:A. 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 11. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. y=x-1和y= B. y=x0和y=1 C. f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D. f(x)=和g(x)= 【答案】D 【解析】 【分析】利用同一函数的定义逐一分析各个选项即可判断作答. 【详解】对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=定义域是，A不是； 对于B，定义域是，函数y=1定义域是R，B不是； 对于C，和对应法则不同，C不是； 对于D，f(x)= 和g(x)=定义域都是，并且对应法则相同，D是. 故选：D 12. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的函数解析式，结合偶次根式和分式的要求列出不等式组求得结果. 【详解】由题意得，即， 解得且， 所以函数的定义域为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有求函数的定义域，在求解的过程中，关键在于列全限制条件，并准确求解不等式（组），属于简单题目. 13. 已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是　　 A. 有最大值，无最小值 B. 有最大值，最小值 C. 有最大值，无最小值 D. 有最大值2，最小值 【答案】A 【解析】 【分析】将化为，判断在，的单调性，即可得到最值． 【详解】解：函数 即有在，递减， 则处取得最大值，且为， 由取不到，即最小值取不到． 故选：． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题． 14. 已知为一次函数，且则的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，代入得到或，计算得到答案. 【详解】设 则 或 综上： 故答案选B 【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用. 15. 定义在R上的偶函数，对任意的，，都有，，则不等式的解集是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定的单调性与特殊点函数值，再分、两类分析对应的函数符号，进而求得解集. 【详解】由条件得，在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且. 当时，等价于， 结合上的单调性与，得； 当时，等价于， 结合上的单调性与，得； 时，，不满足不等式. 综上所述，解集为. 故选：D 16. 电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为 A. 5A B. 2.5A C. 2A D. －5A 【答案】B 【解析】 【分析】由已知直接把代入，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出. 【详解】解：当时，. 故选：. 【点睛】本题考查三角函数的简单应用，属于基础题. 17. 函数的周期，振幅，初相分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数解析式求解出函数的周期和初相，振幅可以直接由解析式得到. 【详解】因为，所以， 当，初相为；由解析式可知振幅为， 故选：C. 【点睛】本题考查对函数中各个量的理解，难度容易.注意周期的计算公式：. 18. 已知为第二象限角，，则的值等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－，则sin＝×－×＝，故选A. 19. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 20. 函数其中，的图象的一部分如图所示，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用图象中的2和6，求得函数的周期，求得ω，最后根据x＝2时取最大值，求得，即可得解． 【详解】如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4＝16， 又∵ω＞0， ∴ω， 当x＝2时取最大值，即2sin（2）＝2，可得：2＝2kπ，k∈Z， ∴＝2kπ，k∈Z， ∵0＜＜π， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查． 二、解答题（共3小题，共50分） 21. （1）计算：； （2）已知角的终边经过点，求及的值． 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）根据指对数运算法则化简即可. （2）根据三角函数的定义求得，利用诱导公式化简多项式，从而求得值. 【详解】（1）原式 ． （2）∵角的终边经过点， ∴， ∴ 【点睛】（1）熟练或者拿给我指对数运算法则来化简多项式； （2）熟练利用诱导公式化简多项式，并求解. 22. 已知函数． 求函数的单调减区间； 将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由可得结合正弦函数的单调性，求得的值域． 【详解】函数， 当时,解得：， 因此，函数的单调减区间为． 将函数的图象向左平移个单位，可得的图象， 再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， ，， 的值域为． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间. 23. 已知定义在上的函数 . （1）当时,试判断在区间上的单调性,并给予证明. （2）当时,试求的最小值. 【答案】（1）在区间上单调递增，证明如下： 设 ,   则     ， ,， , ， , 即， 在区间上单调递增； （2）4. 【解析】 【分析】（1）用定义法严格证明即可 （2）用换元法设，，由（1）可得，再根据对勾函数增减性求出的最小值即可 【小问1详解】 在区间上单调递增，证明略； 【小问2详解】 设,则， 由(1)知, 当时在区间上单调递增 ， 在区间上单调递减,在区间上单调递增 ， 当, 即,解得时,. 【点睛】本题考查函数增减性的证明，复合函数值域的求法，换元法的应用，换元法的核心在于新元的取值范围必须明确，复合函数的增减性遵循同增异减 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京人大附中新高一分班考试 数学 一、选择题（共20小题，每小题5分，共100分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，集合，，若有三个元素，则 A. B. C. D. 3. 命题“对任意的，”的否定是（ ） A. 不存在， B. 存在， C. 存在， D. 对任意的， 4. 若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 16 6. 不等式x2≥2x的解集是(　　) A. {x|x≥2} B. {x|x≤2} C. {x|0≤x≤2} D. {x|x≤0或x≥2} 7. 设， ，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，则以下不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. “”是“一元二次不等式恒成立”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知,,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 11. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. y=x-1和y= B. y=x0和y=1 C. f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D. f(x)=和g(x)= 12. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是　　 A. 有最大值，无最小值 B. 有最大值，最小值 C. 有最大值，无最小值 D. 有最大值2，最小值 14. 已知为一次函数，且则的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15. 定义在R上的偶函数，对任意的，，都有，，则不等式的解集是（） A. B. C. D. 16. 电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为 A. 5A B. 2.5A C. 2A D. －5A 17. 函数的周期，振幅，初相分别是（ ） A. B. C. D. 18. 已知为第二象限角，，则的值等于 A. B. C. D. 19. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 20. 函数其中，的图象的一部分如图所示，则 A. B. C. D. 二、解答题（共3小题，共50分） 21. （1）计算：； （2）已知角的终边经过点，求及的值． 22. 已知函数． 求函数的单调减区间； 将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 23. 已知定义在上的函数 . （1）当时,试判断在区间上的单调性,并给予证明. （2）当时,试求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $