专题02 倍数与因数（2）（导学案）五年级数学寒假自学课（西南大学版）

第2讲 倍数与因数（2） 课前导入 【思考】把56个山竹装入一些袋子中，每个袋子中都装入同样多的山竹，每袋至少装2个，且袋子数大于1，可以有几种装法？ 知识点精讲 知识点一 质数、合数与分解质因数 内容 质数 只有 1 和它本身两个因数的非 0 整数（2是最小的质数） 合数 除了 1 和它本身，还有其他因数的非 0 整数（4是最小的合数） 分解质因数 把合数拆成质数相乘的形式（短除法等） 【注意】1 既不是质数，也不是合数；2 是唯一的偶质数 最小的质数与最小的合数的积是（    ）。例1 A．6 B．8 C．4 把24分解质因数是（    ）。例2 A．24＝2×2×2×3 B．24＝1×2×2×2×3 C．24＝3×8 36的因数共有( )个。其中质数有( )个，合数有( )个。练1 把210分解质因数是（ ）。练2 A．210＝2×7×3×5×1 B．210＝2×5×21 C．210＝3×5×2×7 知识点精讲 知识点二 公因数、公倍数（含最大 / 最小） 内容 公因数 几个数共有的因数（最大公因数是公因数中最大的数） 公倍数 几个数共有的倍数（最小公倍数是公倍数中最小的数） 【注意】最大公因数≤原数；最小公倍数≥原数 （1）将符合要求的自然数填在下面的圈里。例1 16和38的最大公因数是______________。 （2）把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，再找出它们的最小公倍数。 6和8的最小公倍数是（    ）。 ，，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。例2 一个数既是2的因数，又是9的因数，这个数是( )，它的因数有( )个。练1 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数    练2 （1）15和18     （2）4和23     （3）13和39     （4）24和32． 一、选择题 1．下面各数中，既是奇数又是合数的是（    ）。 A．1 B．15 C．89 D．98 2．两个质数的积一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 3．在2、4、9、43、39、57、21、15这八个数中，合数有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 4．在10以内的自然数中，找出三个不同的质数组成三位数，使它们同时是2和3的倍数，它们是( )和( )。 5．一个三位数，百位上是一个既是奇数又是合数的自然数，十位上是一位数中最大的质数，个位上是最小的合数，这个数是( )。 6．45的因数有( )个，这些因数中，合数有( )个，质数有( )个。 7．一个数的最大因数是24，这个数的最小倍数是( )，它的因数中质数有( )。 8．两个质数的差是14，积是51，这两个数是( )和( )；两个质数的和是20，积是91，这两个数是( )和( )。 9．在括号中填上合适的质数。 9＝( )＋( )； 12＝( )＋( )； 15＝( )＋( )； 21＝( )×( )。 三、判断题 10．因为60=3×4×5，所以3，4，5都是60的质因数．( ) 11．两个非零自然数的积一定是它们的公倍数。( ) 四、计算题 12．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 56和42        225和15        5和105         54和90 13．把20，42，51，63，98这几个合数分解质因数。 五、连线题 14．连一连。 六、解决问题 15．有两根彩带分别长16分米和24分米，要把它们剪成同样长的小段，而且无剩余，每小段最长是多少分米？ 16．车站的4路电车每隔8分钟发一趟车，5路电车每隔12分钟发一趟车。上午8时整4路电车和5路电车同时出发，再过多长时间两车又同时从车站出发？是几时几分？ 17．在30以内有五个连续自然数都是合数，这五个自然数分别是多少？ 18．有一张长方形纸，长80cm，宽50cm，如果要剪成若干个同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是多少cm？ 19．有两个质数，它们的和是小于40的奇数，且是5的倍数。这两个质数的积可能是多少？ 知识点一： B例1 【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，然后求出它们的积即可。 【详解】2×4＝8 则最小的质数与最小的合数的积是8。 故答案为：B A例2 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。据此，把24分解质因数即可。同时，选项B中的1既不是质数也不是合数，选项C中的8是合数不是质数，所以也可以利用排除法求解。 【详解】把24分解质因数是24＝2×2×2×3。 故答案为：A 9 2 6练1 【分析】求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1，2，3，…，除到它本身为止，能整除的就是它的因数，据此列出积是36的乘法算式，则相乘的两个整数都是36的因数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，据此解答。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个因数 其中质数有：2、3，是2个 合数有：4、6、9、12、18、36，是6个 36的因数共有9个。其中质数有2个，合数有6个。 C练2 【详解】略 知识点二： （1）图见详解；2例1 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数； 公因数是一个能被若干个整数同时均整数的整数，如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的公因数；公因数中最大的称为最大公因数，据此解答。 【详解】16＝1×16＝2×8＝4×4 38＝1×38＝2×19 如图： 16和38的最大公因数是2。 （2）见详解；24 【分析】求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1，2，3，4，5…，所得积就是这个数的倍数，据此写出6和8的倍数，然后填在圈里。 【详解】 6和8的最小公倍数是24。 12 120例2 【分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解。据此解答。 【详解】， A和B的最大公因数是2×2×3＝12； A和B的最小公倍数是2×2×3×2×5＝120。 【点睛】此题主要考查求几个数的最大公因数与最小公倍数的方法。 1 1练1 【分析】根据找一个数的因数的方法：找出2和9的因数，即可解答。 【详解】2的因数：1，2；9的因数：1，3，9； 一个数既是2的因数，又是9的因数，这个数是1，1的因数只有1，所以它的因数有1个。 【点睛】掌握找一个数的因数的方法是解题的关键。 （1）3和90  （2）1和92  （3）13和39  （4）8和96练2 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；当两个数成倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；当两个数成倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积． 【详解】（1）15=3×5 18=2×3×3 最大公因数是3，最小公倍数是3×5×2×3=90 （2）4和23是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是23×4=92 （3）13和39是倍数关系，最大公因数是13，最小公倍数是39 （4）24=2×2×2×3 32=2×2×2×2×2 最大公因数是2×2×2=8，最小公倍数是2×2×2×2×2×3=96 1．B 【分析】不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数，据此逐项分析解答即可。 【详解】A．1是奇数，不是合数；不符合题意； B．15是奇数，也是合数；符合题意； C．89是奇数，是质数，不符合题意； D．98不是奇数，不符合题意。 所以，既是奇数又是合数的是15。 故答案为：B 2．D 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。因数只有1和本身的数是质数。除了1和本身还有别的因数的数，是合数。据此可通过举例子的方式解题。 【详解】2和3均是质数，2×3＝6，6是偶数，也是合数； 3和5均是质数，3×5＝15，15是奇数，也是合数； 5和7均是质数，5×7＝35，35是奇数，也是合数； 所以，两个质数的积可能是奇数，也可能是偶数。两个质数的积一定是合数。 故答案为：D 3．B 【分析】根据合数的特征即可做出此题。 【详解】2、4、9、43、39、57、21、15这八个数中， 合数：4、9、39、57、21、15，共6个 故答案为：B 【点睛】合数：除了1和它本身还有别的因数。 4． 732 372 【分析】1～9内的质数有：2、3、5、7，要符合2的倍数个位只能是2，从剩余的三个数字里选两个，使三个数字的和是3的倍数，2＋3＋5＝10，10不是3的倍数，排除2、3、5这个组合，2＋5＋7＝14，14不是3的倍数，排除2、5、7这个组合。2＋3＋7＝12，12是3的倍数，满足题目要求的三位数是372和732。 【详解】1～9内的质数有：2、3、5、7，要符合2的倍数个位只能是2。2＋3＋7＝12，12是3的倍数，满足题目要求的三位数是372和732。 5．974 【分析】因数只有1和它本身的数是质数。因数除了1和它本身还有其它的因数的数是合数。奇数是不能被2整除的数。根据题目的要求分别找出这三个数字，再组成一个三位数。 【详解】在0到9之间， 奇数有：1、3、5、7、9，这些数中合数是9，即百位是9； 质数有：2、3、5、7，最大是的7，则十位是7； 合数有：4、6、8、9，最小的是4，则个位是4。 则这个数是974。 6． 6 3 2 【分析】（1）根据找一个数因数的方法，进行列举即可； （2）根据质数和合数的含义：一个数除了1和它本身两个因数外，不含有其它的因数，这样的数叫做质数；除了1和它本身以外，还含有其它的因数，这样的数叫做合数。找出即可。 【详解】45的因数有：1、3、5、9、15、45，共6个； 这些因数中，9、15、45是3个合数，3、5是2个质数。 7． 24 2、3 【分析】根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”及求一个数的因数的方法，写出这个数所有的因数，再根据“只有1和它本身两个因数的数是质数”，填空即可。 【详解】一个数的最大因数是24，这个数是24，其最小倍数也是24； 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，其中质数有2、3。 8． 17 3 13 7 【分析】积是51的两个数是1和51，17和3，根据两个数都是质数，且它们的差是14进行解答即可；积是91的两个数是1和91，13和7，根据两个数都是质数，且它们的和是20进行解答即可； 【详解】1×51＝51，17×3＝51，根据两个数都是质数，且它们的差是14，所以这两个数是17和3；1×91＝91，13×7＝91，根据两个数都是质数，且它们的和20，所以这两个数是13和7。 9． 7 2 7 5 13 2 7 3 【分析】首先根据题目要求将整数分解成两个质数的和或者两个质数的积，据此解答。 【详解】9可以分解成2和7的和。 12可以分解成5和7的和。 15可以分解成2和13的和。 21可以分解成3和7的积。 10．× 【详解】60＝2×2×3×5，所以2、3和5是60的质因数。 11．√ 【分析】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，两个非零自然数的积是每个乘数的倍数，就是两个乘数的公倍数，据此分析。 【详解】两个非零自然数的积一定是它们的公倍数，说法正确，如1×3＝3、3×5＝15、2×6＝12…。 故答案为：√ 12．14、168；15、225；5、105；18、270 【分析】把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。 【详解】 2×7＝14，2×7×4×3＝168 56和42的最大公因数是14，最小公倍数是168。 3×5＝15，3×5×15＝225 225和15的最大公因数是15，最小公倍数是225。 5×21＝105 5和105的最大公因数是5，最小公倍数是105。 2×3×3＝18，2×3×3×3×5＝270 54和90的最大公因数是18，最小公倍数是270。 13．见详解 【分析】分解质因数就是把－个合数写成几个质数的连乘积形式，－般先从简单的质数试着分解。 【详解】20＝2×2×5 42＝2×3×7 51＝3×17 63＝3×3×7 98＝2×7×7 14．见详解 【分析】根据质数和合数的定义进行分析即可得到答案。除了1和它本身外，没有别的因数的数叫做质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数叫做合数。 【详解】根据质数和合数的定义，连线如下： 15．8分米 【分析】求出两根彩带长度的最大公因数，就是每小段最长的长度。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 2×2×2＝8（分米） 答：每小段最长是8分米。 16．24分钟；8时24分 【分析】4路电车每隔8分钟发一趟车，5路电车每隔12分钟发一趟车，8和12的最小公倍数就是两辆车再次同时发车的时间间隔，据此解答即可。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 8时整再过24分是8时24分。 答：再过24分钟两车又同时从车站出发，是8时24分。 17．24、25、26、27、28 【分析】根据合数的意义，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。以此解答。 【详解】由分析可得：这五个自然数分别是24、25、26、27、28。 18．10cm 【分析】根据题意可知，小正方形的边长就是长方形纸长、宽的最大公因数，利用分解质因数法求80和50的最大公因数即可。 【详解】80＝2×2×2×2×5 50＝2×5×5 80和50的最大公因数是2×5＝10。 答：剪出的小正方形的边长最大是10cm。 19．6、26或46 【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】2＋3＝5     2＋13＝15     2＋23＝25 2×3＝6     2×13＝26      2×23＝46 答：这两个质数的积可能是6、26或46。 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $