第5章 培优课3 两个经典不等式ex≥x＋1、ln x≤x－1的证明及应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

培优课　两个经典不等式ex≥x＋1、ln x≤x－1的证明及应用 1.已知m，n都是正整数，且em＋ln n＜m＋n，则（　　） A.n＞em B.m＞em C.n＜em D.m＞en 2.若对于任意正实数x，y，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是（　　） A.－ B.0 C. D.1 3.“x＞1”是“ln x＞”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知实数a，b满足2ln a－e2b≥a2－2b－2（e为自然对数的底数），则a＋2b＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 5.〔多选〕经研究发现：任意一个三次多项式函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象上都有且只有一个对称中心点（x0，f（x0）），其中x0是f″（x）＝0的根，f'（x）是f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数.若函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b图象的对称中心点为（－1，2），且不等式ex－mxe·（ln x＋1）≥[f（x）－x3－3x2＋e]xe对任意x∈（1，＋∞）恒成立，则（　　） A.a＝3 B.b＝2 C.m的值可能是－e D.m的值不可能是－ 6.已知实数a，b，c满足ea＋c＋e2b－c－1≤a＋2b＋1（e为自然对数的底数），则a2＋b2的最小值是　　　　. 7.已知对任意的x＞0，不等式xex－ln x－ax≥1恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 8.已知函数f（x）＝ex－ln（x＋2），求证：f（x）＞0. 9.设函数f（x）＝ln x－x＋1. （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当x∈（1，＋∞）时，1＜＜x. 10.已知函数f（x）＝ex－a. （1）若函数f（x）的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值； （2）若f（x）－ln x＞0恒成立，求整数a的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 培优课两个经典不等式e≥x+1、 lnx≤x一1的证明及应用 1.A2.C3.A4.B 5.ACD由题意可得f(-1)=-1+a-1+b=2,因为f(x)=3x2+2ax十1，所以f"(x)=6x+ 2a,所以f"(-1)=-6+2a=0,解得a=3,b=1,故f(x)=x3+3x2+x+1.因为x>1,所以e -mr(lnx+1)≥[f(x)-x2-3x2+e]x等价于m≤xe-ii.又xe=enx+x≥x-elnx+ 1(当且仅当三e时，等号成立)，从而xee-≥议e三一e,故m≤一e故远A、C、D一 5解析：e≥x+1,.e+c≥a十c+l,e2o≥2b-c-1+l,,e+e+e2--1≥(a十c+1) (2b-c-1+1)=a+2b+1,又.ea+c+e2b-c-1≤a十2b+1,.ea+c+e2b-c-1=a+2b+1,当且仅当 a+c=0,2b-c-1=0时成立，+公=(-c)+(空)=景++子（公+8）号 7.（一o,1]解析：因为xe=e+n≥lnx+x十l,当且仅当lnx十x=0时，“=”成立，所以不 等式xe-lnx-ax≥1恒成立转化为xe≥nx十x+1≥lnx十ar十1对任意的x>0恒成立，解得a≤1. 8.证明：要证f(x)>0,即证e-ln(x+2)>0, 由e≥x十1（证明略），① 即证x+1-ln(x+2)≥0， 令h(x)=x+1-ln(x+2), 则0=1-女2安号6>-2》， 易知h(x)在（一2，一1）上单调递减，在（一1，+∞）上单调递增， ∴.h(x)≥h（-1)=0,即x+1-ln(x+2)≥0（当且仅当x=-1时，等号成立).② .①和②中的等号不同时成立， ∴.由①和②得e'-ln(x十2)>0， 即f(x)>0. 9.解：(1)依题意，f(x)的定义域为(0，+∞)· f)=是-1，令f(x)=0,得x=1. 所以当0<x<1时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当x>1时，(x)<0,f(x)单调递减. 1/2 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (2)证明：由(1)知f(x)在x=1时取得最大值，且最大值f(1)=0, 所以当x≠1时，lnx<x一1. 鼓当e1,+)时，>1 将代入nx<x-1,得n<-1, 雨-hr1on≥1-on>ax>n Inx' 政当xe1,十0)时恒有1<<x 10.解：(1)P(x)=e,.函数f(x)的图象与直线y=x一1相切， .令f(x)=1, 即e'=1,得x=0, ∴.切点坐标为(0，一1)，则f(0)=1一a=-1,.a=2. (2)先证明e≥x+1,设F(x)=e-x一1， 则F'(x)=e-1, 令F'(x)=0,则x=0, 当x∈(0，+∞)时，F'(x)>0;当x∈（-∞，0)时，F'(x)<0. ∴.F(x)在(0，十∞)上单调递增，在（一∞，0）上单调递减， ∴.F(x)mim=F(0)=0,即F(x)≥0恒成立. ∴.e≥x十1，从而e-2≥x一1（x=0时取等号). 又lnx≤x一1（当x=1时，等号成立）. ∴.e-2>lnx. 当a≤2时，lnx<e-2≤e'-a,f(x)-lnx>0恒成立； 当a>2时，存在x,使e-a<lnx,即e'-a>lnx不恒成立. 综上，整数a的最大值为2. 2/2 ·独家授权侵权必究·