5.2.1 基本初等函数的导数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5．2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 cos x －sin x axln a ex (e，1) B C A 2 0 2 5 看 观 谢 谢 要点　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝_________ f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝_______ f(x)＝ex f′(x)＝____ f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) 1．若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex，这种说法正确吗？ 答：不正确．由导数定义知若f(x)－g(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝g′(x)，故f(x)＝ex＋c(c为常数)． 2．函数y＝ex的导数与函数y＝ax(a>0且a≠1)的导数有何关系？ 答：因为(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a，所以当a＝e时，(ex)′＝(ax)′. 课 时 学 案 题型一　简单函数的求导 例1　求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝eq \f(1,x4)；(3)y＝xeq \r(x)； (4)y＝log2x；(5)y＝2sin eq \f(x,2)cos eq \f(x,2). 【思路分析】　对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，如y＝eq \f(1,x4)可以写成y＝x－4，y＝eq \r(5,x3)＝xeq \f(3,5)等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误． 【解析】　(1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq \f(4,x5). (3)y′＝(xeq \s\up6(\f(3,2)))′＝eq \f(3,2)xeq \s\up6(\f(1,2))＝eq \f(3,2) eq \r(x). (4)y′＝(log2x)′＝eq \f(1,xln 2). (5)∵y＝sin x，∴y′＝cos x. 【讲评】　准确的运算是体现数学能力的重要标志，也是得分的保证，要从思想上提高认识，要养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，步子不要太大！ 探究1　利用导数公式求函数的导数的解题策略： (1)若所给函数符合导数公式，则直接利用公式求导． (2)合理转化函数关系式后直接应用公式求导，如本例(3)． (3)先化简函数解析式，再选择公式求导，如本例(5)． 思考题1　求下列函数的导数： (1)y＝－3；(2)y＝2x； (3)y＝log5x；(4)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)). 【解析】　(1)y′＝(－3)′＝0. (2)y′＝(2x)′＝2xln 2. (3)y′＝(log5x)′＝eq \f(1,xln 5). (4)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)))) eq \s\up12(′)＝(sin x)′＝cos x. 题型二　导数公式的实际应用 例2　若质点P的运动方程是s＝eq \r(3,t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8时的瞬时速度． 【解析】　∵s′＝(eq \r(3,t2))′＝(teq \f(2,3))′＝eq \f(2,3)t－eq \f(1,3)， ∴s′|t＝8＝eq \f(2,3)×8－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)×2－1＝eq \f(1,3). ∴质点P在t＝8时的瞬时速度为eq \f(1,3) m/s. 探究2　瞬时速度是路程关于时间函数的导数，加速度是速度关于时间函数的导数，计算时应先求导函数再求某点处的导数． 思考题2　从时刻t＝0开始的t秒内，通过某导体的电量q(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)． 【解析】　由q＝cos t得q′＝－sin t，所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7， 即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安． 题型三　利用导数研究曲线的切线问题 例3　(1)曲线y＝cos x在点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))处的切线方程为_________________． 【解析】　∵y′＝(cos x)′＝－sin x， ∴点P处的切线的斜率k＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)， ∴切线方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(3),2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝－eq \f(\r(3),2)x＋eq \f(\r(3)π,6)＋eq \f(1,2). y＝－eq \f(\r(3),2)x＋eq \f(\r(3)π,6)＋eq \f(1,2) (2)已知点P为抛物线y＝x2上任意一点，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，求点P的坐标及点P到直线l的距离． 【解析】　由图形的直观性可知，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，抛物线在点P处的切线与直线l是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切线的斜率为－1. 设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0＝－1， ∴x0＝－eq \f(1,2)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))). 由点到直线的距离公式知点P到l的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,4)＋2)),\r(2))＝eq \f(7,8) eq \r(2). 探究3　利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路： (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量． 思考题3　(1)曲线y＝ln x在点P处的切线方程为x－ey＝0，则切点为________． 【解析】　y′＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，设切点为P(x0，y0)， 则切线的斜率为eq \f(1,x0)＝eq \f(1,e)，∴x0＝e. ∴y0＝ln x0＝ln e＝1. ∴切点为(e，1)． (2)已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使△ABP面积最大． 【思路分析】　依题意可知，|AB|为定值，只要点P到AB的距离最大，S△ABP就最大，问题转化为在抛物线的弧AOB上求一点P到直线AB的距离最大，由导数的几何意义知，P为抛物线上与直线AB平行的切线的切点，求出点P的坐标即可求得S△ABP的最大值． 【解析】　由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP面积最大，只要点P到直线AB的距离最大， ∴点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点． 设P(x0，y0)，易知点P在x轴下方的抛物线上， ∴y＝－2eq \r(x)，∴y′＝－eq \f(1,\r(x)). ∵kAB＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(1,\r(x0))＝eq \f(1,2)，x0＝4. 由y＝－2eq \r(x)，得y0＝－4，∴P(4，－4)． 课 后 巩 固 1．下列各式中正确的个数是(　　) ①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(eq \r(5,x2))′＝eq \f(2,5)x－eq \f(3,5)；④(cos 2)′＝－sin 2. A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 2．若直线y＝x＋a和曲线y＝ln x＋2相切，则实数a的值为(　　) A.eq \f(1,2) B．2 C．1 D.eq \f(3,2) 解析　因为y＝ln x＋2，所以y′＝eq \f(1,x)，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以y′＝eq \f(1,x0)＝1，∴x0＝1.所以y＝ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选C. 3．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 解析　f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝(－cos x)′＝sin x，所以fn(x)＝fn＋4(x)(n∈N)．故f2 020(x)＝f0(x)＝sin x. 4．曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积等于________． 解析　∵y′＝eq \f(1,xln 2)，∴在点(1，0)处切线的斜率为y′|x＝1＝eq \f(1,ln 2). ∴切线方程为y＝eq \f(1,ln 2)(x－1)． 令y＝0，得x＝1，令x＝0，得y＝－eq \f(1,ln 2)， ∴三角形面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(1,ln 2)＝eq \f(1,2ln 2). eq \f(1,2ln 2) 5．(1)求过曲线y＝ex上一点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程． (2)曲线y＝eq \f(1,5)x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，求此切线方程． 解析　(1)∵y′＝ex， ∴曲线在点P(1，e)处切线的斜率是y′|x＝1＝e. ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－eq \f(1,e). ∴所求直线方程为y－e＝－eq \f(1,e)(x－1)， 即x＋ey－e2－1＝0. (2)∵切线与y＝－x＋3垂直，∴切线的斜率为1. 又y′＝x4，令x4＝1，∴x＝±1. 易得切线方程为5x－5y－4＝0和5x－5y＋4＝0. $$