5.1.2 第2课时 导数的几何意义(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第二课时　导数的几何意义 1.若＝x2，则f（x）的导函数f'（x）＝（　　） A.2x B.x3 C.x2 D.3x2 2.已知函数f（x）的图象如图所示，则下列数值的排序正确的是（　　） A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2） B.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3） C.0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2） D.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2） 3.已知函数f（x）＝ax2＋b的图象在点（1，3）处的切线斜率为2，则＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.某运输公司为运送某物品提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示.在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（　　） 5.如图，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝－2，则f（1）＝（　　） A.－1 B.1 C.2 D.3 6.〔多选〕曲线y＝在点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标可能为（　　） A.（3，3） B.（－3，－3） C.（9，1） D.（1，9） 7.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有切线 B.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在 C.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在 D.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能存在 8.过点P（－1，2）且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是　　　　. 9.曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是　　　　. 10.已知曲线C：y＝x3. （1）求曲线在点（3，27）处的切线l的方程； （2）求切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积. 11.若P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为（　　） A. B. C. D. 12.〔多选〕（2025·厦门月考）已知函数f（x）＝x＋，若曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，则a的值可以是（　　） A.－4 B.－2 C.0 D.2 13.已知函数f（x）＝x3，过点P作曲线f（x）的切线，则其切线方程为　　　　　　. 14.点P在曲线y＝f（x）＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标. 15.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代法，方法如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选取x0作为r的初始近似值，在点（x0，f（x0））处作曲线y＝f（x）的切线l：y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0），则l与x轴的交点的横坐标x1＝x0－（f'（x0）≠0），称x1是r的一次近似值；在点（x1，f（x1））处作曲线y＝f（x）的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中xn＋1＝xn－（f'（xn）≠0），称xn＋1是r的n＋1次近似值.若使用该方法求方程x2＝2的近似解. （1）取初始近似值为2，求该方程解的二次近似值； （2）证明：x4＝x0－－－－. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　导数的几何意义 1.C　2.D　3.B　4.B　 5.C　曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线l过点（2，0），且f'（1）＝－2，所以切线方程为y＝－2（x－2）.因为切点在曲线上也在切线上，所以f（1）＝－2×（1－2）＝2. 6.AB　由导数定义得y'＝＝［－］＝－，设P（x0，y0），则由导数的几何意义可得－＝tan＝－1，解得x0＝±3，从而y0＝±3，即点P的坐标为（3，3）或（－3，－3）. 7.AC　k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，A、C正确；当切线垂直于x轴时，f'（x0）不存在，B错误；当曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，f'（x0）一定不存在，D错误，故选A、C. 8.2x－y＋4＝0　解析：由题意知，Δy＝3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2＝3（Δx）2＋2Δx.∴y'｜x＝1＝＝2，∴所求直线的斜率k＝2.故所求直线方程为y－2＝2（x＋1），即2x－y＋4＝0. 9.（－∞，1）　解析：y＝x＋上任意一点P（x0，y0）处的切线斜率为k＝y'＝ ＝（1－）＝1－＜1，即k＜1. 10.解：（1）∵y'｜x＝3＝＝27， ∴曲线C在点（3，27）处的切线方程为y－27＝27（x－3），即y＝27x－54. （2）∵切线l：y＝27x－54与x，y轴分别相交于点（2，0），（0，－54）， ∴所求三角形的面积为S＝×2×54＝54. 11.D　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f（x）＝x2，由导数的几何意义知y'＝f'（x）＝＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝. 12.AD　由题得f'（x）＝＝＝1－，设切点坐标为（x0，x0＋），则切线方程为y－x0－＝（1－）·（x－x0）.又切线过点（1，0），可得－x0－＝（1－）（1－x0），整理得2＋2ax0－a＝0　（*）.因为曲线y＝f（x）存在两条过点（1，0）的切线，所以方程（*）有两个不等实根，即满足Δ＝4a2－8（－a）＞0，解得a＞0或a＜－2.故选A、D. 13.y＝0或3x－y－2＝0　解析：设切点为Q（x0，），得切线的斜率为k＝f'（x0）＝＝3，切线方程为y－＝3（x－x0），即y＝3x－2.因为切线过点P，所以2－2＝0，解得x0＝0或x0＝1，从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0. 14.解：设P（x0，y0），则y0＝＋1， f'（x0）＝＝2x0， 所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0（x－x0），即y＝2x0x＋1－， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，由 得2x2＋2x0x＋2－＝0， 则Δ＝4－8（2－）＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为或. 15.解：（1）令f（x）＝x2－2， 则f'（x）＝＝2x， 取初始近似值x0＝2， 则x1＝x0－＝2－＝， x2＝x1－＝－＝. （2）证明：根据题意， 可知x1＝x0－， x2＝x1－，x3＝x2－， x4＝x3－， 上述四式相加， 得x4＝x0－－－－. 学科网（北京）股份有限公司 $