5.1.1 变化率问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.1.1　变化率问题 1.已知抛物线y＝f（x）＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则＝（　　） A.－0.11 B.－1.1 C.3.89 D.0.29 2.若函数f（x）在x0处有定义，则的结果（　　） A.与x0，h均无关 B.仅与x0有关，而与h无关 C.仅与h有关，而与x0无关 D.与x0，h均有关 3.某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为s（t）＝t2＋t，则这个物体在时间段[1，2]内的平均速度为（　　） A.2 B. C.3 D. 4.已知抛物线y＝2x2上一点A（2，8），则在点A处的切线斜率为（　　） A.4 B.16 C.8 D.2 5.某物体的运动方程为s＝t2，该物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度为k1，在t0－Δt到t0之间的平均速度为k2，则k1与k2的大小关系为（　　） A.k1＞k2 B.k1＜k2 C.k1＝k2 D.不确定 6.〔多选〕已知某物体的运动方程为s（t）＝7t2＋8（0≤t≤5），则下列说法正确的是（　　） A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70 7.〔多选〕已知物体做自由落体运动的位移函数为s（t）＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝，当Δt无限趋近于0时，v趋近于9.8 m/s，则9.8 m/s是（　　） A.物体从0 s到1 s这段时间的平均速度 B.物体从1 s到（1＋Δt）s这段时间的平均速度 C.物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D.函数s（t）＝gt2在t＝1处的切线斜率 8.抛物线f（x）＝x2－4x在点（－1，5）处的切线方程为　　　　. 9.物体M的运动方程为s＝f（t）＝t2＋2t，物体N的运动方程为s＝g（t）＝2t－3，物体M在上的平均速度是物体N在上的平均速度的2倍，则实数a的值为　　　　. 10.在受到制动后的t s内飞轮转过的角度（单位：rad）由函数φ（t）＝4t－0.3t2给出. 求：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度； （2） 飞轮停止旋转的时刻. 11.若抛物线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（　　） A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1 12.〔多选〕如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（　　） A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 13.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为　　　　. 14.已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10. （1）求它们的交点； （2）求抛物线在交点处的切线方程. 15.若一物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）s＝f（t）＝ 求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度； （2）物体的初速度v0； （3）物体在t＝1时的瞬时速度. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章　一元函数的导数及其应用 5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 1.B　2.B　3.D　4.C　 5.D　令s＝f（t）＝t2，则k1＝＝＝2t0＋Δt，k2＝＝＝2t0－Δt.因为Δt可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定. 6.ABD　A项，该物体在1≤t≤3时的平均速度是＝＝28，A正确；B项，＝＝56＋7Δt，当Δt趋近于0时，趋近于56，故B正确；C项，当t＝5时，s（t）有最大值s（t）max＝s（5）＝183，C错误；D项，＝＝7Δt＋70，当Δt趋近于0时，趋近于70，D正确. 7.CD　由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D正确. 8.6x＋y＋1＝0 解析：k＝＝－6，所以切线方程为y－5＝－6（x＋1），即6x＋y＋1＝0. 9.2　解析：由题意，得物体M在上的平均速度为＝＝a＋2，物体N在上的平均速度为＝＝2.由题意知a＋2＝2×2，所以a＝2. 10.解：（1）t＝2 s时，飞轮转过的角度φ（2）＝8－1.2＝6.8（rad）. （2）飞轮停止旋转时的瞬时角速度为＝ ＝ ＝（4－0.3Δt－0.6t） ＝4－0.6t， 飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0， 所以令4－0.6t＝0，得t＝，所以在t＝ s时飞轮停止旋转. 11.A　由题意可知，抛物线在点（0，b）处的切线的斜率为k＝ ＝1，解得a＝1，又点（0，b）在切线上，∴b＝1. 12.BC　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以＞，故C正确，D错误. 13.2　解析：体积的增加量ΔV＝m3－＝（m3－1），所以＝＝，所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍去）. 14.解：（1）由 解得或 ∴抛物线与直线的交点坐标为（－2，8），（3，13）. （2）若交点坐标为（－2，8）， 则k＝ ＝ ＝（－4＋Δx）＝－4. ∴抛物线在点（－2，8）处的切线方程为y－8＝－4（x＋2），即4x＋y＝0. 若交点坐标为（3，13）， 则k＝ ＝ ＝＝（6＋Δx）＝6. ∴抛物线在点（3，13）处的切线方程为y－13＝6（x－3），即6x－y－5＝0. 15.解：（1）因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝3×（52－32）＝48， 所以物体在t∈[3，5]内的平均速度为＝＝24（m/s）. （2）求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度. 因为＝ ＝ ＝3Δt－18， 所以物体的初速度v0＝＝（3Δt－18）＝－18（m/s）. （3）因为 ＝ ＝3Δt－12， 所以物体在t＝1时的瞬时速度为 （3Δt－12）＝－12（m/s）. 学科网（北京）股份有限公司 $