第4章 培优课4 数列前n项和的求法 能力提升(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

培优课　数列前n项和的求法 1.数列an＝的前10项和S10＝（　　） A. B. C. D. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝（－1）n（3n－1），则S20＋S21＝（　　） A.122 B.120 C.2 D.－2 3.数列{an}的通项公式为an＝（－1）n－1·（4n－3），则它的前100项之和S100＝（　　） A.200 B.－200 C.400 D.－400 4.德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.已知数列an＝，则a1＋a2＋…＋a98＝（　　） A.48 B.50 C.98 D.100 5.在数列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），则该数列的前100项之和是（　　） A.18 B.8 C.5 D.2 6.已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancos nπ}的前2 024项和为（　　） A.1 011 B.1 012 C.2 022 D.2 024 7.〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0（n∈N*）.记Tn＝＋＋…＋（n∈N*），则下列说法正确的是（　　） A.{an}为等差数列 B.an＝n＋1 C.Sn＝ D.Tn＝ 8.若数列{an}的通项公式是an＝其前n项和为Sn，则S30＝　　　　. 9.数列1，3a，5a2，7a3，…，（2n－1）an－1，…（a≠0）的前n项和Sn＝　　　　. 10.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝30，且a1，a2，a4成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 11.已知数列{an}满足a1＝，（4an＋1）an＋1＝3an，Sn为数列{}的前n项和. （1）求证：数列{－2}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求数列{}的前n项和Sn. 12.已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3＋a5＝40，a4＝16. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，Sn是数列{bn}的前n项和，对任意正整数n，不等式Sn＋＞（－1）n·a恒成立，求a的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　数列前n项和的求法 1.C　2.D　3.B　4.C　 5.C　因为a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），所以a3＝3－1＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3＋1＝－2，a7＝－2＋3＝1，a8＝1＋2＝3，a9＝3－1＝2，…，所以{an}是周期为6的周期数列，因为100＝16×6＋4，所以S100＝16×（1＋3＋2－1－3－2）＋（1＋3＋2－1）＝5.故选C. 6.D　设数列{an}的公差为d，则解得∴an＝2n－1，设bn＝ancos nπ，∴b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝2，b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝2，…，∴数列{ancos nπ}的前2 024项和S2 024＝（b1＋b2）＋（b3＋b4）＋…＋（b2 023＋b2 024）＝2×＝2 024. 7.ACD　由an＋2－2an＋1＋an＝0变形得an＋2－an＋1＝an＋1－an，即{an}为等差数列，因为a1＝1，a2＝2，所以an＝n，Sn＝，＝＝2（－），所以Tn＝＋＋…＋＝2（1－＋－＋…＋－）＝2（1－）＝，故A、C、D正确. 8.240　解析：由题意得S30＝（a1＋a3＋…＋a29）＋（a2＋a4＋…＋a30）＝（1＋2＋…＋15）＋（1＋2＋…＋15）＝×2＝240. 9. 解析：当a≠1时，由于an＝（2n－1）·an－1（n∈N*），则Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋（2n－1）an－1，aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋（2n－1）an，两式相减得（1－a）Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－（2n－1）an＝2·－（2n－1）an＋1，∴Sn＝2·－；当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝＝n2，∴Sn＝ 10.解：（1）由{an}为等差数列，d≠0，前n项和为Sn，且S5＝30，得30＝5a1＋10d， ① ∵a1，a2，a4成等比数列，∴＝a1·a4， 即（a1＋d）2＝a1（a1＋3d）， ② 由①②解得∴数列{an}的通项公式为an＝2n. （2）由bn＝，an＝2n，得bn＝＝（－）.则数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1－＋－＋…＋－）＝. 11.解：（1）证明：对（4an＋1）an＋1＝3an整理得，4anan＋1＋an＋1＝3an， 等式两边同时除以an＋1an可得4＋＝， 等式两边再同时减6得－2＝3（－2），即－2＝（－2）， 又由a1＝， 可得－2＝－≠0， 故－2≠0， 则数列{－2}是首项为－，公比为的等比数列. （2）由（1）得{－2}的通项公式为－2＝－， 得＝2－，所以an＝. （3）由（2）知＝2－， 所以Sn＝（2－）＋（2－）＋…＋（2－）＝2n－（＋＋…＋）＝2n－（1－）＝2n－＋. 12.解：（1）因为 所以q＝2，a3＝8， 所以数列{an}的通项公式为an＝a3qn－3＝2n. （2）因为bn＝， 所以Sn＝＋＋＋…＋， Sn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减得，Sn＝＋＋＋…＋－， 所以Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－. 所以不等式Sn＋＞（－1）n·a对任意正整数n恒成立，即2－＞（－1）n·a对任意正整数n恒成立. 设f（n）＝2－（n∈N*），易知f（n）单调递增. 当n为奇数时，f（n）的最小值为1， 所以－a＜1，解得a＞－1； 当n为偶数时，f（n）的最小值为，所以a＜. 综上，a的取值范围是（－1，）. 学科网（北京）股份有限公司 $