第4章 培优课3 构造法求数列的通项公式 能力提升(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

培优课　构造法求数列的通项公式 1.D　2.C　3.C　4.C　 5.D　由an＋1＝2an＋3可得an＋1＋3＝2（an＋3），当a1＝－3时，an＝－3，满足题意；当a1≠－3时，＝2，所以数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列，所以an＋3＝（a1＋3）×2n－1，所以an＝（a1＋3）×2n－1－3，所以a2 025＝（a1＋3）×22 024－3≥a1，所以（a1＋3）×22 024≥a1＋3，所以a1＞－3.综上a1≥－3. 6.ABC　∵a1＝1，an·an＋1＝2n，∴a2＝2，a3＝2，a4＝4，由an·an＋1＝2n可得an＋1·an＋2＝2n＋1，∴＝2，∴{a2n}，{a2n－1}分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，∴a2n＝2·2n－1＝2n，a2n－1＝1·2n－1＝2n－1，∴a2n－a2n－1＝2n－1，a2n－1＋a2n＝3·2n－1≠2n＋1，综上可知，A、B、C正确，D错误. 7.64　解析：当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1①，得a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）·an－1＝（n－2）·2n－1＋1②，①－②，得nan＝[（n－1）·2n＋1]－[（n－2）·2n－1＋1]＝n·2n－1（n≥2），当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝2n－1，则a7＝64. 8.22 023　解析：在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，可得＝2，a2－a1＝1，即数列{an＋1－an}是首项为1，公比为2的等比数列，可得an＋1－an＝2n－1，则a2 025－a2 024＝22 023. 9.6　解析：由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，得Sn＋1＋3＝2（Sn＋3），又S1＝a1＝1，所以S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3，所以Sk＝2k＋1－3≥125，解得k≥6.所以k的最小值为6. 10.解：当n≥2时，设an＋An＋B＝[an－1＋A（n－1）＋B]，即an＝an－1－An－A－B，与原式比较系数得解得所以an－4n＋6＝[an－1－4（n－1）＋6]， 所以数列{an－4n＋6}是首项为a1－4＋6＝3，公比为的等比数列， 所以an－4n＋6＝3·（）n－1， 所以an＝＋4n－6，n∈N*. 11.解：（1）当an＝bn，n≥2时，an－1＝bn－1， 所以an＋bn－1＝3，即an＝－an－1＋3， 整理得an－＝－（an－1－）， 所以{an－}是以a1－＝为首项，－1为公比的等比数列. 故an－＝×（－1）n－1， 即an＝＋×（－1）n－1. （2）当n≥2时，由an＋bn－1＝3，得an＋1＋bn＝3， 又an－1＋bn＝1， 所以an＋1－an－1＝2（n≥2）. 因为b1＝0，所以a2＝3， 则{a2k－1}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列，a2k－1＝2＋（k－1）×2＝2k，k∈N*； {a2k}是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，a2k＝3＋（k－1）×2＝2k＋1，k∈N*. 综上所述，an＝n＋1. 所以an－an－1＝（n＋1）－n＝1，n≥2， 故{an}是以2为首项，1为公差的等差数列. 当n≥2时，bn＝1－an－1＝1－n，且b1＝0满足bn＝1－n， 所以bn＝1－n. 12.解：设最初的桃子数为a1，5只猴子分剩的桃子数依次为a2，a3，a4，a5，a6. 由题意得an＋1＝（an－1）－（an－1）＝an－.（*） 设an＋1＋x＝（an＋x）， 即an＋1＝an－x， 对照（*）式，得x＝4，即an＋1＋4＝（an＋4）， 所以数列{an＋4}是首项为a1＋4，公比为的等比数列. 所以a6＋4＝（a1＋4）×（）5，所以a6＝（a1＋4）×（）5－4. 由于a6为整数，所以a1＋4的最小值为55，所以a1的最小值为55－4＝3 121. 故原来至少有3 121个桃子，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1 020（个）桃子. 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　构造法求数列的通项公式 1.数列{an}满足an＋1＝λan－1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{an－1}是等比数列，则λ＝（　　） A.1 B.－1 C. D.2 2.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2，数列{bn}满足bn＝an－2n，则数列{bn}的通项公式为（　　） A.bn＝3n B.bn＝3n－1 C.bn＝3n－2 D.bn＝3n＋1 3.已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an＝（　　） A.2n B.n（n＋1） C. D. 4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12＝（　　） A.12×210 B.12×211 C.12×212 D.12×213 5.数列{an}满足an＋1＝2an＋3，n∈N*，若a2 025≥a1，则a1的取值范围为（　　） A.（－∞，－3] B.（－∞，－3） C.（－3，＋∞） D.[－3，＋∞） 6.〔多选〕已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是（　　） A.a4＝4 B.{a2n}是等比数列 C.a2n－a2n－1＝2n－1 D.a2n－1＋a2n＝2n＋1 7.数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1，则a7＝　　　　. 8.定义：若＝q（n∈N*，q为非零常数且q≠1），则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2 025－a2 024＝　　　　. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为　　　　. 10.已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，求{an}的通项公式. 11.已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，an＋bn－1＝3（n≥2）. （1）若an＝bn，求{an}的通项公式； （2）若b1＝0，an－1＋bn＝1（n≥2），证明{an}为等差数列，并求{an}和{bn}的通项公式. 12.1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办法处理.问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $