第4章 培优课2 等差数列 能力提升(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

培优课　等差数列 1.已知数列{an}满足an＋1－an－2＝0，a1＝－5，则a6＝（　　） A.5 B.9 C.15 D.18 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝（　　） A. B. C. D. 3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝（　　） A.68 B.67 C.65 D.56 4.已知数列{an}的首项a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a20＝（　　） A.99 B.101 C.399 D.401 5.〔多选〕等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，n∈N*，则下列说法正确的有（　　） A.数列是递增数列 B.＝ C.＝ D.＝ 6.〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn＝33n－n2，则下列说法正确的是（　　） A.an＝34－2n B.仅有S16为Sn的最小值 C.｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272 D.｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝450 7.已知数列{an}的通项公式为an＝｜19－2n｜，n∈N*，则其前20项的和为　　　　. 8.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，且＝＋（n≥2，n∈N*），则当取得最大值时，n的值为　　　　. 9.设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn－an＝n2，n∈N*. （1）证明：数列{an＋an＋1}是等差数列； （2）求S20. 10.在等差数列{an}中，a100＝－100，且a50＋a200＝0. （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 11.已知正项数列{an}满足a1＝1，＋＝2，且a4－a2＝. （1）求数列{}的通项公式； （2）求满足不等式an＋5＋1＜2an的正整数n的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　等差数列 1.A　2.C　3.A　4.C　 5.AB　＝＝＝2－，所以是递增数列，A选项正确；＝＝＝＝，所以＝＝，B选项正确；＝＝，C选项错误；当n＝1时，＝＝≠，D选项错误.故选A、B. 6.AC　A选项，Sn＝33n－n2中，当n＝1时，a1＝33－12＝32，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝33n－n2－33（n－1）＋（n－1）2＝－2n＋34，显然a1＝32满足an＝34－2n，故an＝34－2n，A正确；B选项，因为当1≤n≤16时，an＞0，a17＝0，当n≥18时，an＜0，故S16，S17为Sn的最大值，B错误；C选项，a16＝34－32＝2，故｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝a1＋a2＋…＋a16＝＝272，C正确；D选项，a17＝0，a30＝34－60＝－26，｜a17｜＋｜a18｜＋…＋｜a30｜＝－（a17＋a18＋…＋a30）＝－＝182，由C知，｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272，故｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝272＋182＝454，D错误.故选A、C. 7.202　解析：由an＝｜19－2n｜，当n≤9时，an＝19－2n，当n≥10时，an＝2n－19，所以S20＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＋a11＋…＋a20＝17＋15＋…＋1＋1＋3＋…＋21＝＋＝202. 8.2　解析：因为＝＋（n≥2，n∈N*），所以2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1（n≥2，n∈N*），所以数列{nan}是等差数列，又a1＝1，a2＝4，所以数列{nan}是以1为首项，2×a2－1×a1＝7为公差的等差数列，所以nan＝7n－6，所以＝＝－＝－6（－）2＋，因为n∈N*，1＜＜2，且＝－＝1，＝－＝2，2＞1，所以当n＝2时，取得最大值2. 9.解：（1）证明：∵2Sn－an＝n2， ∴当n≥2时，2Sn－1－an－1＝（n－1）2， 两式相减得2Sn－an－（2Sn－1－an－1）＝n2－（n－1）2＝2n－1， 又∵2Sn－an－（2Sn－1－an－1）＝2Sn－2Sn－1－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1. ∴an＋an－1＝2n－1， 故（an＋1＋an）－（an＋an－1）＝[2（n＋1）－1]－（2n－1）＝2，且a2＋a1＝3， ∴数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知an＋an－1＝2n－1（n≥2）， ∴S20＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋…＋（a19＋a20） ＝3＋7＋11＋…＋39＝＝210. 10.解：（1）设{an}的公差为d.因为a50＋a200＝0，所以a125＝0. 因为a100＝－100，所以解得 故an＝－496＋（n－1）×4＝4n－500. （2）设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n2－498n. 当n≤125时，Tn＝｜Sn｜＝498n－2n2； 当n≥126时，Tn＝－（a1＋a2＋…＋a125）＋a126＋…＋an＝Sn－2S125＝2n2－498n＋62 000. 故Tn＝ 11.解：（1）由已知得，－＝－， 所以数列{}是等差数列，设其公差为d. 由a4－a2＝，得－＝2. 所以2d＝2，即d＝1， 所以＝＋（n－1）d＝n. （2）由an＞0，得an＝， 所以原不等式可化为＋1＜2， 两边平方可得n＋6＋2＜4n，即2＜3n－6， 所以4（n＋5）＜（3n－6）2，整理得（n－4）（9n－4）＞0， 解得n＞4或n＜. 因为n∈N*，故n的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $