第4章 培优课1 数列的函数特征 能力提升(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

培优课　数列的函数特征 1.已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2.对任意的a1∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 3.若数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝20，则a100＝（　　） A.a1 B.a2 C.a3 D.a4 4.已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为（　　） A.1，－ B.0，－ C.，－ D.1，－ 5.设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围为（　　） A.[1，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－3，＋∞） D.（－，＋∞） 6.〔多选〕已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－n2＋8n，则（　　） A.{an}是递减数列 B.a10＝－11 C.当n＞4时，an＞0 D.当n＝4时，Sn取得最大值 7.〔多选〕若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是（　　） A.Tn无最大值 B.an有最大值 C.T2 025＝1 D.a2 025＝2 8.已知数列{an}的通项公式为an＝｜n－｜，则an的最小项为　　　　，此时n的值为　　　　. 9.请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0＜an＜2.这个数列的通项公式可以是　　　　. 10.在数列{an}中，已知an＝－（n≥2，n∈N*）. （1）求证an＋2＝an； （2）若a4＝4，求a20的值； （3）若a1＝1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值. 11.已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1. （1）求a1，a2和an； （2）证明：数列{an}为递增数列. 12.已知数列{an}中，an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0）. （1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　数列的函数特征 1.B　2.A　3.D　4.A　 5.C　因为函数f（n）＝n2＋bn图象的对称轴方程为n＝－，结合二次函数的图象可知当－＜，即b＞－3时，单调递增. 6.ABD　数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－（n－1）2＋8（n－1）]＝－2n＋9，a1＝S1＝7满足上式，因此an＝－2n＋9，对于A，an＋1－an＝－2＜0，即an＋1＜an，因此{an}是递减数列，A正确；对于B，a10＝－11，B正确；对于C，当n＞4时，an≤a5＝－1＜0，C错误；对于D，当n≤4时，an≥a4＝1＞0，数列{an}前4项都为正，从第5项起都为负，因此当n＝4时，Sn取得最大值，D正确.故选A、B、D. 7.BD　∵a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），∴a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…，因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an，∴an有最大值2，a2 025＝a3＝2，又∵T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…，∴{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn，∴Tn有最大值4，T2 025＝T3＝4.故选B、D. 8.　3　解析：因为an＝｜n－｜，所以当n＝1，2，3时，an＝－n，此时an的最小项为，对应的n＝3；当n＞3，n∈N*时，an＝n－，此时an的最小项为，对应的n＝4.综上所述，an的最小项为，此时n＝3. 9.an＝2－（答案不唯一）　解析：因为函数an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0＜2－＜2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－. 10.解：（1）证明：当n≥1时，因为an＋2＝an＋1＋1＝－＝－＝an，所以an＋2＝an成立. （2）由（1）知数列{an}是以2为周期的周期数列，所以a20＝a4＝4. （3）因为a1＝1，所以a2＝－1，因为数列的周期为2，所以（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋a7＝a1＝1. 11.解：（1）因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1， ① 当n＝1时，a1＝31－1＝2. 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝3n－1－1， ② 由①－②得nan＝3n－3n－1＝2·3n－1，所以an＝， 当n＝1时，a1＝＝2， 所以a1也满足an＝， 当n＝2时，a2＝＝3， 故a1＝2，a2＝3，an＝，n∈N*. （2）证明：由（1）知，an＝， 易知an＞0，则＝＝， 又－1＝＞0对一切n∈N*恒成立，所以＝＞1， 得到an＋1＞an对一切n∈N*恒成立，所以数列{an}为递增数列. 12.解：（1）当a＝－7时，an＝1＋（n∈N*）. 结合函数f（x）＝1＋的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N*）. ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. （2）an＝1＋＝1＋， 已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 结合函数f（x）＝1＋的单调性， 可知5＜＜6，即－10＜a＜－8， 即a的取值范围是（－10，－8）. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $