4.4 数学归纳法(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

4.4　*数学归纳法 　 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳奠基中n0的取值应为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（　　） A.假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确 B.假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确 C.假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确 D.假设n＝k（k≥1），再推n＝k＋2时正确（以上k∈N*） 3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（　　） A.n＝k＋1时等式成立 B.n＝k＋2时等式成立 C.n＝2k＋2时等式成立 D.n＝2（k＋2）时等式成立 4.利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了（　　） A.1项 B.k项 C.2k－1项 D.2k项 5.〔多选〕已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）及其证明： （1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立. （2）假设n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝－1，所以n＝k＋1时等式也成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成立.则（　　） A.命题正确 B.命题不正确 C.推理都正确 D.推理不正确 6.〔多选〕用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1（n∈N*，n≥2）时，以下说法正确的是（　　） A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C.从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项 D.当n＝2时不等式左边是 7.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取　　　　. 8.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），那么f（n＋1）－f（n）＝　　　　. 9.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），则a5＝　　　　，归纳猜想an＝　　　　. 10.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）. 11.平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（　　） A.n＋1 B.2n C. D.n2＋n＋1 12.〔多选〕已知一个命题p（k），k＝2n（n∈N*），若当n＝1，2，…，1 000时，p（k）成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是（　　） A.p（k）对k＝528成立 B.p（k）对每一个自然数k都成立 C.p（k）对每一个正偶数k都成立 D.p（k）对某些偶数可能不成立 13.用数学归纳法证明n3＋5n（n∈N*）能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，（k＋1）3＋5（k＋1）式子应变形为　　　　　　　　　　. 14.已知n＞2，n∈N*.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＞. 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）. （1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4　*数学归纳法 1.C　2.B　3.B　4.D　 5.AD　推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，由等比数列求和公式知命题正确. 6.CD　第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；因为＋＋＋…＋－（＋＋＋…＋）＝＋＋…＋（k∈N*），所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，所以B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，所以D正确. 7.8　解析：已知可转化为＞，整理得2n＞128，解得n＞7，故原不等式的初始值为8. 8.＋＋　解析：注意末项与首项，所以f（n＋1）－f（n）＝＋＋. 9.31　2n－1　解析：因为an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），且a1＝1，所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.猜想an＝2n－1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然猜想成立；②假设n＝k时，ak＝2k－1，则ak＋1＝2ak＋1＝2×（2k－1）＋1＝2k＋1－1.故n＝k＋1时，猜想也成立.综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1. 10.证明：（1）当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－， 那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，等式也成立. 根据（1）和（2）可知，等式对任意n∈N*都成立. 11.C　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋（1＋2）＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3）＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3＋…＋n）＝1＋＝个区域. 12.AD　由题意知p（k）对k＝2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p（k）是否成立，故选A、D. 13.（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6 解析：（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k2＋3k＋6＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.∵k（k＋1）为偶数，∴3k（k＋1）能被6整除，∴（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6. 14.证明：（1）当n＝3时，左边＝1＋＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋＞. 当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＞＋＝＝＞＝＝， 所以1＋＋＋…＋＋＞， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由（1）（2）知对一切n＞2，n∈N*，不等式恒成立. 15.解：（1）∵a1＝1，Sn＝n2an，∴S1＝a1＝1； 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝，S2＝1＋＝； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，可得a3＝，S3＝1＋＋＝； 当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝. 猜想Sn＝. （2）①当n＝1时，猜想显然成立. ②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即Sk＝， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1＝（k＋1）2·（Sk＋1－Sk）， ∴（k2＋2k）Sk＋1＝（k＋1）2Sk＝（k＋1）2·，∴Sk＋1＝. 故当n＝k＋1时，猜想也成立. 由①和②可知，对于任意的n∈N*都有Sn＝. 又∵Sn＝n2an， ∴an＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $