4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第二课时　等比数列前n项和的性质及应用 1.B　2.B　3.D　4.D　 5.B　由题知AB1＝AB，AB2＝AB1，…，ABn＋1＝ABn，S1＝AB2＝a2，Sn＝A（n≥2），∴＝（）2＝（n≥2），又S2＝a2＝S1，∴数列{Sn}是首项为a2，公比为的等比数列，∴S1＋S2＋S3＋…＋S8＝＝，∴a＝2（负值舍去）. 6.BD　依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，则a6＝（）6＝，＝8，a5＋a6＝，a1＋a2＋…＋a6＝，故选B、D. 7.BD　设数列{an}的公比为q，q≠0，对于A和C，都有首项a1＋a2＝a1（1＋q），当q＝－1时，a1＋a2＝0，不满足等比数列，故A、C错误；对于B，a1＋a3＝a1（1＋q2）≠0，且＝＝q2，同理＝q2，故数列a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，…为等比数列，故B正确；对于D，S3＝a1＋a2＋a3＝a1（1＋q＋q2）≠0，且＝q3，＝q3，故数列S3，S6－S3，S9－S6，…为等比数列，故D正确.故选B、D. 8.6　解析：由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝（2n＋1－2）棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且y＝2x＋1是增函数，所以n≥6，即n的最小值为6. 9.　解析：由210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，得210（S30－S20）＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴＝q10＝（）10.又{an}为正项等比数列，∴q＝. 10.解：（1）由题意知每年的出口量构成等比数列{an}，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1. （2）10年的出口总量S10＝＝10a（1－0.910）. ∵S10≤80，∴10a（1－0.910）≤80， 即a≤， ∴a≤12.3.故2025年最多出口12.3吨. 11.A　设等比数列{an}的公比为q（q≠1），因为S9是S3和S6的等差中项，得S3＋S6＝2S9，所以＋＝2，整理得q3（2q6－q3－1）＝0，即2q6－q3－1＝0，即（2q3＋1）·（q3－1）＝0，解得q3＝－，则q6＝，所以＝·＝＝1＋q6＝1＋＝. 12.D　设共有（2m＋1）项，由题意知S奇＝a1＋a3＋…＋＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q（a2＋a4＋…＋a2m）＝2＋q＝，故q＝.故Tn＝a1a2…an＝q1＋2＋…＋（n－1）＝2n×＝，当n＝1或2时，Tn的最大值为2. 13.2　解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∵＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2. 14.解：（1）由2an＋1＋Sn＝3，得2a2＋a1＝3. 因为a1＝，所以a2＝. 由2an＋1＋Sn＝3，2an＋Sn－1＝3（n≥2）， 得＝.又＝，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列. 故an＝·（）n－1＝3·（）n（n∈N*）. （2）由（1）可得Sn＝＝3×［1－（）n］， 所以S2n＝3×［1－（）2n］， 所以＝1＋（）n. 令1＋（）n＞，得（）n＞，即2n＜63，且n∈N*，故n的值可以为1，2，3，4，5. 15.解：因为A＝{a1，a2，a3，…}，A*＝{，，，…}， 所以（A*）*＝{，，，…}， 又序列（A*）*的所有项都是1， 所以它的第n项＝1， 所以＝，所以数列{an}是等比数列， 又a3＝4，a4＝8，所以公比q＝＝2， 所以a1＝1. 所以an＝2n－1， Sn＝＝＝2n－1， Tn＝20×21×22×…×2n－1＝. 因为Tn－Sn＞1，所以－（2n－1）＞1， 即＞2n，所以＞n， 所以n－1＞2，解得n＞3， 所以正整数n的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等比数列前n项和的性质及应用 1.设f（n）＝2＋24＋27＋…＋23n＋1（n∈N*），则f（n）＝（　　） A.（8n－1） B.（8n＋1－1） C.（8n＋2－1） D.（8n＋3－1） 2.已知数列{an}为等比数列，且q＝2，S4＝1，则S8＝（　　） A.15　　 　 B.17　　 　 C.19　　 　 D.21 3.已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是（　　） A.30 B.60 C.90 D.120 4.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝6，S3n＝14，则S4n－Sn＝（　　） A.18 B.20 C.24 D.28 5.在等腰直角三角形ABC中，B＝，AB＝a，以AB为斜边作等腰直角三角形AB1B，再以AB1为斜边作等腰直角三角形AB2B1，依此类推，记△ABC的面积为S1，依次所得三角形的面积分别为S2，S3，…，若S1＋S2＋…＋S8＝，则a＝（　　） A.2 B.2 C.3 D.4 6.〔多选〕“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则（　　） A.a6＝ B.＝8 C.a5＋a6＝ D.a1＋a2＋…＋a6＝ 7.〔多选〕设等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列一定是等比数列的有（　　） A.a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，… B.a1＋a3，a3＋a5，a5＋a7，… C.S2，S4－S2，S6－S4，… D.S3，S6－S3，S9－S6，… 8.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）为　　　　. 9.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，则公比q＝　　　　. 10.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2025年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. （1）以2025年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； （2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2025年最多出口多少吨？（0.910≈0.35，保留一位小数） 11.Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（　　） A. B. C. D. 12.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，记这个等比数列前n项的积为Tn（n≥2），则Tn的最大值为（　　） A. B. C.1 D.2 13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为　　　　. 14.已知数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3（n∈N*）. （1）求a2及an； （2）若Sn满足＞，求n的值. 15.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列A＝{a1，a2，a3，…}重新编辑，编辑后的新序列为A*＝{，，，…}，它的第n项为.记数列{an}的前n项和、前n项积分别为Sn，Tn，若序列（A*）*的所有项都是1，且a3＝4，a4＝8，Tn－Sn＞1，试求正整数n的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $