4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第一课时　等比数列的前n项和公式 1.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝（　　） A.2－ B.2－ C.2－ D.2－ 2.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q＝（　　） A.－ B.1 C.－或1 D.或1 3.在递增等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 4.在等比数列{an}中，若Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则＋＋…＋＝（　　） A.（2n－1）2 B.（2n－1） C.4n－1 D.（4n－1） 5.数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 6.〔多选〕已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2，a3a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3），则下列结论正确的是（　　） A.q＝ B.a7＝2 C.a8＝8 D.S6＝126 7.〔多选〕设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值确定的是（　　） A. B. C. D. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝an＋1－1，则Sn＝　　　　. 9.一个等比数列的前n项和Sn＝（1－2λ）＋λ·2n，则λ＝　　　　. 10.在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m. 11.（2025·广州月考）已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为（　　） A.或5 B.或5 C. D. 12.〔多选〕已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则（　　） A.Sn＋1－Sn＝2n＋1 B.an＝2n－1 C.Sn＝2n－1 D.Sn＝2n－1－1 13.等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是　　　　. 14.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由. 15.将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则排成如下数表. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有（n＋1）bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q（q＞0）的等比数列； ③a66＝. 请解答以下问题： （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第一课时　等比数列的前n项和公式 1.B　2.C　3.B　4.D　 5.C　∵an＋1＝2an，∴＝2，又a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＝2×2n－1＝2n，ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1（210－1）＝25（210－1），∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4. 6.AD　因为等比数列{an}中，a1≠a2，所以q≠1，因为a3·a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3）＝2q（a3－a2），所以q5＝2a1，且2q＝1，即q＝，A正确；所以a1＝64，a7＝64×（）6＝1，B错误；a8＝a1q7＝64×（）7＝，C错误；S6＝＝126，D正确.故选A、D. 7.ABC　由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2.A中，＝q2＝4；B中，＝＝＝；C中，＝＝＝；D中，＝与n有关，不确定.故选A、B、C. 8.　解析：当n＝1时，则有2S1＝a2－1，所以a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得2Sn－1＝an－1，上述两式相减得2an＝an＋1－an，所以an＋1＝3an，得＝3且＝3，所以数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以Sn＝＝. 9.1　解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，a1＝S1＝（1－2λ）＋2λ＝1，则Sn＝n，显然与题设不符，∴q≠1，即等比数列不是常数列，∴Sn＝－＝（1－2λ）＋λ·2n，则可得λ＝1. 10.解：（1）设等比数列{an}的公比为q， 由题意得an＝qn－1，q4＝4q2， 解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2. 故an＝（－2）n－1或an＝2n－1. （2）若an＝（－2）n－1， 则Sn＝. 由Sm＝63得＝63， 即（－2）m＝－188，此方程没有正整数解. 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6. 11.C　设数列{an}的公比为q，由9S3＝S6，得q≠1，则＝，即1＋q3＝9，解得q＝2.所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则数列{}的前5项和为T5＝＝，故选C. 12.BC　设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a2a3a4＝64，得＝43，则a3＝4，由a2＋a4＝10，得＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.又因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，所以2a1＋8a1＝10，解得a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－（2n－1）＝2n.故选B、C. 13.（－1，0）∪（0，＋∞）　解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0，所以或所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为（－1，0）∪（0，＋∞）. 14.解：（1）依题意，得2Sn＝an＋1－a1. 当n≥2时，有 两式相减， 得an＋1＝3an（n≥2）. 当n＝1时，a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列. 因此an＝a1·3n－1（n∈N*）. （2）存在.因为Sn＝＝a1·3n－a1，所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n. 要使{bn}为等比数列，则1＋a1＝0， 即a1＝－2.此时bn＝3n，符合题意. 15.解：（1）由（n＋1）bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，故nbn＝1·b1＝1， ∴bn＝. （2）∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63项，a66在表中第十行第三列. 故a66＝b10·q2， 又a66＝，而b10＝，q＞0，∴q＝2. 故S（k）＝＝（2k＋2－1）. 学科网（北京）股份有限公司 $